สมมติว่าเรามีคุณสมบัติกราฟที่สามารถตรวจสอบได้ในเวลาพหุนามแบบ nondeterministic และการพิสูจน์ในระบบทางการที่อ่อนแอ (พูดว่า RCA 0 ) ว่าทรัพย์สินนั้นปิดตัวลงเล็กน้อย เราสามารถพูดอะไรเกี่ยวกับความแข็งแกร่งของระบบที่เป็นทางการซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ว่าชุดที่ จำกัด ของผู้เยาว์ที่ได้รับการยกเว้นนั้นเป็นลักษณะของคุณสมบัติกราฟที่กำหนดหรือไม่?
บริบทเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเวอร์ชั่นเรียบง่าย (โดยไม่มีชุดคำสั่งกึ่งฉลาก) ของทฤษฎีบทต้นไม้ของ Kruskalไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน ATR 0และกราฟย่อยของทฤษฎีบทเป็นลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบทที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ในΠ 1 1 -CA 0 ฟรีดแมนที่ใช้ว่ารุ่นที่เรียบง่ายของทฤษฎีบทต้นไม้ Kruskal เพื่อสร้างการเติบโตอย่างรวดเร็วTREE (n) ฟังก์ชั่นและใช้ทฤษฎีบทกราฟเล็ก ๆ น้อย ๆที่จะสร้างการเจริญเติบโตได้เร็วยิ่งขึ้นSSCG (n) ฟังก์ชั่น สิ่งเหล่านี้เป็นการสาธิตที่ดีเกี่ยวกับข้อสรุปเกี่ยวกับเนื้อหาการคำนวณจากจุดแข็งทางคณิตศาสตร์แบบย้อนกลับ แต่สิ่งเหล่านี้ทำให้คำถามตรงยิ่งกว่าที่ไม่ได้รับคำตอบ
กล่าวคือเกี่ยวข้องกับกราฟทฤษฎีบทรองคือการพิสูจน์ว่าคุณสมบัติปิดเล็กน้อยสามารถทดสอบในเวลาลูกบาศก์กำหนดขึ้นหากใครรู้รายชื่อของผู้เยาว์ที่ไม่รวมสำหรับคุณสมบัตินั้น ดังนั้นจึงเป็นเรื่องธรรมดาที่จะสงสัยว่า "เป็นไปไม่ได้" คือการพิสูจน์ว่าพบผู้เยาว์ที่ได้รับการยกเว้นสำหรับ "ง่าย" ที่ได้รับ (ตามที่ระบุไว้ในคำถาม) ทรัพย์สินที่ปิดเล็กน้อย เนื่องจากนี่เป็นงานที่ "ไม่เหมือนกัน" มันไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่า "ความเป็นไปไม่ได้" ของงานนี้เกี่ยวข้องกับ "ความยากลำบาก" ทั้งหมด (เช่นกำลังทางคณิตศาสตร์ย้อนกลับ) ของการพิสูจน์ทฤษฎีบทกราฟเล็กน้อย
เนื่องจากทฤษฎีบทต้นไม้แบบเรียบง่ายของ Kruskal ตั้งคำถามตรงกับทฤษฎีบทกราฟเล็กน้อยคำตอบอาจเน้นปัญหาที่ง่ายกว่านั้นหากพวกเขาต้องการ ฉันแค่ใช้ทฤษฎีบทรองของกราฟเพราะคำถามรู้สึกเป็นธรรมชาติมากกว่านี้ (เป็นไปได้ว่าคำถามนี้อาจเหมาะกับ MSE หรือ MSO อย่างน้อยก็เกี่ยวกับการได้รับคำตอบที่ชัดเจน แต่แรงจูงใจของคำถามนี้เกี่ยวข้องกับ TCS มากขึ้นดังนั้นฉันจึงตัดสินใจถามที่นี่)