ความซับซ้อนของการทดสอบหากจุด

ลองนึกภาพเรามีสองขนาด $m$ ชุดของจุด $X,Y\subset \mathbb{R}^n$ nความซับซ้อนของการทดสอบ (เวลา) คืออะไรหากพวกเขาแตกต่างกันเพียงการหมุน? : มีอยู่หมุนเมทริกซ์ $OO^T=O^TO=I$ เช่นที่ $X=OY$ ?

มีปัญหาในการแสดงค่าจริงที่นี่ - สำหรับความเรียบง่ายสมมติว่ามีสูตรพีชคณิต (สั้น) สำหรับแต่ละพิกัดเช่นค่าใช้จ่ายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐานสามารถถือว่าเป็น O (1)

คำถามพื้นฐานคือถ้าปัญหานี้อยู่ใน P?

ในขณะที่มุมมองแรกปัญหานี้อาจดูเหมือนง่าย - มักจะมีเพียงพอที่จะบรรทัดฐานการทดสอบของจุดและความสัมพันธ์ในท้องถิ่นเช่นมุมมีตัวอย่างที่น่ารังเกียจที่มันเป็นเช่นเทียบเท่ากับมอร์ฟปัญหากราฟ

โดยเฉพาะการมองหาที่ eigenspaces ของเมทริกซ์ถ้อยคำของกราฟปกติอย่างยิ่ง (SRG) เราสามารถให้การตีความทางเรขาคณิต ด้านล่างเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุด - SRG 16 จุดยอดสองอันซึ่งมีลักษณะเหมือนกัน แต่ไม่ใช่ isomorphic:

$A-2I$ $O(6)$ $X\subset \mathbb{R}^6$ $|X|=16$ $Y$ $X$ $Y$

ความยากลำบากก็คือจุดเหล่านี้อยู่ในทรงกลมและสร้างความสัมพันธ์เดิม: เพื่อนบ้านทั้งหมด (6 ที่นี่) อยู่ในมุมคงที่ <90 องศาไม่ใช่เพื่อนบ้านทั้งหมด (9 ที่นี่) ในมุมคงที่อื่น> 90 องศาเหมือนในแผนผัง ภาพด้านบน

ดังนั้นการทดสอบบนพื้นฐานของบรรทัดฐานและมุมท้องถิ่นจึงย้อนกลับไปที่ปัญหามอร์ฟิซึ่มส์กราฟ ... แต่การตีความทางเรขาคณิตช่วยให้สามารถทำงานกับคุณสมบัติทั่วโลกเช่นค่าคงที่การหมุน

$n(n-1)/2$

โดยทั่วไปเราสามารถกำหนดค่าคงที่การหมุนได้ - คำถามคือการสร้างชุดค่าคงที่ของการหมุนแบบครบวงจร: พิจารณาการหมุนชุดโมดูโลอย่างสมบูรณ์

$x^T A x$ $Tr(A^k)$ $k=1,\ldots,n$ $k$ กราฟแต่ละอันด้านล่างสอดคล้องกับค่าคงที่การหมุนหนึ่งเดียวขององศาพหุนาม 1,2,3,4 :

$p(z)=\prod_{x\in X} (x\cdot (z-x))$

p (z) = \sum_{x \in X} (x \cdot z - a)^{2} (x \cdot z - b)^{2} (x \cdot z - c)^{2}

$p(z)=\sum_{x\in X} (x\cdot z -a)^2 (x\cdot z -b)^2 (x\cdot z -c)^2$

a, b, c

$a,b,c$

เราสามารถทดสอบได้ไหมว่าพหุนามแบบสองระดับ 6 แตกต่างกันเฉพาะการหมุนในเวลาพหุนามหรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นกราฟ isomorphism สำหรับ SRGs เป็น P

มีตัวอย่างที่ยากขึ้น (สำหรับการทดสอบว่าสองชุดแตกต่างกันเพียงการหมุน) กว่าจาก SRGs หรือไม่ ฉันสงสัยว่ามันช่วยให้ขอบเขตบนกึ่งพหุนามต้องขอบคุณ Babai (?)

ปรับปรุง : ฉันถูกชี้ความคล้ายคลึงกันกับ (แก้ไข) ปัญหามุมฉาก Procrustes :

min_{O : O^{T} O = I} ‖ O A - B ‖_{F} achieved for O = U V^{T}, where B A^{T} = U D V^{T}

$\min_{O:O^TO=I} \|OA-B\|_F \quad\textrm{achieved for}\quad O=UV^T,\quad\textrm{ where}\quad BA^T=UDV^T$

จากการสลายตัวของค่าเอกพจน์ เราสามารถสร้างเมทริกซ์เหล่านี้ได้จากคะแนนของเราอย่างไรก็ตามมันต้องรู้ลำดับ - ซึ่งเราไม่รู้และมีความเป็นไปได้ $m!$

เราสามารถลองเช่น Monte-Carlo หรืออัลกอริทึมทางพันธุกรรม: การสลับบางจุดและการปรับปรุงการทดสอบระยะทางโดยใช้สูตรข้างต้นอย่างไรก็ตามฉันสงสัยว่าอัลกอริทึมการแก้ปัญหาดังกล่าวอาจมีจำนวนทวีคูณของ local minima (?)

— Jarek Duda
แหล่งที่มา

ตัวอย่างนักฆ่าสำหรับอัลกอริทึม isomorphism กราฟเชิงปฏิบัติไม่จำเป็นต้องเป็น SRG มีสองบทความโดย Daniel Neuen และ Pascal Schweitzer ที่ฉันพูดถึงที่นี่ซึ่งเป็นตัวอย่างที่ยากที่สุดในขณะนี้ การสนทนาของฉันอ้างว่า "โครงสร้างทวีคูณ ... นั้นเป็นงานก่อสร้าง CFI ปกติที่ใช้กับไฮเปอร์กราฟแบบหลายขอบที่ไม่ได้บอกทิศทาง" การก่อสร้างนี้ได้รับการแก้ไขเพิ่มเติมเพื่อให้มีความแข็งแกร่งซึ่งจะกำจัดออโต้มอร์ฟิซึมทั้งหมด มันไม่ใช่ SRG มาก่อน แต่หลังจากนั้นมันจะไม่ใช่ SRG แน่นอน

— Thomas Klimpel

ฉันคิดว่าการค้นหาองค์ประกอบหลักของชุดจุดและการตรวจสอบพวกเขาจะช่วยได้เนื่องจากการแปลง PCA มีคุณสมบัติที่ดีงาม

— FazeL

ThomasKlimpel คุณจะพูดอะไรเกี่ยวกับ eigenspaces ของตัวอย่างยาก ๆ เหล่านี้อีกไหม? @FazeL ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สหสัมพันธ์จาก PCA เป็นตัวอย่างของค่าคงที่การหมุน - เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการเปลี่ยนแปลงที่แตกต่างกันโดยการหมุนเท่านั้น (เล็กน้อยสำหรับ SRG) ปัญหาคือการได้รับสภาพที่เพียงพอเช่นผ่านพื้นฐานที่สมบูรณ์ของค่าคงที่การหมุน - การกำหนดโมดูโลแบบหมุนชุด (หรือพหุนาม) อย่างสมบูรณ์ นี่คือโครงสร้างทั่วไปสำหรับพหุนาม: arxiv.org/pdf/1801.01058คำถามคือวิธีการเลือกจำนวนที่เพียงพอของค่าคงที่อิสระ (รู้จักกัน)?

— Jarek Duda

กราฟเหล่านั้นมีสีอยู่แล้วสำหรับคงที่มีสีที่โหนดมีสีนั้นและสีที่ 2 โหนดมีสีนั้น ในแง่ของการ eigenspaces วิธีนี้คุณจะได้รับ eigenspaces หลายมิติและ eigenspaces มากยิ่งขึ้นของมิติที่2อย่างน้อยนั่นคือสิ่งที่จะเกิดขึ้นหากการก่อสร้าง CFI ถูกนำไปใช้กับกราฟที่ไม่มีการกำหนดทิศทางแบบปกติ K (แต่ไม่ต้องกังวลความผิดปกติของ SRG ก็เป็นปัญหาที่เปิดกว้างเช่นกัน)

k

$k$

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

2

$2$

— Thomas Klimpel

eigenspaces ของขนาดอาจแยกออกเป็น eigenspaces ที่มีขนาดเล็กลงตั้งแต่ SRG เรามี eigenspace มากกว่า 1 ตัว แต่ตรรกะด้านบนจะแนะนำว่ามีเพียง eigenspace เดียว ดูรูปที่ 4.2 ในกระดาษที่สั้นกว่า (ในทางทฤษฎีมากกว่า) ดังนั้นดู / ทำความเข้าใจว่ากราฟเหล่านั้นมีลักษณะอย่างไร

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

— Thomas Klimpel

ฉันคิดว่านี่เปิดอยู่ โปรดทราบว่าถ้าแทนของการทดสอบความเท่าเทียมกันภายใต้การหมุนที่คุณขอความเท่าเทียมกันภายใต้กลุ่มทั่วไปตรงนั้นแล้วการทดสอบความสมดุลของระดับสามมีหลายชื่อคือ GI แข็ง ( Agrawal-Saxena STACS '06 , ผู้เขียนรุ่นใช้ได้อย่างอิสระ ) และในความเป็นจริงที่ อย่างน้อยที่สุดเท่าที่การทดสอบ isomorphism ของ algebras ตอนนี้ GI-hardness ไม่ได้เป็นหลักฐานว่าปัญหาของคุณไม่ได้อยู่ในตามจริงแล้วคำถามทั้งหมดของคุณนั้นสำคัญมากหรือไม่ว่าเราสามารถใส่ GI เข้าไปใน $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ โดยวิธีการที่คุณแนะนำ อย่างไรก็ตามความจริงที่ว่าความเท่าเทียมของรูปแบบลูกบาศก์นั้นดูเหมือนจะยากกว่า GI อย่างมาก (เช่นเรายังไม่รู้ว่าพีชคณิต isomorphism อยู่ในเวลา quasi-poly หรือไม่เหมือนกับ GI) แสดงให้เห็นว่า (a) คนคิดวิธีนี้และ (b) ยังคงเปิดอยู่

ในขณะที่ฉันไม่รู้แน่ชัดว่าผลลัพธ์ที่คล้ายกันเก็บไว้สำหรับกลุ่มมุมฉากฉันจะแปลกใจถ้าพวกเขาไม่ได้ถือ (โดยเฉพาะถ้าคุณย้ายจากระดับ 3 เป็นระดับ 6)

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

ขอบคุณฉันเห็นฉันมีจำนวนมากที่จะอ่าน การทดสอบที่แตกต่างกันโดยการหมุนของชื่อประกอบด้วยหลายชื่อกลายเป็นเรื่องยากสำหรับปริญญาสามหรือไม่? จำนวนสัมประสิทธิ์คือ O (สลัว ^ องศา), การหมุนมีสลัว (ติ่มซำ 1) / 2 สัมประสิทธิ์ดังนั้นการหมุนโมดูโลคำอธิบายที่สมบูรณ์ควรให้ O (สลัว ^ องศา) ค่าคงที่การหมุนอิสระ ฉันรู้วิธีการสร้างค่าคงหมุน ( arxiv.org/pdf/1801.01058 ) สภาพความเป็นอิสระดูเหมือนยากที่จะพิสูจน์ได้ แต่การพึ่งพาสูงดูเหมือนไม่น่า (?)

— Jarek Duda

@JarekDuda: อาร์กิวเมนต์เดียวกับที่คุณทำในความคิดเห็นของคุณจะนำไปใช้โดยทั่วไปเชิงเส้นเท่าเทียมยกเว้นแทนสัมประสิทธิ์คุณต้องการมีแต่ผู้ที่มีทั้ง2) .. การพึ่งพาอาศัยกันระหว่างค่าคงที่มักจะเป็นคำถามที่ลึกมาก ยิ่งไปกว่านั้นมันไม่ใช่แค่คำถามว่าคุณต้องการค่าคงที่อิสระจำนวนเท่าใด แต่ (a) คุณสามารถคำนวณค่าคงที่ที่คุณต้องการในโพลีเวลาและ (b) คุณสามารถคำนวณค่าของค่าคงที่แต่ละแบบในโพลีเวลาได้หรือไม่?

(\binom{d i m}{2})

$\binom{dim}{2}$

d i m^{2}

$dim^2$

Θ (d i m^{2})

$\Theta(dim^2)$

— Joshua Grochow

แน่นอนว่าถ้าสามารถสร้าง invariants จำนวนมากได้ - ในขณะที่ฉันไม่รู้ว่ามันเป็นจริงสำหรับประเภทสมมูลอื่น ๆ (?) หรือไม่สำหรับการหมุนคงที่มีการก่อสร้างที่กราฟทุกอันให้ค่าคงที่หนึ่งและมีโครงสร้างของ จำนวนมากเช่นในกราฟความยาว k รอบการเปรียบเทียบสำหรับ Tr (A ^ k) ค่าคงที่สำหรับระดับ 2 พหุนาม x ^ T Ax สำหรับพหุนามองศาคงที่เราสามารถผลิตจำนวนเพียงพอ (หรือมากกว่า) ของค่าคงที่ในเวลาโพลี - ปัญหาที่เหลือคือเพื่อให้แน่ใจว่าจำนวนอิสระที่เพียงพอในหมู่พวกเขา

— Jarek Duda