ทฤษฎีลำดับแรกของโครงสร้าง จำกัด มีขอบเขตของตัวระบุปริมาณหรือไม่?

ให้เป็นโครงสร้างที่ จำกัด ทฤษฎีลำดับแรกได้ จำกัด จำนวนตำแหน่งในแง่ที่ว่ามีเช่นนั้นสำหรับกับมีกับและ ? $\mathfrak{A}$ $\mathfrak{T} := \mathfrak{TH}(\mathfrak{A})$ $q\in\mathbb{N}$ $\varphi\in\mathfrak{T}$ $qr(\varphi) > q$ $\varphi'\in\mathfrak{T}$ $qr(\varphi')\leq q$ $\varphi'\equiv\varphi$

co.combinatorics lo.logic relational-structures

— D. Rusin
แหล่งที่มา

นี่ไม่ใช่คำถามสำหรับ Mathoverflow มากกว่าทฤษฎี CS ใช่ไหม

— Andrej Bauer

@ อังเดรทฤษฎีแบบ จำกัด และความซับซ้อนเชิงพรรณนาถือว่าเป็นส่วนหนึ่งของ TCS เช่นกัน

— Kaveh

ยอดเยี่ยมดังนั้นก็เหมือนที่บ็อบฮาร์เปอร์พูดครั้งเดียว: คณิตศาสตร์เป็นกรณีพิเศษของวิทยาการคอมพิวเตอร์

— Andrej Bauer

วิทยาการคอมพิวเตอร์เป็นวิชาคณิตศาสตร์พิเศษและทั้งสองกรณีพิเศษก็มีเหตุผลและในทางกลับกัน

— fhyve

คำตอบ:

ทฤษฎีของโครงสร้าง จำกัด ใด ๆ เป็นแบบจำลองที่สมบูรณ์ ในความเป็นจริงมันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าสูตรใดเทียบเท่ากับสูตรที่มีอยู่ด้วยหนึ่งตัวต่อแต่ละองค์ประกอบของโครงสร้างหลังจากนั้นปริมาณทั้งหมดของสูตรดั้งเดิมสามารถจำลองได้ด้วยการเชื่อมและการแยก โดยเฉพาะอย่างยิ่งจำนวนของตัวนับ (อันดับเชิงปริมาณจึงถูก จำกัด ด้วยขนาดของโครงสร้าง

— Emil Jeřábek
แหล่งที่มา

ที่จริงแล้วต้องใช้ Universal quantifier เพิ่มเติมหนึ่งอันซึ่งอนุญาตให้แสดงว่าไม่มีองค์ประกอบเพิ่มเติม ในคำตอบทั้งหมดมีสมมติฐานหนึ่งที่ควรทำให้ชัดเจน: การปรากฏตัวของความเสมอภาคคือ x = y เป็นสูตรอะตอมที่อนุญาต

— โทมัสเอส

ไม่จำเป็นต้องใช้ตัวหาปริมาณเพิ่มเติม จำไว้ว่าเราไม่ได้พยายามที่จะสร้างทฤษฎีของโครงสร้างให้เป็นจริง แต่เพื่อค้นหาสูตรที่เทียบเท่ากับทฤษฎีโมดูโลที่กำหนด และการปรากฏตัวของความเท่าเทียมกันเป็นมาตรฐานสากลสำหรับตรรกะลำดับแรกคลาสสิก มันขาดจะต้องมีการระบุไว้

— Emil Jeřábek

อา. คุณพูดถูก "ทฤษฎีโมดูโล" เกี่ยวกับความเสมอภาค: ในขณะที่เราพยายามอธิบายเรื่องง่าย ๆ ให้กับผู้คนจากนอกตรรกะมันไม่เจ็บที่จะทำให้กรอบชัดเจน อีกหนึ่งข้อสังเกต: การแทนที่ปริมาณด้วยคำสันธานและความแตกต่างเป็นสิ่งที่ดีอย่างสมบูรณ์ อย่างไรก็ตามมีทางเลือก: เนื่องจากสูตรด้วย, พูด, ตัวแปรอิสระ m กำหนดความสัมพันธ์ m-ary ของ A, สูตรใหม่สามารถ, หลังจากเดาองค์ประกอบทั้งหมดและการตรวจสอบซึ่งเป็นที่ (โมดูโล automorphisms), อย่างชัดเจน "แจกแจง" ทั้งหมด tuples ซึ่งสูตรเก่าให้ผลเป็น "จริง"

— โทมัสเอส

เพื่อให้สิ่งที่ Emil พูดอย่างเป็นรูปธรรมมากขึ้นลองพิจารณาสูตรที่แสดงการมีอยู่ของวัตถุที่แตกต่างกัน นั่นแสดงให้เห็นว่าเราต้องการปริมาณจำนวนมาก

ตอนนี้คุณมีสูตรที่มีคิวปริมาณและโมเดลของคุณมีวัตถุ k อยู่ในนั้นคุณสามารถแสดงสูตรโดยระบุว่ามีวัตถุที่แตกต่าง k อยู่และความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขาสามารถแสดงเป็น CNF

— Kaveh
แหล่งที่มา