การจับคู่ M สูงสุดด้วยเงื่อนไข G [M] ฟรี 2K_2

มีสิ่งใดบ้างในวรรณคดีที่ใกล้เคียงกับปัญหาต่อไปนี้:

รับกราฟสองส่วน $G(V,E)$ ด้วย bipartition ที่สมดุล $\{U,W\}$ มีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบอยู่หรือไม่ $M$ ใน $G$ เช่นนั้นสำหรับทุก 2 ขอบ $u_1w_1, u_2w_2\in M$มีขอบ $u_1w_2$ หรือขอบ $u_2w_1$ (หรือทั้งสองอย่าง) ใน $G$?

กล่าวอีกนัยหนึ่งมีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ $M$ เช่นนั้นกราฟย่อยที่เกิดขึ้น $G[M]$ คือ $2K_2$-ฟรี. (ด้วย bipartition ที่สมดุลฉันหมายถึง$|U|=|W|$.)

เงื่อนไขพิเศษคือสิ่งที่ตรงกันข้ามมากที่สุดของที่ใช้ในการจับคู่ปัญหาที่เกิดขึ้น อีกอย่างหนึ่งที่เกี่ยวข้องอาจเป็นปัญหาในการหาการจับคู่ขนาดสูงสุด$M$ ในกราฟสองฝ่าย $G$ เช่นการหดตัวของขอบใน $M$ ลดจำนวนขอบที่เหลือในกราฟให้เหลือน้อยที่สุด

ฉันตรวจสอบรายการปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการจับคู่ที่กำหนดโดย Plummer ในการจับคู่และการบรรจุจุดสุดยอด: พวกมันยากแค่ไหน? ปราศจากความสำเร็จ.

PS: ปัญหานี้เป็นกรณีพิเศษของปัญหาการตัดสินใจนี้: - สำหรับที่ได้รับ $k\in\mathbb{N}$มีการจับคู่สูงสุด $M$ ของกราฟสองฝ่าย $G$ ดังนั้น $G[M]$ คือ $2K_2$ฟรีและ $|M|>k$. หากกราฟอินพุทคือไบโพเทตที่สมดุลและ$k=|U|$เราได้รับปัญหาข้างต้น

ขอบคุณ.

เซอร์ไพร์ส! (สำหรับฉัน).
การจับคู่ประเภทนี้ได้รับการศึกษาแล้วในวรรณคดี พวกเขาจะเรียกจ้อที่เกี่ยวโยงกัน

พวกเขาได้รับการแนะนำโดย Plummer, Stiebitz และ Toft ในการศึกษาเรื่องการคาดเดาของ Hadwiger ดูบท "การจับคู่ที่เกี่ยวโยงกัน" โดยคาเมรอนในหนังสือ "Combinatorial Optimization - Eureka, You Shrink!"

สถานะของการจับคู่ที่เชื่อมโยงกันในกราฟสองส่วน (ไม่จำเป็นต้องสมดุล) เปิดให้เต็มที่กับความรู้ของฉัน ( ฉันจะอัปเดต ) ปัญหาถ่วงน้ำหนักของปัญหาคือ NP-complete สำหรับกราฟสองฝ่าย ปัญหาคือเวลาพหุนามสามารถแก้ไขได้สำหรับกราฟ chipal bipartite

อัปเดต: ปัญหาคือปัญหาNP-complete สำหรับกราฟสองฝ่ายที่สมดุล (เช่นปัญหาที่แน่นอนที่ถามในคำถาม) สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์ในกระดาษ " ความสามารถในการทำงานหลายอย่าง: ผลลัพธ์ความแข็งและโครงสร้างที่ปรับปรุงแล้ว " โดย Alon et al. พวกเขายังรายงานด้วยว่าการหาขนาดของการจับคู่การเชื่อมต่อที่ใหญ่ที่สุดนั้นยากที่จะประมาณภายในปัจจัย$n^{1-\epsilon}$ นอกเสียจาก NP = co-RP

เพิ่มหมายเหตุก่อนหน้านี้ (เก็บไว้สำหรับผู้ที่สนใจ):
"การจับคู่ที่เชื่อมต่อในกราฟ bipartite chordal " โดย Jobson และคณะ (doi: https://doi.org/10.1016/j.disopt.2014.06.003 ) และ "การจับคู่ที่เชื่อมโยงกันในตระกูลกราฟพิเศษ " โดย Caragianis (วิทยานิพนธ์) เป็นข้อมูลอ้างอิงที่น่าสนใจสองข้อ

มีวิธีอื่นในการตั้งคำถามนี้ มีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ$M$ ของกราฟสองฝ่ายที่สมดุล $G$ ดังกล่าวว่าทุกคู่ในขอบ $M$ อยู่ที่ระยะ 1 จากกันและกัน $G$?
(ระยะห่างระหว่างขอบ$e$ และ $e’$ คือความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดจากจุดสุดยอดของ $e$ ถึงจุดสูงสุดของ $e’$)

เนื่องจากสิ่งนี้เงื่อนไขพิเศษจะลดลงเพื่อหาส่วนย่อยของจุดยอดจากกราฟเส้น $L(G)$ ของ $G$ซึ่งอยู่ที่ระยะห่างจากกันเป็นสองเท่าดังนั้นปัญหาของการหาขนาดสูงสุดของจุดยอดที่ระยะห่างที่แน่นอน 2จากกันและกันคือปัญหาของผู้สมัคร (เป็นปัญหาที่ใกล้เคียงกับปัญหา) ในบทความล่าสุดในแง่มุมอัลกอริทึมของการระบายสีที่แข็งแกร่ง (โดย MA Shalu, S. Vijayakumar, S. Devi Yamini และ TP Sandhya) พวกเขาเรียกชุดนี้ว่าเป็นปัญหาที่แข็งแกร่ง

ปัญหาชุด Stong เป็นที่ทราบกันว่า NP-complete ในบางกราฟคลาส ฉันไม่ทราบสถานะของกราฟเส้นของกราฟสองฝ่าย กระดาษบอกว่ามันเป็น NP- สมบูรณ์ในกราฟสองฝ่าย ความสนใจของเราที่นี่จะอยู่ในคลาสของกราฟเส้นของกราฟสองส่วน