กฎการยกเว้นตรงกลางแสดงถึง Axiom K ในทฤษฎีประเภท Intensional Type ของ Martin-Löfหรือไม่?

ดังนั้นฉันจึงสงสัยว่ากฎหมายแยกกลาง (LEM) แสดงถึง Axiom K ที่เรียกว่าในทฤษฎีประเภท Intensional Type ของ Martin-Löfหรือไม่ สัจพจน์ K ระบุว่า อันที่จริงฉันพยายามพิสูจน์ข้อความทั่วไปที่ แต่หลังจากลดเป็นโดยการเหนี่ยวนำความเท่าเทียมฉันติดอยู่ในปัญหาแรก ฉันพยายามดำเนินการต่อด้วยความขัดแย้ง แต่ดูเหมือนจะไม่ทำงาน ..

Π_{A : T Y พี อี} Π_{x : A} Π_{พี : Id (x, x)}, Id (พี, {refl}_{x})

$\Pi_{A : Type} \Pi_{x : A} \Pi_{p : \text{Id}(x,x)}, \text{Id}(p,\text{refl}_x)$

Π_{A : T Y พี อี} Π_{x, Y : A} Π_{พี, Q : Id (x, Y)}, Id (พี, Q)

$\Pi_{A : Type} \Pi_{x, y : A} \Pi_{p,q : \text{Id}(x,y)}, \text{Id}(p,q)$

q

$q$

{refl}_{x}

$\text{refl}_x$

สิ่งนี้พิสูจน์ได้หรือไม่?

lo.logic type-theory lambda-calculus

— StudentType
แหล่งที่มา

ใช่ LEM หมายถึงเคดูhott หนังสือทฤษฎีบท 7.2.5หรือที่เรียกว่าทฤษฎีบท Hedberg ซึ่งแสดงให้เห็นว่าประเภทที่มีการตอบสนองความเสมอภาค decidable ใด AXIOM Kหากเราถือว่าตรงกลางที่ยกเว้นทุกประเภทมีความเท่าเทียมกันอย่างแน่นอน $K$

หลักการที่สองของคุณเรียกว่า UIP หรือ Uniqueness of Identity Proofs มันเทียบเท่ากับ Axiom K ดูทฤษฎีบท 7.2.1 ในหนังสือ HoTT (เพียงเลื่อนขึ้นจาก 7.2.5 โดยหนึ่งหน้า) สิ่งเหล่านี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ในทฤษฎีประเภทมิติมาร์ติน - โลฟโดยผลงานที่โด่งดังของโทมัสสตรีทเชอร์และมาร์ตินฮอฟมันน์

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา

ฉันจะใช้โอกาสนี้เพื่อพูดถึงการพิสูจน์ที่สง่างามของ Alan Schmittซึ่งเน้นส่วนประกอบที่สำคัญอย่างชัดเจน: ความสามารถที่ได้รับการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันในการผลิตแบบบัญญัติ

— gallais

อย่างไรก็ตามก็เป็นที่น่าสังเกตว่าตามที่ระบุไว้ใน HoTT Book มีรูปแบบที่อ่อนแอกว่าของ "LEM" ซึ่งไม่ได้แปลว่า K และเป็นเนื้อหาที่นักคณิตศาสตร์หมายถึง LEM จริง ๆ นั่นคือ LEM ถูก จำกัด เฉพาะประเภทย่อย

— Mike Shulman