สูตรบูลีนเชิงปริมาณที่มีการสลับลอการิทึม

ฉันกำลังศึกษาปัญหาที่ยากสำหรับคลาสของสูตรบูลีนที่มีปริมาณที่มีจำนวนทางเลือกแบบลอการิทึมของการเปลี่ยนปริมาณ ปัญหาในคลาสนี้จะมีลักษณะดังนี้:

$\forall (x_1, x_2, \ldots x_{a_1}) \exists (x_{{a_1}+1}, \ldots x_{a_2}), \ldots \exists(x_{a_{\log n - 1}}, \ldots x_{a_{\log n}})F$

ที่ไหนบันทึกn = nและFเป็นสูตรแบบบูลของตัวแปรx 1 ... x n$a_{\log n} = n$$F$$x_1 \ldots x_n$

ชั้นนี้มีให้เห็นอย่างชัดเจนและมีอยู่ในP = P S P C E มีชื่อสำหรับชั้นนี้หรือไม่? มีอะไรที่เป็นที่รู้จักมากขึ้นเกี่ยวกับเรื่องนี้?$PH$$AP = PSPACE$

อาคารในคำตอบของไมเคิล Wehar ของมันดูเหมือนว่าคุณสามารถแสดงให้เห็นว่าคำนวณสามารถเข้ารหัสใน POLYSIZE QBFs เช่น: คุณใช้O ( บันทึกn ) alternations, แต่ละp o l y ( n )บิตและทำการโต้แย้งที่คล้ายกับทฤษฎีบทของ Savitch ทุกสองทางเลือกจะแบ่งเวลาการทำงานของการคำนวณโดยp o l y ( $NTISP(n^{\log n},poly(n))$$O(\log n)$$poly(n)$ปัจจัย$poly(n)$

ฉันจะเรียก class ตามเครื่องหมายใน"การแลกเปลี่ยนเวลาเพื่อความพึงพอใจ"ของ Fortnow ซึ่งสามารถอ้างถึงอาร์กิวเมนต์ที่ร่างไว้ในวรรคก่อน (แต่โปรดดูกระดาษสำหรับการอ้างอิงก่อนหน้านี้)$\Sigma_{O(\log n)} P$

(1) สิ่งที่เรารู้แล้ว:

ดังที่คุณได้กล่าวไปแล้ว QBF ที่มีการสลับการของตัวปริมาณนั้นยากสำหรับทุกระดับของลำดับชั้นพหุนาม$\log(n)$

(2) ฉันคิดว่าเราสามารถพิสูจน์ได้ดังต่อไปนี้:

ปัญหาคือยาก$NSPACE(log^2(n))$

(3) นี่คือเหตุผลที่ไม่เป็นทางการของฉันสำหรับการยืนยันก่อนหน้านี้:

ด้วยการเว้นวรรคถูกผูกไว้กับ NTM และสตริงอินพุตเราต้องพิจารณาว่ามีการคำนวณการยอมรับบนสตริงอินพุตที่กำหนดหรือไม่$log^2(n)$

แต่ละการกำหนดค่าในการคำนวณสามารถแสดงโดยบิตกล่าวอีกนัยหนึ่งเราสามารถแสดงการกำหนดค่าโดยกลุ่มของตัวแปรlog 2 ( n $\log^2(n)$$\log^2(n)$

แนวคิดคือเรามีการกำหนดค่าเริ่มต้นและการกำหนดค่าขั้นสุดท้ายและเราจำเป็นต้องเดาการคำนวณที่เกิดขึ้นระหว่างนั้น เราคาดเดาการกำหนดค่า "กลาง" แบบซ้ำ ๆ โดยใช้ปริมาณที่มีอยู่และเรียกเก็บเงินคืนเพื่อยืนยันว่าการกำหนดค่า "ซ้าย" ไปที่ "กลาง" และการกำหนดค่า "กลาง" จะไปที่ "ขวา" โดยใช้สำหรับปริมาณทั้งหมด

ตอนนี้เพื่อให้งานนี้แทนที่จะเลือกหนึ่งการกำหนดค่า "กลาง" เราต้องเลือกกลุ่มของการกำหนดค่า "กลาง" ระยะห่างเท่ากันระหว่างการกำหนดค่า "ซ้าย" และ "ขวา" โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราสามารถเดาได้กำหนดค่า "ตัวกลาง" ระยะห่างเท่ากันโดยใช้ปริมาณที่มีอยู่ด้วย$\sqrt{n}$ตัวแปรจากนั้นทำการหักล้างทุกช่องว่างระหว่างการกำหนดค่าที่ใช้สำหรับปริมาณทั้งหมดที่มีตัวแปรlog(n)คร่าวๆ$\sqrt{n} * log^2(n)$$\log(n)$

การเรียกซ้ำจะต้องดำเนินต่อไปที่ความลึกเพื่อให้สามารถครอบคลุมการคำนวณความยาว$2 * \log(n)$โดยที่แต่ละการกำหนดค่ามีlogมากที่สุด2(n$\sqrt{n} ^ {2 * \log(n)} = n^{\log(n)} = 2^{\log^2(n)}$$\log^2(n)$หลายบิต

ตั้งแต่การเรียกซ้ำเป็นของความลึกเรามีเพียงO ( เข้าสู่ระบบ( n ) )กลุ่มของตัวแปรเช่น alternations เนื่องจากแต่ละกลุ่มของปริมาณมีเพียง$O(\log(n))$$O(\log(n))$ตัวแปรโดยรวมเรามีO$\sqrt{n} * log^2(n)$$O(\sqrt{n} * log^3(n))$ตัวแปร

อย่าลังเลที่จะให้ข้อเสนอแนะหรือการแก้ไขใด ๆ ขอบคุณมากและฉันหวังว่านี่จะช่วยได้เล็กน้อย

(4) การยืนยันทั่วไปเพิ่มเติมตามคำแนะนำของไรอัน:

คุณควรจะสามารถดำเนินการก่อสร้างก่อนหน้านี้ในลักษณะทั่วไปมากขึ้น พิจารณาสิ่งต่อไปนี้:

ในแต่ละขั้นตอนของการเรียกซ้ำแบ่งออกเป็นกลุ่มของการกำหนดค่า "กลาง" โดยใช้c ( n )บิตต่อการกำหนดค่า จากนั้นทำการวนซ้ำไปที่ความลึกd ( n $g(n)$$c(n)$$d(n)$ )

ตราบใดที่เราไม่มีตัวแปรมากเกินไปและมีทางเลือกมากเกินไปมันก็ใช้ได้ดี ประมาณเราต้องการสิ่งต่อไปนี้เพื่อให้ได้รับความพึงพอใจ:

• $g(n) * c(n) * d(n) \leq n$
• $d(n) \leq \log(n)$

วิธีการทั่วไปของเราจะใช้ในการจำลองเครื่องทัวริงที่ไม่ได้กำหนดไว้ซึ่งทำงานสำหรับขั้นตอนโดยใช้หน่วยความจำc ( n )บิต$g(n)^{d(n)}$$c(n)$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราเลือกดังต่อไปนี้:

• $g(n) = \sqrt{n}$

• $c(n) = \frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}}$

• $d(n) = 2 * \log^2(n)$

ความไม่เท่าเทียมกันก่อนหน้านี้มีความพึงพอใจและเราสามารถดำเนินการก่อสร้างเพื่อจำลองเครื่องทัวริงที่ไม่ได้กำหนดค่าไว้ซึ่งทำงานสำหรับขั้นตอนคร่าว ๆโดยใช้$2^{\log^2(n)}$$\frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}}$หน่วยความจำบิต

กล่าวอีกนัยหนึ่งเรามีความแข็งที่ดีขึ้นกว่า แต่ก่อน โดยเฉพาะปัญหานี้ยากสำหรับ$NTISP(2^{\log^2(n)}, \frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}})$ )

(5) การสรุปทั่วไปเพิ่มเติม:

ในการสรุปก่อนหน้านี้เราได้จำลองเวลาและพื้นที่ที่ไม่ จำกัด เครื่องทัวริง อย่างไรก็ตามเราอาจจำลองเวลาและพื้นที่ของเครื่องจักรทัวริงที่มีขอบเขต จำกัด ได้เช่นกัน

ขออธิบายหน่อย ดังนั้นเราจึงใช้ประมาณ alternations ที่จะทำซ้ำตัวเองที่ความลึกเข้าสู่ระบบ( n ) อย่างไรก็ตามเราสามารถใช้ทางเลือกบางอย่างเริ่มแรกสมมติว่า$\log(n)$$\log(n)$ ) จากนั้นเราสามารถใช้ส่วนที่เหลืออีก$\sqrt{\log(n)}$ alternations ที่จะไปลึก$\sqrt{\log(n)}$ )$\sqrt{\log(n)}$

$\sqrt{\log(n)}$$2^{\log^{\frac{3}{2}}(n)}$ steps, and use $\frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}}$ bits of memory.

In other words, the problem is hard for $AltTimeSpace(\sqrt{\log(n)}, 2^{\log^{\frac{3}{2}}(n)}, \frac{\sqrt{n}}{2 * log^2{n}})$ with sublinear witness lengths. Alternatively, this class could be written using the $STA$ notation mentioned in the comments above.

Thank you for the comments and feel free to offer any further corrections or clarifications. :)

A shorter answer.

Initial observations:

• The problem is hard for every level of the polynomial hierarchy.
• The problem is hard for alternating Turing machines with $\log(n)$ alternations that run for polynomial time.

Deeper Insights:

• Suggested by Kaveh's comment above, the problem can encode computations for $AltTime(\log(n), n)$ Turing machines.
• Also, as Ryan pointed out, the problem can encode computations for $NTimeSpace(2^{\log^2(n)}, \sqrt{n})$ Turing machines.

• More generally, the problem can encode computations for machines corresponding to various classes of the form $AltTimeSpace(a(n), t(n), s(n))$ with restricted witness lengths. I'm not quite sure what the exact relationship between $a(n)$, $t(n)$, and $s(n)$ has to be, but we know that:

  1. $\; \; a(n) \leq \log(n)$

  2. $\; \; t(n) \leq 2^{\log^2(n)}$

  3. $\; \; s(n) \leq n$

See my longer answer for more details on the trade-offs between $a(n)$, $t(n)$, and $s(n)$.

Note: In the above, when I say encode computations, I mean encode the computation without blowing up the instance size too much. That is, if we blow-up from $n$ size Turing machine input to $poly(n)$ size formula, then I think that although the blow-up is polynomial, it is good to pay close attention to the degree of the polynomial. The reason for the semi-fine-grained perspective is to try and slightly better recognize how the different complexity measures $a(n)$, $t(n)$, and $s(n)$ depend on each other.