การลดชั้นในสุดอยู่ตลอดใน ty-แคลคูลัสที่ไม่มีการพิมพ์หรือไม่?

(ฉันได้ถามเรื่องนี้ที่ MathOverflow แล้ว แต่ไม่มีคำตอบอยู่ที่นั่น)

พื้นหลัง

ในแคลคูลัสแลมบ์ดา untyped คำที่อาจจะมี redexes จำนวนมากและทางเลือกที่แตกต่างกันเกี่ยวกับการเป็นที่หนึ่งในการลดอาจให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันอย่างดุเดือด (เช่นซึ่งในทางหนึ่ง ขั้นตอน ( -) ลดทั้งหรือตัวเอง) ที่แตกต่างกัน (ลำดับ) ทางเลือกในการที่จะลดจะเรียกว่ากลยุทธ์การลด คำกล่าวจะnormalizingถ้ามีกลยุทธ์การลดลงซึ่งนำไปแบบปกติ คำกล่าวจะnormalizing อย่างยิ่งถ้ากลยุทธ์ลดทุกนำ$(\lambda x.y)((\lambda x.xx)\lambda x.xx)$$\beta$t t t $y$$t$$t$$t$$t$สู่รูปแบบปกติ (ฉันไม่ได้กังวลเกี่ยวกับสิ่งที่ แต่การบรรจบกันรับประกันว่ามีความเป็นไปได้มากกว่าหนึ่งไม่ได้)

กลยุทธ์การลดการกล่าวถึงเป็นnormalizing (และอยู่ในความรู้สึกบางอย่างที่ดีที่สุดที่เป็นไปได้) ถ้าเมื่อใดก็ตามมีรูปแบบปกติแล้วว่าของที่เราจะจบลง กลยุทธ์ด้านซ้ายสุด - ด้านนอกสุดกำลังทำให้เป็นปกติ$t$

ในตอนท้าย ๆ ของสเปกตรัมของกลยุทธ์การลดลงกล่าวจะเป็นตลอดไป (และอยู่ในความรู้สึกบางอย่างที่เลวร้ายที่สุดที่เป็นไปได้) ถ้าเมื่อใดก็ตามที่มีการลำดับการลดอนันต์จากระยะแล้วกลยุทธ์ที่พบดังกล่าวลำดับ - ในคำอื่น ๆ เราอาจจะล้มเหลวที่จะทำให้ปกติแล้วเราจะ$t$

ฉันรู้ถึงกลยุทธ์การลดค่าใช้จ่ายถาวรและตามลำดับโดย: และ (ในทั้งสองกรณีตัวบ่งชี้ -redex เป็นซ้ายสุดในเทอม - และในรูปแบบปกติกลยุทธ์การลดจำเป็นต้องมีตัวตน) กลยุทธ์F b k F b k ( C [ ( λ x . s ) t ] ) = C [ s [ t / x ] ] ถ้า  t  เป็นอย่างยิ่ง normalizing F b k ( C [ ( λ x . s ) t ] ) = C [ ( λ x . s ) F $F_\infty$$F_{bk}$ F ∞ (C[(λx.s)T])=C[s[T / x]]ถ้า  x  เกิดขึ้นใน  sหรือถ้า  เสื้อ  อยู่ในรูปแบบปกติF ∞ (C[(λx.s)T])=C[(λ

$$\begin{array}{ll} F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $t$ is strongly normalizing} \\ F_{bk}(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_{bk}(t)] & \text{otherwise} \end{array}$$ βC[(λx.s)t]F $$\begin{array}{ll} F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[s[t/x]] & \text{if $x$ occurs in $s$, or if $t$ is on normal form} \\ F_\infty(C[(\lambda x.s)t])=C[(\lambda x.s)F_\infty(t)] & \text{otherwise} \end{array}$$ $\beta$$C[(\lambda x.s)t]$$F_\infty$แม้สูงสุด - ถ้ามัน normalities ระยะแล้วมันได้ใช้ไปได้ลำดับการลดลงที่ยาวที่สุดที่จะทำเช่นนั้น (ดูตัวอย่างที่ 13.4 ในหนังสือของ Barendregt)

พิจารณากลยุทธ์ลดด้านซ้ายสุดสุดตอนนี้ มันจะลดค่า -redex ซึ่งไม่มี redexes อื่น ๆ เท่านั้น อีกอย่างเป็นทางการมันถูกกำหนดโดย L ( T ) = T ถ้า  เสื้อ  ในรูปแบบปกติ L ( λ x . s ) = λ x L ( s ) สำหรับ  s  ไม่ได้อยู่ในรูปแบบปกติ L ( s T ) = L ( s ) เสื้อสำหรับ  s  ไม่ได้อยู่ในรูปแบบปกติ L ( s T ) = s L ( T ) ถ้า  s$\beta$

$$\begin{array}{ll} L(t) = t &\text{if $t$ on normal form}\\ L(\lambda x.s) = \lambda x. L(s) &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = L(s)t &\text{for $s$ not on normal form}\\ L(st) = s L(t) &\text{if $s$, but not $t$ is on normal form}\\ L((\lambda x. s)t) = s[t/x] &\text{if $s$, $t$ both on normal form} \end{array}$$

---

สัญชาตญาณตามธรรมชาติสำหรับการลดซ้ายสุดภายในคือการทำงานทุกอย่าง - ไม่ต้องมีการสะสมซ้ำดังนั้นจึงควรจะมีตลอดไป เนื่องจากกลยุทธ์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นแบบไม่ จำกัด สำหรับตรรกะการรวม (ไม่ได้พิมพ์) (การลดชั้นในสุดนั้นมีตลอดไปสำหรับ TRW แบบฉากเดี่ยวทั้งหมด) ดังนั้นจึงไม่รู้สึกว่าการมองโลกในแง่ดีแบบมองไม่เห็นอย่างชัดเจน ...

การลดด้านซ้ายสุดคือกลยุทธ์ที่ยั่งยืนสำหรับ -calculus หรือไม่?$\lambda$

หากคำตอบกลายเป็น 'ไม่' ตัวชี้ไปยังตัวอย่างที่เป็นตัวอย่างก็น่าสนใจเช่นกัน

$tt$$t=(\lambda x. (\lambda y.1) (x x))$$L$

$L(tt)=L(t)t=L(\lambda x.(\lambda y.1) (x x))t=(\lambda x.L((\lambda y.1) (x x)))t=(\lambda x.1)t$

$F_\infty$$F_\infty([(\lambda x.(\lambda y.1 (x x))) t]))=(\lambda y.1) (tt)$