กระจายความสัมพันธ์แบบไบนารีลงในถังขยะเพื่อให้แต่ละองค์ประกอบอยู่ในถังขยะจำนวนเล็กน้อย

เราได้รับวัตถุคู่ (พูดตัวเลข) แต่ละวัตถุปรากฏในคู่มากที่สุด $q$ เป้าหมายของเราคือกระจายคู่ไปยังถังขยะที่มีขนาดเท่ากันเช่นที่แต่ละวัตถุเกิดขึ้นในถังขยะที่แตกต่างกันน้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

แม่นยำมากขึ้นเราสนใจฟังก์ชั่น $f$ กับคุณสมบัติที่สำหรับความสัมพันธ์แบบไบนารีทุกคู่กับ $m$ คู่ที่มากที่สุด $q$ คู่ต่อวัตถุมีการกระจายของคู่กับ $p$ ถังขยะเช่นว่าแต่ละถังได้รับคู่ $m/p$ ( $p$ ควรแบ่ง $m$ ) และไม่มีวัตถุใดเกิดขึ้นในถังขยะ $f(m,q,p)$

คำถามนี้เกิดขึ้นในการวิจัยของเราเกี่ยวกับการประเมินแบบสอบถามแบบขนาน ใครจะคาดหวังว่า $m$ มีขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับ $p$ Pขนาด "ขวา" ของนั้นชัดเจนน้อยกว่า ขนาดที่น่าสนใจสำหรับอาจจะเป็นเช่น{p}} ฟังก์ชั่นที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับแต่ใช้ได้กับช่วงแน่นอนเท่านั้นก็จะมีประโยชน์เช่นกัน (แต่ไม่ใช่) $q$ $q$ $\sqrt{\frac{m}{p}}$ $q$ $q$ $q=O(1)$

ที่จริงแล้วเราอยู่หลังขอบเขตของแบบฟอร์ม $p^{1-\epsilon}$ โดยที่ $\epsilon>0$ มีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ...

combinatorics

— โทมัส
แหล่งที่มา

ในคำศัพท์กราฟ: กำหนดจำนวนเต็ม

และกราฟ

ด้วยขอบ

โดยแต่ละจุดสุดยอดมีระดับสูงสุด

, ค้นหา

subgraphs

โดยที่

เช่นนั้น

และ

p

$p$

G = (V, E)

$G=(V,E)$

m

$m$

q

$q$

p

$p$

G_{1}, G_{2}, \dots, G_{p}

$G_1, G_2, \ldots, G_p$

G_{i} = (V_{i}, E_{i})

$G_i=(V_i, E_i)$

V = ⋃_{i} V_{i}

$V=\bigcup_i V_i$

{E_{i}}_{i}

$\{E_i\}_i$ เป็นพาร์ทิชันของ

ลงใน

ชิ้นส่วนแต่ละขนาด

และแต่ละจุดสุดยอด

เกิดขึ้นในที่มากที่สุด

ของกราฟ

)

เป้าหมายของคุณคือการลดk

สิ่งที่ผูกพันที่ดีที่สุดบนของ

คุณสามารถแสดงให้

และ

E

$E$

p

$p$

m / p

$m/p$

v \in V

$v\in V$

k

$k$

(max_{v} | {i : v \in V_{i}} | \leq k)

$(\max_v |\{i : v\in V_i\}| \le k)$

k

$k$

k

$k$

m

$m$

p

$p$

q

$q$

— Neal Young

ถูกตัอง. ในแง่ของกราฟ

P อันที่จริงตามที่เขียนไว้ข้างต้นเรามีความสนใจในขอบเขตของรูปแบบ

และไม่ได้มีใด ๆ ดังกล่าวมุ่ง

p

$p$

p^{1 - ϵ}

$p^{1-\epsilon}$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

— โทมัส S

กรณีพิเศษในการเริ่มต้น: ให้

เป็นจำนวนเต็มคี่ หนึ่งพาร์ติชันสามารถ

n \geq 1

$n \ge 1$

ขอบของสมบูรณ์กราฟ

เข้า

ย่อยของขนาด

ดังกล่าวว่าสำหรับแต่ละจุดสุดยอดจำนวนของส่วนย่อยที่มีเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นขอบจุดสุดยอดที่เป็น

สำหรับบาง

? ฉันเดิมพันที่ใช่สำหรับการใด ๆ

--- ใช้

ย่อยยอดสุ่มขนาด

แต่ละ แล้วด้วยความน่าจะเป็นสูงแต่ละจุดสุดยอดจะอยู่ที่ประมาณ

(\binom{n}{2})

$n\choose 2$

K_{n}

$K_n$

n

$n$

(n - 1) / 2

$(n-1)/2$

O (n^{1 - ϵ})

$O(n^{1-\epsilon})$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

ϵ < 1 / 2

$\epsilon<1/2$

n

$n$

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

ของเซตย่อยจุดสุดยอดและแต่ละคู่

อยู่ใน

ของเซตย่อย ตอนนี้กำหนดคู่ที่จะย่อย ...

n^{1 - ϵ}

$n^{1-\epsilon}$

(i, j)

$(i,j)$

n^{1 - 2 ϵ}

$n^{1-2\epsilon}$

— โอนีลหนุ่ม

ในกรณีนี้โหนดสามารถกระจายครั้งแรกใน

ขนาด

ชุด

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

(คิดถึงช่วงเวลา) จากนั้นถังขยะแต่ละอันจะได้รับผลิตภัณฑ์

ของสองชุดดังกล่าว (ฉันกำลังพิจารณากราฟกำกับอย่างสมบูรณ์ซึ่งง่ายต่อการระบุและไม่แตกต่างกันมากนัก) ดังนั้นแต่ละจุดยอดเกิดขึ้นใน

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

I \times J

$I\times J$

ถังขยะนั่นคือ

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

ในกรณีนี้

ϵ = \frac{1}{2}

$\epsilon=\frac{1}{2}$

— โทมัสเอส

สำหรับรูปแบบของกราฟดาว (

ขอบเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นให้เป็นหนึ่งในจุดสุดยอด

) จุดสุดยอด

จะต้องมีในแต่ละ

subgraphs ดังนั้นสำหรับกรณีที่ผูกพันน้อยกว่า

เป็นไปไม่ได้ ฉันเดาว่าทำไมคุณ จำกัด ระดับสูงสุด

? บางทีคุณอาจพูดอะไรบางอย่างที่ชัดเจนเกี่ยวกับเรื่องนี้มากกว่าเพราะมันเป็นข้อสันนิษฐานที่สำคัญ ในขณะเดียวกันฉันออกจากการสังเกต (ไม่ใช่คำตอบ แต่ใหญ่เกินไปที่จะใส่เป็นความคิดเห็น!) เป็นคำตอบด้านล่าง

n - 1

$n-1$

r

$r$

r

$r$

p

$p$

p

$p$

q

$q$

— Neal Young

นี่ไม่ใช่คำตอบ มันเป็นเพียงการสังเกตเล็กน้อยที่ WLOG คุณสามารถผ่อนคลายความต้องการที่มีชุดย่อย edge ที่มีขนาดเท่ากันทุกประการและแทนที่จะมองหาชุดย่อยของขอบขนาดใดขนาดหนึ่งแทน . บางทีนี่อาจช่วยคิดเกี่ยวกับปัญหา $p$ $\{E_i\}_i$ $O(\textsf{the desired size})$

แก้ไขกราฟและจำนวนเต็ม 1ให้ $G=(V,E)$ $p\ge 1$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

บทแทรก สมมติว่ามี subgraphs ดังกล่าวว่าพาร์ทิชันเข้า (จำนวนใด ๆ ) ชิ้นส่วนขนาด )ให้ $\{G'_j=(V'_j,E'_j)\}_j$ $\{E'_j\}_j$ $E$ $O(s)$

M = max_{v \in V} | {j : v \in V_{j}^{'}} |

$M = \max_{v\in V} |\{j : v\in V'_j\}|$ เป็นจำนวนชิ้นส่วนสูงสุดที่จุดสุดยอดใด ๆ อยู่

จากนั้นก็มี subgraphs ที่แบ่งพาร์ติชันเป็นส่วนที่แน่นอนแต่ละขนาดที่มากที่สุด , และ $p$ $\{G_i=(V_i,E_i)\}_i$ $\{E_i\}_i$ $E$ $p$ $s=\lceil |E|/p\rceil$

max_{v \in V} | {i : v \in V_{i}} | = O (M) .

$\max_{v\in V} |\{i : v\in V_i\}| = O(M).$

พิสูจน์ เริ่มต้นด้วยลำดับ , แทนที่แต่ละส่วนในลำดับโดยลำดับลำดับของขอบที่มีอยู่ในส่วนนั้น ให้เป็นลำดับส่งผลให้ (กการเปลี่ยนแปลงของดังกล่าวว่าแต่ละส่วนเป็นบางส่วน "ช่วงเวลา" $E'_1, E'_2, \ldots, E'_{p'}$ $E'_j$ $e_1, e_2, \ldots, e_m$ $E$ $E'_j$ ของขอบตามลำดับ) ตอนนี้พาร์ทิชันลำดับนี้ลงในsubsequences ต่อเนื่องกันเช่นกันว่ายกเว้นสุดท้ายมีขนาดและปล่อยให้มีขอบในTH subsequence ที่ต่อเนื่องกัน (ดังนั้น $\{e_a, e_{a+1}, \ldots, e_b\}$ $p$ $s$ $E_i$ $i$ สำหรับ.) $E_i = \{e_{i\,s+1}, e_{i\,s+1}, \ldots, e_{(i+1)s}\}$ $i<p$

โดยสันนิษฐานว่าแต่ละส่วนมีขนาดและโดยการออกแบบแต่ละส่วนยกเว้นส่วนสุดท้ายมีขนาดดังนั้น (เนื่องจากวิธีที่กำหนด ) ขอบใด ๆ ส่วนมีแยกทั่วส่วนในฉันสิ่งนี้และการสันนิษฐานว่าจุดสุดยอดแต่ละจุดเกิดขึ้นที่สูงสุดของส่วนต่าง ๆ ใน $E'_j$ $O(s)$ $E_j$ $E_p$ $s$ $\{E_i\}_i$ $E'_j$ $O(1)$ $\{E_i\}_i$ $M$ , หมายความว่าแต่ละจุดสุดยอดที่เกิดขึ้นในที่มากที่สุดของชิ้นส่วนในฉันQED $\{E'_j\}_j$ $O(M)$ $\{E_i\}_i$

— โอนีลยัง
แหล่งที่มา