Norbert Blum 2017 พิสูจน์ว่าถูกต้องหรือไม่?

Norbert Blumเพิ่งโพสต์ 38 หน้าหลักฐานที่NP ถูกต้องหรือไม่$P \ne NP$

นอกจากนี้ในหัวข้อ: มีการพูดคุยถึงความถูกต้องในที่ใด (บนอินเทอร์เน็ต)

หมายเหตุ: ความสำคัญของข้อความคำถามนี้เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา ดูคำถามแสดงความคิดเห็นเพื่อดูรายละเอียด

ดังที่ระบุไว้ที่นี่ก่อนหน้าตัวอย่างของ Tardos จะหักล้างหลักฐานอย่างชัดเจน มันให้ฟังก์ชั่นเสียงเดียวซึ่งเห็นด้วยกับ CLIQUE ใน T0 และ T1 แต่อยู่ใน P สิ่งนี้จะเป็นไปไม่ได้ถ้าการพิสูจน์นั้นถูกต้องเนื่องจากการพิสูจน์ใช้กับกรณีนี้เช่นกัน อย่างไรก็ตามเราสามารถระบุข้อผิดพลาดได้หรือไม่? นี่คือจากโพสต์บนบล็อกของ lipton สิ่งที่ดูเหมือนจะเป็นสถานที่ที่พิสูจน์ล้มเหลว:

ข้อผิดพลาดเดียวคือจุดที่บอบบางในการพิสูจน์ทฤษฎีบท 6 คือในขั้นตอนที่ 1 หน้า 31 (และ 33 ซึ่งกรณีที่สองถูกกล่าวถึง) - การอ้างที่ชัดเจนดูเหมือนว่ามีคำสั่งที่เกี่ยวข้องทั้งหมดที่มีอยู่ในฯลฯ ดูเหมือนว่าผิด C N F ′ ( g $C'_g$$CNF'(g)$

เพื่ออธิบายในรายละเอียดเพิ่มเติมเราจำเป็นต้องเข้าสู่การพิสูจน์และวิธีการประมาณของ Berg และ Ulfberg ซึ่งจะคืนค่าการพิสูจน์ดั้งเดิมของ Razborov เกี่ยวกับความซับซ้อนโมโนโทนแบบเอกซ์โปเนนเชียลสำหรับ CLIQUE ในแง่ของสวิตช์ DNF / CNF นี่คือวิธีที่ฉันเห็น:

ทุกโหนด / ประตูของวงจรตรรกะ (ที่มีไบนารีและ / หรือประตูเท่านั้น) ซึ่งเป็นรูปแบบปกติที่เชื่อมเป็นลักษณะที่แยกแบบปกติและ approximatorsและกำลัง แนบมาด้วย และเป็นรูปแบบปกติที่สอดคล้องและเชื่อมต่อกันของเอาท์พุทเกท และเป็นรูปแบบที่แยกออกและร่วมกัน แต่มีฟังก์ชั่นอื่น ๆ บางอย่าง "ประมาณ" เอาท์พุทเกท อย่างไรก็ตามพวกเขาจำเป็นต้องมีจำนวนตัวแปรของขอบเขตในแต่ละ monomial สำหรับβ C N F ( g ) D N F ( g ) C k G D R g C N F D N F D r G C k กรัม D R g C k $g$$\beta$$CNF(g)$$DNF(g)$$C^k_g$$D^r_g$$CNF$$DNF$$D^r_g$$C^k_g$$D^r_g$(น้อยกว่าค่าคงที่ r) และในแต่ละข้อสำหรับ (น้อยกว่าค่าคงที่ k)$C^k_g$

มีความคิดเกี่ยวกับ "ข้อผิดพลาด" ที่แนะนำเกี่ยวกับการประมาณนี้ ข้อผิดพลาดนี้คำนวณได้อย่างไร เราสนใจเฉพาะอินพุต T0 บางชุดซึ่งฟังก์ชันทั้งหมดของเราใช้ค่า 0 และ T1 ของอินพุตซึ่งฟังก์ชันทั้งหมดของเรารับค่า 1 ("สัญญา") ตอนนี้ที่แต่ละเกทเราจะดูเฉพาะอินพุตเหล่านั้นจาก T0 และ T1 ซึ่งคำนวณอย่างถูกต้อง (โดยทั้งและซึ่งเป็นตัวแทนของฟังก์ชั่นเดียวกัน - เอาต์พุตของเกตใน ) ที่เกตเอ้าท์ และดูจำนวนข้อผิดพลาด / ข้อผิดพลาดสำหรับและC N F ( g ) g β C k กรัม D R g C k กรัม D R g C k กรัม C k กรัม G D R $DNF(g)$$CNF(g)$$g$$\beta$$C^k_g$$D^r_g$เทียบกับที่ หาก gate เป็นการรวมกันเอาต์พุตของ gate อาจคำนวณอินพุตเพิ่มเติมจาก T0 อย่างถูกต้อง (แต่อินพุตที่คำนวณอย่างถูกต้องจาก T1 อาจลดลง) สำหรับซึ่งถูกกำหนดให้เป็นการรวมแบบง่ายไม่มีข้อผิดพลาดใหม่อย่างไรก็ตามในอินพุตเหล่านี้ทั้งหมด ตอนนี้ถูกกำหนดให้เป็นสวิตช์ CNF / DNF ของดังนั้นอาจมีข้อผิดพลาดใหม่จำนวนหนึ่งใน T0 ซึ่งมาจากสวิตช์นี้ บน T1 ยังไม่มีข้อผิดพลาดใหม่ใน - แต่ละข้อผิดพลาดจะต้องปรากฏที่ประตูอินพุตอย่างใดอย่างหนึ่งและในทำนองเดียวกันกับสวิตช์จะไม่แนะนำข้อผิดพลาดใหม่ใน T1 การวิเคราะห์สำหรับเกต OR เป็นแบบคู่$C^k_g$$D^r_g$$C^k_g$$C^k_g$$D^r_g$

ดังนั้นจำนวนข้อผิดพลาดสำหรับผู้ประมาณขั้นสุดท้ายจึงถูก จำกัด ด้วยจำนวนประตูในคูณด้วยจำนวนข้อผิดพลาดที่เป็นไปได้สูงสุดที่แนะนำโดยสวิตช์ CNF / DNF (สำหรับ T0) หรือสวิตช์ DNF / CNF (สำหรับ T1) แต่จำนวนข้อผิดพลาดทั้งหมดจะต้องเป็น "ใหญ่" ในกรณีอย่างน้อยหนึ่งกรณี (T0 หรือ T1) เนื่องจากนี่เป็นคุณสมบัติของรูปแบบปกติเชิงบวกที่เชื่อมต่อกันพร้อมกับประโยคที่ล้อมรอบด้วยซึ่งเป็นข้อมูลเชิงลึกที่สำคัญของหลักฐานดั้งเดิมของ Razborov 5 ในกระดาษของ Blum)$\beta$$k$

ดังนั้นสิ่งที่บลัมทำเพื่อจัดการกับการปฏิเสธ (ซึ่งถูกผลักไปที่ระดับของอินพุตดังนั้นวงจรยังคงมีเฉพาะไบนารี OR / และประตู)?$\beta$

ความคิดของเขาคือ preform สวิตช์ CNF / DNF และ DNF / CNF อย่าง จำกัด เฉพาะเมื่อตัวแปรทั้งหมดเป็นค่าบวก จากนั้นสวิทช์จะทำงานได้อย่างแม่นยำเหมือนในกรณีของ Berg และ Ulfberg ซึ่งจะแนะนำข้อผิดพลาดในจำนวนเดียวกัน ปรากฎว่านี่เป็นกรณีเดียวที่ต้องพิจารณา

ดังนั้นเขาจึงเดินตามแนวของ Berg และ Ulfberg ด้วยความแตกต่างเล็กน้อย แทนที่จะแนบ , ,และเข้ากับแต่ละประตูของวงจรเขาแนบการแก้ไข , ,และคือรูปแบบปกติ "ลดลง" แบบแยกส่วนและเชื่อมซึ่งเขากำหนดให้แตกต่างจากและD N F ( g ) C k g D r g g β C N F ′ ( g ) D N F ′ ( g ) C ′ k g D ′ r g C N F ( g ) D N F ( g ) C ′ r g D ′ $CNF(g)$$DNF(g)$$C^k_g$$D^r_g$$g$$\beta$$CNF'(g)$$DNF'(g)$${C'}^k_g$${D'}^r_g$$CNF(g)$$DNF(g)$โดย "กฎการดูดกลืน" ลบตัวแปรที่ไม่ได้ใช้งานออกจาก monomials / clauses แบบผสมทั้งหมด (นอกจากนี้เขายังใช้สำหรับการดำเนินการนี้แทนด้วย R, การลบ monomials / clauses บางส่วนทั้งหมดตามที่เรากล่าวก่อนหน้านี้ , R สามารถสร้างความแม่นยำได้ดังนั้นมันจึงถูกนำไปใช้ที่แต่ละเกท แต่สิ่งที่ถูกลบนั้นไม่เพียง แต่ขึ้นอยู่กับอินพุตสองตัวก่อนหน้านี้เท่านั้น แต่ในวงจรทั้งหมดที่นำไปสู่เกทนั้น) และตัวประมาณและซึ่งเขาแนะนำด้วย${C'}^r_g$${D'}^r_g$

เขาสรุปในทฤษฎีบทที่ 5 ว่าฟังก์ชั่นเสียงเดียวการลดและจะคำนวณ 1 และ 0 ในเซต T1 และ T0 ที่รูตโหนด (ซึ่งเอาต์พุตเป็นเอาต์พุตของฟังก์ชันทั้งหมดใน ) ฉันเชื่อว่าทฤษฎีบทนี้ถูกต้อง D N F ′ g 0$CNF'$$DNF'$$g_0$$\beta$

ตอนนี้การนับข้อผิดพลาดมา ฉันเชื่อว่าข้อผิดพลาดในแต่ละโหนดนั้นหมายถึงการคำนวณโดยการเปรียบเทียบลดลงและ (ซึ่งตอนนี้อาจเป็นสองฟังก์ชันที่แตกต่างกัน) กับและในขณะที่เขากำหนดไว้ คำจำกัดความของ approximators parrot คำจำกัดความของและ (ขั้นตอนที่ 1) เมื่อผสมตัวแปรกับสิ่งที่ถูกทำให้ยุ่งเหยิง แต่เมื่อเขาจัดการกับตัวแปรเชิงบวกเขาใช้สวิตช์เช่นในกรณีของ Berg และ Ulfberg (ขั้นตอนที่ 2) และแน่นอนในขั้นตอนที่ 2 เขาจะแนะนำข้อผิดพลาดที่เป็นไปได้จำนวนเท่าเดิมเหมือนก่อน (มันเป็นสวิตช์ตัวเดียวกันและตัวแปรที่เกี่ยวข้องทั้งหมดจะเป็นค่าบวก)D N F ′ ( g ) C ′ r g D ′ k g C N F ′ D N F $CNF'(g)$$DNF'(g)$${C'}^r_g$${D'}^k_g$$CNF'$$DNF'$

แต่การพิสูจน์นั้นผิดในขั้นตอนที่ 1 ฉันคิดว่า Blum ทำให้เกิดความสับสน ,ซึ่งมาจริงตามที่เขาได้กำหนดไว้จากผู้ประมาณก่อนหน้า (สำหรับประตู , ) พร้อมส่วนที่เป็นบวกของและ(h_2) มีความแตกต่างและด้วยเหตุนี้คำสั่ง "ยังคงมีคำสั่งทั้งหมดที่อยู่ในก่อนการประมาณเกท g ซึ่งใช้ประโยคในหรือ " ผิดโดยทั่วไปγ 2 ชม. $\gamma_1$$\gamma_2$$h_1$ C N F ′ β ( h 1 ) C N F ′ β ( h 2 ) C ′ g C N F ′ β ( g ) γ ′ 1 γ ′ $h_2$$CNF'_\beta(h_1)$$CNF'_\beta(h_2)$$C_g'$$CNF'_\beta(g)$$\gamma_1'$$\gamma_2'$

ฉันคุ้นเคยกับ Alexander Razborov ซึ่งงานก่อนหน้านี้มีความสำคัญอย่างยิ่งและทำหน้าที่เป็นรากฐานสำหรับการพิสูจน์ของ Blum ฉันโชคดีที่ได้พบเขาในวันนี้และไม่เสียเวลาในการขอความเห็นเกี่ยวกับเรื่องทั้งหมดนี้ไม่ว่าเขาจะได้เห็นหลักฐานหรือไม่และเขามีความคิดอย่างไรถ้าเขาทำ

ด้วยความประหลาดใจของฉันเขาตอบว่าจริง ๆ แล้วเขาตระหนักถึงกระดาษของบลัม แต่ไม่สนใจที่จะอ่านในตอนแรก แต่เมื่อชื่อเสียงเพิ่มขึ้นเขาจึงได้รับโอกาสในการอ่านและตรวจพบข้อบกพร่องในทันที: นั่นคือเหตุผลที่ Berg และ Ulfberg ให้เหตุผลไว้อย่างสมบูรณ์แบบสำหรับการทำงานของ Tardos และเนื่องจากเป็นเช่นนั้นหลักฐานของ Blum จึงจำเป็น ไม่ถูกต้องเนื่องจากขัดแย้งกับแกนกลางของทฤษฎีบท 6 ในเอกสารของเขา

โพสต์นี้เป็นคำตอบของชุมชนเพราะ (ก) ไม่ใช่คำของฉันเอง แต่เป็นการอ้างอิงจาก Luca Trevisan บนแพลตฟอร์มโซเชียลมีเดียหรือจากคนอื่น ๆ ที่ไม่มีบัญชี CSTheory.SE และ (b) ทุกคนควรอัปเดตข้อมูลนี้พร้อมข้อมูลที่เกี่ยวข้องและอัปเดต

Quoting Luca Trevisanจากโพสต์ Facebook สาธารณะ (08/14/2017) ตอบคำถามเกี่ยวกับบทความนี้โดยShachar Lovett :

ฟังก์ชั่นของ Andreev ซึ่งอ้างว่ามีความซับซ้อนของวงจร superpolynomial (นามธรรมจากนั้นส่วนที่ 7) เป็นเพียงการแก้ไขพหุนามแบบหลายตัวแปรในเขต จำกัด ซึ่งถ้าฉันไม่ได้หายไป

จริงๆแล้วนี่ไม่ได้เป็นจุดที่การพิสูจน์ล้มเหลว Luca จึงตอบคำถามต่อไปนี้ (08/15/2017) หลังจากคำถามที่เกี่ยวข้องกับความคิดเห็นของ Andrew ด้านล่าง:

คุณพูดถูกฉันเข้าใจผิดนิยามของฟังก์ชั่นของ Andreev: มันไม่ชัดเจนว่ามันลดการแก้ไขพหุนาม

Karl Wimmerแสดงความคิดเห็นในประเด็นที่ได้รับจากGustav Nordh (ผลิตซ้ำโดยได้รับอนุญาตจาก Karl):

เพื่อเพิ่มนี้ผมไม่เห็นว่าทำไมจากสองย่อหน้าแรกของการพิสูจน์ทฤษฎีบท 5 เราสามารถสรุปได้ว่าคำนวณฉฉันเห็นเพียงประเภทเดียวที่คำนวณฟังก์ชั่นเช่นที่บอกเป็นนัยว่าฟังก์ชั่นนี้ยังเป็น 1f D N F ′ ( g 0 ) f = $\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f = 1$

ย่อหน้าที่สามไม่ได้ช่วยฉันเช่นกันแน่นอนและสวิทช์ DNF / CNF ของมันคำนวณฟังก์ชั่นเดียวกัน แต่ไม่ได้ทำตามทันทีว่าสวิทช์ DNF / CNF-compute (เพราะอาจไม่) ดังนั้นเราจึงไม่สามารถหาข้อสรุปเกี่ยวกับ -clauses ได้$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$

(นอกเหนือจาก: ด้านเดียวนี้มีความสอดคล้องกับตัวอย่างของกุสตาฟ ด้านบน)

จากมุมมองที่แตกต่างกันแน่นอนว่าการคำนวณเครือข่ายมาตรฐานฟังก์ชั่นโมโนโทนสามารถคำนวณฟังก์ชั่นที่ไม่ใช่โมโนโทนที่โหนดภายใน ทฤษฎีบทที่ 5 ไม่ได้ใช้กับฟังก์ชั่นที่ไม่ใช่เสียงเดียวดังนั้น อาจคำนวณฟังก์ชันย่อยในเครือข่ายได้ไม่ถูกต้องซึ่งโหนดเอาต์พุตเป็น (ซึ่งจะเกิดขึ้นกับฟังก์ชั่นที่ไม่ใช่เสียงเดียว) ด้วยเหตุนี้ฉันจึงไม่เชื่อว่าการสร้างอุปนัยของ จะต้องถูกต้องในตอนท้าย$\mathrm{DNF'}(g)$$g$$\mathrm{DNF'}(g_0)$

หากฉันไม่อยู่ที่นี่โปรดแจ้งให้เราทราบ!

จากผู้ใช้ที่ไม่ระบุชื่อตอบสนองต่อประเด็นของ Karl:

DNF 'และ CNF' เป็นเพียง DNF และ CNF สำหรับ f ซึ่งการยกเลิกตัวอักษรที่ตรงข้ามกันจะทำดังนั้นจึงลดพวกเขาให้อยู่ในรูปแบบที่สั้นลง นี่เป็นคำอธิบายในกระดาษและมันค่อนข้างยุ่งยากจากคำจำกัดความ แต่นั่นคือสิ่งที่มันเป็น ทฤษฎีบท 5 ไม่ใช่ปัญหา แต่เนื้ออยู่ในทฤษฎีบท 6

และคำตอบของคาร์ล (ซึ่งฉันทำซ้ำอีกครั้งที่นี่):

ฉันเห็นสิ่งที่อานนท์พูด (ขอบคุณ!); ความคิดเห็นของฉันไม่เหมาะสมกับความสับสนของฉัน หากเป็นเสียงเดียวและคำนวณที่มันเป็นเรื่องปกติที่จะใช้ใช้การดูดซึมและผู้ประกอบการและส่งผลให้แสดงให้เห็นถึงFการใช้สิ่งก่อสร้าง "one-shot" นี้ทฤษฎีบท 5 ใช้ได้ดี - ต่อกับทฤษฎีบท 6 ฉันคำจำกัดความของ$f$$g_0$$\mathrm{DNF}(g_0)$$R$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$$\mathrm{DNF'}(g_0)$

สิ่งที่ฉันไม่สามารถมองเห็นได้คือเหตุผลที่การสร้างแบบประตูต่อประตูนำไปใช้กับการดูดซับและ -as-you-go ของในหน้า 27-28 ทำสิ่งเดียวกัน สิ่งนี้ดูเหมือนว่าจำเป็นสำหรับการวิเคราะห์แบบต่อเนื่องโดยใช้ทฤษฎีบท 6 ในการทำงานเว้นแต่ว่าจะมีข้อผิดพลาดจากการก่อสร้างนี้ ฉันหมายถึงว่าทุกฟังก์ชั่นไม่สามารถเป็นตัวแทนของ DNF ที่มีคำศัพท์ที่มีตัวอักษรที่ไม่ได้ถูกทำให้เป็นโมฆะ แต่สำหรับแต่ละโหนด ,ดูเหมือนจะมีรูปแบบนี้เสมอ เกิดอะไรขึ้นถ้ามีโหนดในเครือข่ายของฉันที่ไม่มีการแสดงดังกล่าว?$R$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$g$$\mathrm{DNF'}(g)$$g$$\mathrm{res}(g)$

(จุดเล็ก ๆ (?) อีกจุด: ฉันไม่เห็นสิ่งที่ทำในการก่อสร้างแบบไปตามเกตในขณะที่คุณกำลังไปใน 1. -4 ดูเหมือนว่าเป็นโครงสร้าง DNF มาตรฐานอยู่แล้ว แต่ ด้วยการดูดซับและใช้ )$R$$\alpha$$R$

(คำตอบจากอานนท์) ฉันยอมรับว่าความคลุมเครือในคำนิยามของ R อาจเป็นปัญหาในส่วนที่ 6 R ไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดเจนและเว้นแต่การกระทำของมันขึ้นอยู่กับ DNF ทั้งหมด (และไม่ได้อยู่ในค่าของ DNF 'ที่ประตูเหนี่ยวนำ) อาจมีปัญหา ข้อพิสูจน์ของ Deolalikar มีปัญหาที่คล้ายกัน - คำจำกัดความที่แตกต่างกันสองข้อสับสน อย่างน้อยที่สุดเราก็รู้ว่า DNF นั้นมีความหมายอย่างไรและหากนี่คือสาเหตุของปัญหาในหัวข้อที่ 6 มันสามารถติดตามได้ง่าย ฉันไม่ได้เข้าไปในส่วนที่ 6 แต่ต้องมีการพิสูจน์ความเข้าใจโดยผู้ประมาณโดย Berg และ Ulfberg ตามที่อธิบายไว้ในส่วนที่ 4 ในที่สุดเกี่ยวข้องกับการก่อสร้างของ Razborov ในปี 1985 ซึ่งไม่ใช่เรื่องง่าย

คำอธิบายวิธีการทำงานของ R:

เมื่อ R ถูกนำไปใช้ในบางขั้นตอนมันจะยกเลิกเฉพาะคำที่ AT ขั้นตอนนั้นจะมีตัวอักษรที่ตรงกันข้าม (เราอาจจำเป็นต้องติดตามตัวอักษรเชิงลบ) ตัวอย่างเช่นให้ประเมิน เป็น ก่อนเพื่อคำนวณ DNF 'ที่แรกและโหนดเราได้ก่อนที่จะใช้ R แต่หลังจากใช้ R เราจะเสียแรกจากวงเล็บแรกและได้รับ (ที่แรกอาจมีเสมือนไม่ใช่ถ้าเราติดตามมัน) . จากนั้นใช้คำสั่ง AND และเพื่อรับ

$$(x\lor y) \land (\lnot x \lor y) \land (x \lor \lnot y)$$ $$((x\lor y) \land (\lnot x \lor y))\land (x \lor \lnot y)$$ $$(x\lor y) \lor ((x\land y)\lor (y\land y))$$ $x$ $$(y) \lor (x\land y)\lor (y),$$ $y$$x$ $$((y) \lor (x\land y)\lor (y)) \lor ((x\land y)\lor (x\land y) \lor (x\land y)),$$ แต่แล้ว R ก็เอา ทั้งวงเล็บแรกเนื่องจากมี virtual not y อยู่ (ในกรณีนี้เราไม่จำเป็นต้องติดตามขั้นตอนก่อนหน้า แต่บางทีเราต้องการโดยทั่วไป) ออก หรือเพียงแค่ $$((x\land y)\lor (x\land y) \lor (x\land y))$$ $$(x\land y)$$

ความถูกต้องของการพิสูจน์ที่อ้างสิทธิ์จะถูกกล่าวถึงในบล็อกของ Luca Trevisan: https://lucatrevisan.wordpress.com/2017/08/15/on-norbert-blums-claimed-proof-that-poes-not-equal- NP /

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง "อานนท์" โพสต์ความคิดเห็นที่เกี่ยวข้องดังต่อไปนี้:

"Tardos ตั้งข้อสังเกตว่าข้อโต้แย้งของ Razborov และ Alon-Boppana นำไปใช้กับฟังก์ชั่นซึ่งคำนวณโดยพหุนามขนาดไม่ใช่วงจรโมโนโทน (ฟังก์ชั่นนี้เป็นตัวแปรขนาดเล็กในการประมาณฟังก์ชัน Lovasz theta ของ Berg) สมัครฟังก์ชั่นของ Tardos (ซึ่งเป็นไปได้โดยสัญชาตญาณเนื่องจากข้อพิสูจน์ของพวกเขาดูเหมือนจะอยู่บนพื้นฐานของการพิสูจน์ของ Razborov) ดังนั้นจึงเป็นที่ชัดเจนว่าการเรียกร้องในปัจจุบันของ Blum ไม่สามารถแก้ไขได้

คำถามโดยตรงจาก "มิคาอิล" อเล็กซานเดอร์บอร์บอฟยืนยันเรื่องนี้ (ดูโพสต์ของมิคาอิล): เหตุผลที่ให้โดยภูเขาน้ำแข็งและอุลฟเบิร์กนั้นสมบูรณ์แบบสำหรับการทำงานของ Tardos และเนื่องจากนี่เป็นเช่นนั้น ของทฤษฎีบทที่หกในบทความของเขา - A. Razborov

ในความคิดของฉันนี้แน่นอนตัดสินคำถามว่ากระดาษถูกต้องหรือไม่ (มันไม่ถูกต้อง!) มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบว่ามันยากที่จะซ่อมแซมการพิสูจน์เป็นวิธีการพิสูจน์ตัวเองดูเหมือนว่ามีข้อบกพร่อง

Update (2017/08/30) Norbert Blum โพสต์ความคิดเห็นต่อไปนี้บนหน้า arXiv ของเขา:

การพิสูจน์นั้นผิด ฉันจะทำอย่างละเอียดแม่นยำว่าความผิดพลาดคืออะไร สำหรับการทำเช่นนี้ฉันต้องการเวลา ฉันจะใส่คำอธิบายไว้ในหน้าแรกของฉัน

Gustav Nordh แสดงความคิดเห็นโดย Theorem 5 (หน้า 29) โดยเฉพาะฟังก์ชั่น

$1$$x$$y$$1$$\beta$$x$$y$$\beta$$g_0$

กระดาษ Blum สร้างรูปแบบปกติที่แยกออกใหม่จากซึ่งดูเหมือนจะเป็น$DNF'_{\beta}(g_0)$$\beta$

ตอนนี้ตามทฤษฎีบท 5 แต่ละ monomial ในเป็น implicant ของฉแต่หนึ่งใน monomials ในคือซึ่งไม่ใช่นัยของ (เพราะไม่ได้หมายความถึง ) ซึ่งขัดแย้งกับทฤษฎีบท อย่างไรก็ตามตามที่ระบุไว้ในความคิดเห็นที่นำมาประกอบกับกุสตาฟ Nordh และคำอธิบายรายละเอียดโดย idolvon, ความแตกต่างที่เห็นได้ชัดนี้จะแก้ไขปัญหาโดยการตีความที่เหมาะสมและการขยายตัวของคำว่า "มา" ในความหมายของผู้ประกอบการลดลงของR$DNF'_{\beta}(g_0)$$f$$DNF'_{\beta}(g_0)$$x$$f$$x=1$$f(x,y)=1$$R$

ใครสามารถใช้การถอดรหัสรายการรหัส Reed-Solomon เพื่อแสดงฟังก์ชั่น POLY ของ Andreev นั้นเป็น P คล้ายกับที่ Sivakumar ทำในเอกสารที่เป็นสมาชิกของเขา? หรือฟังก์ชั่น POLY เป็นที่รู้จักกันว่าเป็น NP-complete

เขาได้อัปเดต arXiv ของเขา เพื่อบอกว่าหลักฐานของเขาไม่ถูกต้อง:

การพิสูจน์นั้นผิด ฉันจะทำอย่างละเอียดแม่นยำว่าความผิดพลาดคืออะไร สำหรับการทำเช่นนี้ฉันต้องการเวลา ฉันจะใส่คำอธิบายไว้ในหน้าแรกของฉัน

บล็อกของ Lipton และ Regan ที่นี่มีการสนทนาระดับสูงที่ดีพร้อมความคิดเห็นที่น่าสนใจเกี่ยวกับโครงสร้างการพิสูจน์

พวกเขายังชี้ให้เห็นถึงสายเลือดของ Blum ว่าได้พิสูจน์ขอบเขตความซับซ้อนของวงจรบูลีนที่ต่ำกว่า 30 ปีมาแล้ว หลักสูตรนี้เป็นเพียง "ข้อมูลด้านข้าง" เนื่องจากผู้เชี่ยวชาญกำลังศึกษาหลักฐานอย่างจริงจังอยู่แล้ว

นอกจากนี้ที่นี่: https://www.quora.com/Whats-the-status-of-Norbert-Blums-claim-that-operatorname-P-neq-operatorname-NP

การอ้างถึง Alon Amit:

(ความเห็นส่วนตัว 14 ส. ค. ต่อมาในวันนี้): ฉันไม่คิดว่าบทความนี้จะขึ้นอยู่กับการตรวจสอบข้อเท็จจริง ทฤษฎีที่ลึกซึ้งซึ่งได้รับการวิจัยอย่างหนาแน่นเช่นเดียวกับ P ≠ NP จะในทุกโอกาสจะแก้ไขด้วยเทคนิคใหม่ลึกและกว้างขวาง มันเป็นไปไม่ได้เลยที่มันจะได้รับการแก้ไขด้วยการเพิ่มประสิทธิภาพเล็กน้อยของวิธีการที่มีอยู่แล้ว แต่มันก็เป็นไปไม่ได้

มันไม่น่าจะถูกต้องด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้: วิธีการประมาณนั้นเป็นเรื่องทั่วไปมากพอที่ขอบเขตล่างใด ๆ สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้พวกมัน นี่คือผลลัพธ์ที่เกิดจาก Razborov ทำไมถึงเป็นปัญหา? เพราะนั่นหมายถึงวิธีการประมาณนั้นจะไม่เป็นความก้าวหน้าหลักมันสามารถแสดงอะไรก็ได้เนื้อจะอยู่ที่อื่น ดูเหมือนจะไม่มีเนื้อในกระดาษซึ่งแสดงให้เห็นว่าผู้เขียนส่วนใหญ่ทำผิดพลาดเล็กน้อยเป็นความผิดพลาดที่ซ่อนอยู่จากตา แต่ส่วนใหญ่เป็นข้อสันนิษฐานที่แสดงถึงคำตอบ สำหรับผู้ที่ไม่ได้เป็นนักทฤษฎีความซับซ้อน: นี่คือการทดสอบกลิ่นที่ดีมากก็เป็นไปได้ที่จะเป็นจริงตามที่มีคนอ้างว่าสร้างจรวดที่ชั้นใต้ดินของเขาเพื่อเดินทางไปยังดวงจันทร์ในหนึ่งสัปดาห์

ดังนั้นความผิดพลาดที่ลึกซึ้งอยู่ที่ไหน บนบล็อกของ Trevisan มีความคิดเห็นโดย Lovett เสนอว่าสิ่งที่สมมติฐานที่ซ่อนอยู่อาจเป็นในทฤษฎีบท 6

$NP-c$$P$

$C$$f$$f$$C$$m$

ฟังก์ชั่นบูลีนมีตารางความจริงเพียงตารางเดียว แต่ไม่ใช่นิพจน์พีชคณิตเดียวไม่มีปัญหาที่มีเพียงฟังก์ชั่นบูลีนเดียวที่แก้ไขได้

บางฟังก์ชั่น (อาจจะทั้งหมด) เป็น isomorphics (aren´t problems)

$NP=P$$m$$m$$f$$f$$f$