ตัวอย่างของอัลกอริทึมและการพิสูจน์ที่ดูเหมือนถูกต้อง แต่ไม่ใช่

ในบทนำของฉันเกี่ยวกับหลักสูตรการเขียนโปรแกรมเรากำลังเรียนรู้เกี่ยวกับวิธีการเริ่มต้น - การบำรุงรักษา - การสิ้นสุดการพิสูจน์อัลกอริทึมทำในสิ่งที่เราคาดหวัง แต่เราต้องพิสูจน์ว่าอัลกอริทึมที่ทราบแล้วว่าถูกต้องนั้นถูกต้อง เราไม่เคยถูกขอให้แสดงว่าอัลกอริทึมไม่ถูกต้อง

มีตัวอย่างคลาสสิกของอัลกอริทึมที่ดูถูกต้อง แต่ใช่ไหม? ฉันกำลังมองหากรณีที่วิธีการเริ่มต้น - บำรุงรักษา - สิ้นสุดการจับสิ่งที่สัญชาตญาณแรกไม่ได้

สูงสุด 2 มิติในท้องถิ่น

การป้อนข้อมูล: 2 มิติอาร์เรย์$n \times n$$A$

เอาต์พุต:ค่าสูงสุดในพื้นที่ - คู่ที่ A [ i , j ]ไม่มีเซลล์ข้างเคียงในอาร์เรย์ที่มีค่าที่ใหญ่กว่าอย่างเคร่งครัด $(i,j)$$A[i,j]$

(เซลล์เพื่อนบ้านคือเซลล์ที่มีอยู่ในอาร์เรย์) ตัวอย่างเช่นถ้าAคือ$A[i, j+1], A[i, j-1], A[i-1, j], A[i+1, j]$$A$

จากนั้นแต่ละเซลล์ที่มีตัวหนาจะมีค่าสูงสุดในท้องถิ่น ทุกอาร์เรย์ที่ไม่ว่างจะมีค่าสูงสุดอย่างน้อยหนึ่งค่า

ขั้นตอนวิธี มีอัลกอริทึม - เวลา: เพียงตรวจสอบแต่ละเซลล์ นี่คือแนวคิดสำหรับอัลกอริทึมที่เร็วกว่าแบบเรียกซ้ำได้$O(n^2)$

รับ , กำหนด cross Xเพื่อให้ประกอบด้วยเซลล์ในคอลัมน์กลางและเซลล์ในแถวกลาง แรกตรวจสอบแต่ละเซลล์ในXเพื่อดูว่ามือถือเป็นสูงสุดในท้องถิ่น หากเป็นเช่นนั้นให้ส่งคืนเซลล์ดังกล่าว มิฉะนั้นให้( i , j )เป็นเซลล์ในXด้วยค่าสูงสุด เนื่องจาก( i , j )ไม่ใช่ค่าสูงสุดในท้องถิ่นจึงต้องมีเซลล์ใกล้เคียง( i ′ , j ′ ) ที่มีค่ามากกว่า$A$$X$$X$$A$$(i, j)$$X$$(i, j)$$(i', j')$

พาร์ติชัน (อาเรย์A , ลบเซลล์ในX ) ออกเป็นสี่ส่วน - ซ้ายบน, ขวาบน, ซ้ายล่างและ quadrants ขวาล่าง - ตามธรรมชาติ เซลล์ข้างเคียง( i ′ , j ′ ) ที่มีค่ามากกว่าจะต้องเป็นหนึ่งในจตุภาคนั้น เรียกว่าวอด' $A \setminus X$$A$$X$$(i', j')$$A'$

บทแทรก Quadrant 'มีสูงสุดในท้องถิ่นของ$A'$$A$

พิสูจน์ พิจารณาเริ่มต้นที่เซลล์ ) หากไม่ใช่ค่าสูงสุดในท้องถิ่นให้ย้ายไปยังเพื่อนบ้านที่มีค่ามากกว่า สามารถทำซ้ำได้จนกว่าจะถึงเซลล์ที่มีค่าสูงสุดในพื้นที่ ว่าเซลล์สุดท้ายจะต้องมีใน'เพราะ'เป็นที่สิ้นสุดในทุกด้านโดยเซลล์ที่มีค่ามีขนาดเล็กกว่าค่าของเซลล์( ฉัน' , J ' ) สิ่งนี้พิสูจน์บทแทรก $(i', j')$$A'$$A'$$(i', j')$$\diamond$

อัลกอริทึมเรียกตัวเองซ้ำใน sub-arrayA′เพื่อค้นหาค่าสูงสุดในพื้นที่(i,j) ที่นั่นจากนั้นส่งคืนเซลล์นั้น$\frac{n}{2}\times\frac{n}{2}$$A'$$(i, j)$

เวลาทำงานสำหรับn × nตอบสนองเมทริกซ์T ( n ) = T ( n / 2 ) + O ( n )ดังนั้นT ( n ) = O ( n ) $T(n)$$n\times n$$T(n) = T(n/2) + O(n)$$T(n) = O(n)$

ดังนั้นเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท. มีความเป็นเรียลไทม์อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาในท้องถิ่นสูงสุดในn × nอาร์เรย์$O(n)$$n\times n$

หรือว่าพวกเรา