วิธีที่จะไม่คำนวณวงกลมที่เล็กที่สุดซึ่งล้อมรอบกลุ่มของขอบเขตที่แน่นอน

สมมติว่าเรามีขอบเขต $L$ ของดิสก์ในและเราต้องการที่จะคำนวณดิสก์ขนาดเล็กที่สุดที่D วิธีมาตรฐานในการทำเช่นนี้คือการใช้อัลกอริทึมของ Matousek, Sharir และ Welzl [1] เพื่อหาพื้นฐานของและให้ดิสก์ขนาดเล็กที่สุดที่มีB ดิสก์อาจคำนวณพีชคณิตโดยใช้ความจริงที่ว่าตั้งแต่เป็นพื้นฐานแต่ละดิสก์ในสัมผัสกันไปB $\mathbb{R}^2$ $D$ $\bigcup L\subseteq D$ $B$ $L$ $D=\langle B\rangle$ $\bigcup B$ $\langle B\rangle$ $B$ $B$ $\langle B\rangle$

(เป็นพื้นฐานของถ้านั้นน้อยที่สุดเช่นพื้นฐานมีองค์ประกอบอย่างน้อยสามองค์ประกอบโดยทั่วไปสำหรับลูกในเป็นพื้นฐาน มีองค์ประกอบมากที่สุด) $B\subseteq L$ $L$ $B$ $\langle B\rangle=\langle L\rangle$ $\mathbb{R}^d$ $d+1$

มันเป็นอัลกอริทึมแบบสุ่มซ้ำดังนี้ (แต่ดูด้านล่างสำหรับเวอร์ชันที่ซ้ำซึ่งอาจเข้าใจได้ง่ายขึ้น)

โพรซีเดอร์ : อินพุต : ชุดดิสก์จำนวน จำกัด ,โดยที่เป็นพื้นฐาน (ของ ) $MSW(L, B)$
$L$ $B$ $B$ $B$

ถ้ากลับB $L=\varnothing$ $B$
มิฉะนั้นเลือกโดยการสุ่ม $X\in L$
ให้B) $B'\leftarrow MSW(L-\{X\}, B)$
ถ้าแล้วกลับB' $X\subseteq\langle B'\rangle$ $B'$
มิฉะนั้นกลับ $MSW(L, B'')$ ที่ $B''$ เป็นพื้นฐานของ $B'\cup\{X\}$ \}

ใช้เป็น $MSW(L, \varnothing)$ ในการคำนวณพื้นฐานของL $L$

เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันมีสาเหตุที่จะใช้อัลกอริทึมนี้ หลังจากตรวจสอบว่าผลลัพธ์นั้นถูกต้องในกรณีทดสอบนับล้านรายการที่สร้างแบบสุ่มฉันสังเกตว่าฉันได้ทำข้อผิดพลาดในการใช้งาน ในขั้นตอนสุดท้ายที่ผมกำลังจะกลับ $MSW(L-\{X\}, B'')$ มากกว่า $MSW(L, B'')$ '')

แม้จะมีข้อผิดพลาดนี้อัลกอริทึมก็ให้คำตอบที่ถูกต้อง

คำถามของฉัน:ทำไมอัลกอริทึมรุ่นที่ไม่ถูกต้องนี้ให้คำตอบที่ถูกต้องที่นี่ มันใช้งานได้ดีหรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นนั่นเป็นความจริงในมิติที่สูงขึ้นหรือไม่

เพิ่ม: ความเข้าใจผิดบางอย่าง

หลายคนเสนอข้อโต้แย้งที่ไม่ถูกต้องกับเอฟเฟกต์ที่อัลกอริทึมที่แก้ไขนั้นถูกต้องเล็กน้อยดังนั้นจึงอาจเป็นประโยชน์ในการป้องกันความเข้าใจผิดบางประการที่นี่ หนึ่งความเชื่อที่ผิดที่นิยมน่าจะเป็นที่B) นี่คือตัวอย่างของการอ้างสิทธิ์ ให้ดิสก์ดังด้านล่าง (ขอบเขตของก็แสดงเป็นสีแดงด้วย): $B\subseteq\langle MSW(L, B)\rangle$ $a,b,c,d,e$ $\langle a,b,e\rangle$

เราสามารถมี ; และโปรดทราบว่า : $MSW(\{c, d\}, \{a,b,e\})=\{c,d\}$ $e\notin\langle c,d\rangle$

นี่คือวิธีที่มันสามารถเกิดขึ้นได้ การสังเกตครั้งแรกคือ : $MSW(\{c\},\{a,b,e\})=\{b,c\}$

เราต้องการคำนวณ $MSW(\{c\},\{a,b,e\})$
เลือก $X = c$
ให้ $B' = MSW(\varnothing, \{a,b,e\}) = \{a,b,e\}$
สังเกตว่า $X\notin\langle B'\rangle$
ดังนั้นให้เป็นพื้นฐานของ $B''$ $B'\cup\{X\} = \{a,b,c,e\}$
สังเกตว่า $B''=\{b,c\}$
ส่งคืนซึ่งคือ $MSW(\{c\}, \{b,c\})$ $\{b,c\}$

ตอนนี้พิจารณา\}) $MSW(\{c, d\}, \{a,b,e\})$

เราต้องการคำนวณ $MSW(\{c, d\}, \{a,b,e\})$
เลือก $X=d$
ให้ $B' = MSW(\{c\}, \{a,b,e\}) = \{b,c\}$
สังเกตว่า $X\notin\langle B'\rangle$
ดังนั้นให้เป็นพื้นฐานของ $B''$ $B'\cup\{X\} = \{b,c,d\}$
สังเกตว่า $B''=\{c,d\}$
ส่งคืนซึ่งคือ $MSW(\{c,d\}, \{c,d\})$ $\{c,d\}$

(เพื่อความชัดเจนให้เราบอกว่าดิสก์ทั้งหมดมีรัศมี 2 และมีศูนย์กลางอยู่ที่ , , ,และตามลำดับ) $a,b,c,d,e$ $(30,5)$ $(30,35)$ $(10, 5)$ $(60, 26)$ $(5, 26)$

เพิ่ม: การนำเสนอซ้ำ

มันอาจจะง่ายกว่าที่จะคิดเกี่ยวกับการนำเสนอซ้ำของอัลกอริทึม แน่นอนว่าฉันเห็นภาพพฤติกรรมของมันได้ง่ายขึ้น

อินพุต : รายการของดิสก์เอาต์พุต : พื้นฐานของ $L$
$L$

Let B $B\leftarrow\varnothing$
สลับสุ่ม $L$
สำหรับแต่ละใน : $X$ $L$
ถ้า : $X\notin\langle B\rangle$
ให้เป็นพื้นฐานของ\} $B$ $B\cup\{X\}$
กลับไปที่ขั้นตอนที่ 2
ย้อนกลับB $B$

เหตุผลที่สิ้นสุดขั้นตอนวิธีบังเอิญเป็นที่ขั้นตอนที่ 5 เสมอเพิ่มรัศมีของ - และมีค่าที่เป็นไปเพียงขีดหลายB $\langle B\rangle$ $B$

เวอร์ชันที่แก้ไขไม่มีการนำเสนอซ้ำ ๆ แบบง่ายๆเท่าที่ฉันเห็น (ฉันพยายามที่จะให้หนึ่งในการแก้ไขก่อนหน้านี้ไปโพสต์นี้ แต่มันผิด - และให้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง)

การอ้างอิง

[1] JiříMatoušek, Micha Sharir และ Emo Welzl ขอบเขตเอ็กซ์โพเนนเชียลสำหรับการโปรแกรมเชิงเส้น อัลกอริทึม, 16 (4-5): 498–516, 1996

cg.comp-geom linear-programming computational-geometry

— โรบินฮุสตัน
แหล่งที่มา

ประการแรกในบรรทัด "อินพุต: ... " ฉันคิดว่าคุณต้องการ "(จาก L)" มากกว่า "(จาก B)" ประการที่สองเมื่อส่งคืนขยะ (L- {X}, B '') แทนขยะ (L, B '') พื้นฐาน B '' ของคุณถูกกำหนดให้เป็นพื้นฐานของ [B 'union {X}] ดังนั้น X คือ ยังคงมั่นใจว่าจะถูกปกคลุมด้วยขยะ (L- {X}, B '') แม้ว่าคุณจะลบมันออกจากชุด

— JimN

ไม่ฉันหมายถึง“ (จาก B)” จริงๆและ B ไม่จำเป็นต้องเป็นชุดย่อยของ L ในการโทรซ้ำ องค์ประกอบของ BL ไม่จำเป็นต้องครอบคลุมโดยขยะ (L, B) เช่นในตัวอย่างนี้bl.ocks.org/robinhouston/c4c9dffbe8bd069028cad8b8760f392cโดยที่

และ

(กดปุ่มลูกศรเล็ก ๆ เพื่อข้ามการคำนวณ)

L = {a, b, c, d}

$L=\{a,b,c,d\}$

B = {a, b, e}

$B=\{a,b,e\}$

— Robin Houston

ขั้นตอนการลบออกจากก่อนที่การเรียกซ้ำครั้งต่อไปจะช่วยปรับปรุงอัลกอริทึมได้จริงเนื่องจากจะลบเพิ่มไปแล้วออกจากกลุ่มผู้สมัครพื้นฐาน มันจะใช้งานได้เสมอเพราะมันเทียบเท่ากับอัลกอริธึมที่มีอยู่และมันจะทำงานในมิติที่สูงกว่า $X$ $L$ $X$

ติดตามผ่านอัลกอริทึม เมื่อคุณใช้มีและ ' สมมติว่าเราเลือกมันอีกครั้งในขั้นตอนที่ 2 โดยไม่คำนึงถึงผลการขั้นตอนที่ 3, มักจะมีเพราะฟังก์ชันเวียนมีค่าคงที่ ) $MSW(L,B^{\prime\prime})$ $X \in L$ $X \in B^{\prime\prime}$ $B^\prime$ $X$ $B \subseteq MSW(L,B)$

กล่าวอีกนัยหนึ่งการปรับปรุงทางลัดของอัลกอริทึมเป็นขั้นตอนที่ 3 ในส่วนที่ถูกเลือก $X$

— แลร์รี่บี
แหล่งที่มา

มันไม่เป็นความจริงที่

โดยทั่วไป ลองดูตัวอย่างที่เชื่อมโยงในความคิดเห็นของฉันกับคำถาม

B \subseteq M S W (L, B)

$B\subseteq MSW(L,B)$

— Robin Houston

ไม่เป็นความจริงเลยที่

สำหรับเรื่องนั้น! คุณหมายถึง

? ฉันสงสัยว่าถ้าคุณพยายามอธิบายการโต้แย้งของคุณอย่างจริงจังมากขึ้นคุณจะเห็นว่ามันไม่ได้ผล

X \in B^{″}

$X\in B''$

X \in ⟨ B^{″} ⟩

$X\in\langle B''\rangle$

— Robin Houston

NB มันไม่ได้จริงในทั่วไปที่

⟩

B \subseteq ⟨ M S W (L, B) ⟩

$B\subseteq\langle MSW(L, B)\rangle$

— Robin Houston

ฉันได้เพิ่มส่วนคำถามให้ counterexample จะเป็น

เนื่องจากหลายคนได้ควรมันจะเป็นจริง

B \subseteq ⟨ M S W (L, B) ⟩

$B\subseteq\langle MSW(L,B)\rangle$

— Robin Houston

โอ้ฉันพลาดไปโดยสิ้นเชิง!

⟩

ใช่คำตอบนี้ผิดทั้งหมด ฉันควรลบหรือไม่

B^{''} = ⟨ B^{'} \cup X ⟩

$B^{\prime\prime} = \langle B^\prime \cup X \rangle$

— Larry B.