ความสัมพันธ์กำลังสองระหว่างพื้นที่ nondeterministic และ deterministic

ทฤษฎีบทของ Savitch แสดงให้เห็นว่าสำหรับฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่พอและพิสูจน์ว่านี่เป็นปัญหาที่เปิดกว้างมานานหลายทศวรรษ .$\mathrm{NSPACE}(f(n)) \subseteq \mathrm{DSPACE}(f(n)^2)$$f$

สมมติว่าเราเข้าใกล้ปัญหาจากส่วนอื่น ๆ เพื่อความง่ายให้สมมติตัวอักษรบูลีน จำนวนพื้นที่ที่ใช้โดย TM ในการตัดสินใจภาษาที่ใช้คำนวณได้นั้นมักจะเกี่ยวข้องกับลอการิทึมของจำนวนสถานะที่ใช้โดยหุ่นยนต์จำลอง TM สำหรับแต่ละชิ้นปกติของภาษา สิ่งนี้กระตุ้นให้เกิดคำถามต่อไปนี้

ให้เป็นจำนวนของ DFAs ที่มีความแตกต่างทางไวยากรณ์กับฯ และให้เป็นจำนวนของที่แตกต่างกันที่มีฯ มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าอยู่ใกล้กับ 2 n N n n LG N n ( lg D n ) $D_n$$n$$N_n$$n$$\lg N_n$$(\lg D_n)^2$

นอกจากนี้ให้เป็นจำนวนภาษาปกติที่แตกต่างกันซึ่งสามารถรับรู้โดย DFA ที่มีรัฐและให้เป็นหมายเลขที่ NFA รู้จัก n N ′ $D_n'$$n$$N_n'$

เป็นที่ทราบหรือไม่ว่าใกล้กับ ? ( lg D ′ n ) $\lg N_n'$$(\lg D_n')^2$

ไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่าและD_n 'หรือN_nและN_n'เกี่ยวข้องกันอย่างไรหรือใกล้ชิดกันมากแค่ไหน หากทั้งหมดนี้เกี่ยวข้องกับคำถามที่รู้จักกันดีในทฤษฎีออโตมาตะแล้วคำแนะนำหรือตัวชี้จะได้รับการชื่นชม คำถามเดียวกันนี้เกี่ยวข้องกับออโตมาตาแบบสองทางด้วยเหตุผลเดียวกันและฉันสนใจรุ่นนี้เป็นพิเศษ$D_n$$D_n'$$N_n$$N_n'$

ในบทความของฉันกับ Domaratzki และ Kisman "ในจำนวนภาษาที่แตกต่างกันซึ่งได้รับการยอมรับโดยออโต จำกัด กับ n state" ที่ตีพิมพ์ใน J. Automata, Languages ​​และ Combinatorics 7 (2002) เราพิสูจน์แล้วว่าถ้าเป็นจำนวนที่แตกต่างกัน ภาษาที่ NFA ยอมรับโดยมีรัฐเป็นตัวอักษร -letter และนั้นคล้ายกันกับจำนวนภาษาที่แตกต่างกันซึ่งเป็นที่ยอมรับโดย DFA's จากนั้นจึงแก้ไข$G_k (n)$$n$$k$$g_k (n)$$k \geq 2$

(i)คือคำสั่งซื้อที่มีขนาดเล็กถึงมากที่สุด asymptotically$\log g_k (n)$$kn\log n$

(ii)คือขึ้นอยู่กับข้อตกลงการสั่งซื้อขนาดเล็ก asymptotically ระหว่างและ 2$\log G_k (n)$$(k-1)n^2$$kn^2$