ปัญหาผลรวมของสแควร์รูตแข็งหรือไม่

ผลรวมของรากที่สองปัญหาขอให้ลำดับสองและของจำนวนเต็มบวกไม่ว่าจะเป็นผลรวมน้อยกว่าเท่ากับหรือมากกว่า กว่าผลรวม{} สถานะความซับซ้อนของปัญหานี้เปิดอยู่ ดูโพสต์นี้สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม ปัญหานี้เกิดขึ้นตามธรรมชาติในเรขาคณิตการคำนวณโดยเฉพาะอย่างยิ่งในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับเส้นทางที่สั้นที่สุดของ Euclidean และเป็นสิ่งสำคัญที่ทำให้การถ่ายโอนอัลกอริทึมสำหรับปัญหาเหล่านั้นจาก RAM จริงไปยัง RAM จำนวนเต็มมาตรฐาน $a_1, a_2, \dots, a_n$ $b_1, b_2, \dots, b_n$ $\sum_i \sqrt{a_i}$ $\sum_i \sqrt{b_i}$

เรียกปัญหาΠ ผลบวกของสแควร์รูทยาก (ตัวย่อΣ√-hard?) ถ้ามีการลดเวลาพหุนามจากผลรวมของปัญหารากที่สองเป็นΠ ไม่ยากที่จะพิสูจน์ว่าปัญหาต่อไปนี้คือผลรวมของสแควร์รูทยาก

เส้นทางที่สั้นที่สุดในกราฟเรขาคณิตแบบยุคลิด 4d

อินสแตนซ์: กราฟซึ่งจุดยอดเป็นจุดในโดยมีขอบถ่วงน้ำหนักโดย Euclidean distane; สองจุดยอดและ $G=(V,E)$ $\mathbb{Z}^4$ $s$ $t$

เอาท์พุท: เส้นทางที่สั้นที่สุดจากไปในG $s$ $t$ $G$

แน่นอนว่าปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ในพหุนามในแรมจริงโดยใช้อัลกอริทึมของ Dijkstra แต่การเปรียบเทียบแต่ละครั้งในอัลกอริทึมนั้นจำเป็นต้องแก้ปัญหาผลรวมของสแควร์รูท การลดใช้ความจริงที่ว่าจำนวนเต็มใด ๆ สามารถเขียนเป็นผลรวมของสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบสี่อัน เอาท์พุทของการลดจริง ๆ แล้วเป็นวัฏจักรของจุดยอด $2n+2$

ปัญหาอื่น ๆ คือ sum-of-square-root-hard? ฉันสนใจเป็นพิเศษในปัญหาที่มีการแก้ปัญหาเวลาพหุนามในแรมจริง ดู คำถามก่อนหน้าของฉันสำหรับความเป็นไปได้

ตามที่โรบินแนะนำคำตอบที่น่าเบื่อนั้นน่าเบื่อ สำหรับคลาส X ที่มีความซับซ้อนใด ๆ ที่มีผลรวมของสแควร์รูท (เช่น PSPACE หรือ EXPTIME) ปัญหา X-hard ทุกอันนั้นน่าเบื่ออย่างยิ่ง

— Jeffε
แหล่งที่มา

ขอบคุณ Suresh และ Peter ที่แนะนำคำถามนี้

— Jeff

บางทีคุณอาจจะแยกแยะคำตอบที่ไม่สำคัญด้วยการยืนยันว่าคำตอบนั้นไม่ควรเป็นปัญหาที่ยากสำหรับชั้นเรียนที่ทราบว่ามีปัญหา Sum-of-square-root ตัวอย่างเช่นปัญหาใด ๆ ที่ PSPACE ยากจะเป็น Sum-of-square-root-hard แต่นั่นอาจไม่น่าสนใจ

— Robin Kothari

คุณหมายถึงในคำแถลงปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุดหรือหรือไม่? อดีตดูเหมือนจะไม่สามารถใช้ RAM จำนวนเต็มเลยและสันนิษฐานว่าปัญหายังคง จำกัด hard- ยากที่จะเป็นจำนวนเต็ม ...

R^{4}

$\mathbb{R}^4$

Z^{4}

$\mathbb{Z}^4$

— Steven Stadnicki

@Steven: ใช่แล้วคุณพูดถูก แก้ไข

— Jeffε

คำตอบ:

สิ่งนี้ถูกกล่าวถึงเล็กน้อยในแบบสำรวจต่อไปนี้ (เริ่มสไลด์ 21): http://homepages.inf.ed.ac.uk/kousha/games08_tutorial.pdf

ซึ่งกล่าวถึง Euclidean TSP, การประมาณของสมดุลแนชที่แท้จริง, และพูดคุยเกี่ยวกับคลาส PosSLP และ FIXP

— โนม
แหล่งที่มา

นี่คือการเชื่อมต่อที่น่าสนใจ

— Suresh Venkat

นี่ควรเป็นความเห็นเพราะเป็นคำตอบที่น่าเบื่อที่สุด แต่ฉันไม่มีชื่อเสียงพอ

ผลรวมของปัญหารากที่สองอยู่ในจาก[ABKM98]ดังนั้นปัญหาใด ๆ ที่ยากสำหรับคลาสนี้มีคุณสมบัติที่ต้องการ สิ่งนี้ทำได้โดยการลดปัญหาผลรวมของสแควร์รูทเป็นปัญหาที่เรียกว่าซึ่งกำหนดไว้ว่าการตัดสินใจว่าปัญหาเส้นตรงแสดงถึงจำนวนเต็มบวกหรือไม่ดังนั้นปัญหาจึงเป็นผลบวกของสแควร์รูทยาก $P^{PP^{PP^{PP}}}$ $PosSLP$

[ABKM98]: ความซับซ้อนของการวิเคราะห์เชิงตัวเลขโดย Allender, Burgisser, Kjeldgaard-Pedersen และ Miltersen

— Abel Molina
แหล่งที่มา

นอกจากนี้ยังมีการปรับปรุงนี้ [ mpi-inf.mpg.de/~csaha/Sum_sqrroot.pdf]ซึ่งทำให้เกิดปัญหาในและยังพิสูจน์ว่ารุ่นที่ จำกัด ของปัญหาต้องใช้จำนวนพหุนาม

{C o R P}^{P P}

${CoRP}^{PP}$

— Elias

@Elias: คุณสามารถทำอย่างละเอียด? จากลักษณะคร่าวๆKayal และ Sahaดูเหมือนจะพูดถึง "พหุนามรุ่น" ของผลรวมของปัญหารากที่สองซึ่งสัมพันธ์กับ แต่แตกต่างจากผลรวมปกติของปัญหารากที่สอง

— Tsuyoshi Ito

@Abel: (1) สวัสดี Abel ดีใจที่ได้เห็นโพสต์ของคุณ! (2) สำหรับสิ่งที่คุ้มค่า [ABKM98] ถูกนำเสนอจริงที่CCC 2006และตีพิมพ์ในปี 2009 (3) คำตอบที่น่าเบื่อไม่ควรแสดงความคิดเห็น แต่ควรเก็บไว้กับตัวเอง แต่ฉันไม่คิดว่านี่เป็นคำตอบที่น่าเบื่อ :)

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: พวกเขาแก้ไขปัญหาพหุนามอย่างสมบูรณ์ จากสิ่งนี้พวกเขาพิสูจน์ได้ว่าถ้ามีรูปแบบพิเศษเช่นโดยที่ ,และ จากนั้นเราต้องการจำนวนบิตพหุนามเพื่อตัดสินใจปัญหา

a_{i}

$a_i$

a_{i} = \sum_{i} b_{i} j X^{d_{i} - j}

$a_i=\sum_i{b_ij}X^{d_i-j}$

X > (B + 1)^{(n d)^{O (1)}}

$X>(B+1)^{(nd)^{O(1)}}$

B = m a x {b_{i j}}

$B=max\{b_{ij}\}$

d = m a x {d_{i}}

$d=max\{d_i\}$

— อีเลียส

@ Tsuyoshi: ฉันเข้าใจผิดคำถามของคุณอย่างสมบูรณ์ ฉันขอโทษสำหรับเรื่องนี้ อะไร Kayal และเครือสหพัฒน์พิสูจน์ก็คือว่า DegSLP อยู่ใน{} ฉันควรระวังให้มากกว่านี้ ขอบคุณสำหรับสิ่งนี้.

C o R P^{P P}

$CoRP^{PP}$

— อีเลียส