มีความคืบหน้าใด ๆ ในการกระชับเลขชี้กำลังในผลที่ตามมาว่า polylog เป็นคนโง่

Braverman แสดงให้เห็นว่าการกระจายซึ่งเป็น $(log \frac{m}{\epsilon})^{O(d^2)}$- อิสระ $\epsilon$- ความลึกของคนโง่ $d$ $AC^0$ วงจรขนาด $m$ โดย "การติดกาวเข้าด้วยกัน" การประมาณ Smolensky และการประมาณฟูริเยร์ของ $AC^0$ฟังก์ชั่นบูลีนที่คำนวณได้ ผู้เขียนและผู้ที่เคยคาดคะเนว่าการคาดเดาในขั้นต้นว่าเลขชี้กำลังนั้นสามารถลดลงได้$O(d)$และฉันอยากรู้ว่าถ้ามีความคืบหน้าเกี่ยวกับเรื่องนี้ในขณะที่ฉันคิดว่ามันจะเกี่ยวข้องกับการผลิตพหุนามซึ่งอยู่ใกล้กับระยะทางสหสัมพันธ์และเห็นด้วยกับฟังก์ชั่นในอินพุตจำนวนมากและฉันคิดว่ามันจะ เป็นการประมาณที่น่าสนใจมากที่จะหาโดยไม่ต้องติดกาวทั้งสองเข้าด้วยกัน มีเหตุผลบางอย่างที่คาดหวังว่าการประมาณดังกล่าวจะต้องมีระดับ$O(d^2)$ ไม่เป็นที่รู้จักเมื่อ Braverman เขียนบทความของเขาในปี 2010?

คำถามอื่นเกี่ยวกับกระดาษนี้ฉันมีคือการคาดเดาเดิมคล้ายกับความไวของ Boppana แม้ว่ามันจะเป็นในกระดาษที่เขียนก่อนที่จะผูกพันนี้ แน่นอนว่านี่ไม่ใช่เรื่องบังเอิญเพราะขอบเขตนี้จะสอดคล้องกับความเข้มข้นของฟูริเยร์ที่คุณสามารถได้รับจากขอบเขตของ Boppana ถ้าพหุนามฟูริเยร์ทำงาน แต่มีสัญชาตญาณที่ดีกว่าที่คุณรู้มากกว่า "ถ้าพหุนามฟูริเยร์ทำงาน นี่คือสิ่งที่คุณจะได้รับ "หนึ่ง"

ในหนังสือพิมพ์ CCC'17 [1], Avishay Tal พัฒนาขอบเขต

$$\left(\log\frac{m}{\varepsilon}\right)^{O(d)}\,. \tag{1}$$ คุณอาจต้องการตรวจสอบหน้า 15: 4 สำหรับการสนทนา นอกจากนี้ยังหมายถึง (ดูเชิงอรรถ 30 สำหรับกระดาษของ Harsha และ Srinivasanซึ่งปรับปรุงใน (1)) และตอบการคาดเดาของ Tal:$k$- อิสระสำหรับ $$k = \left(\log m \right)^{O(d)}\cdot\log\frac{1}{\varepsilon}\,. \tag{2}$$ พอเพียง $\varepsilon$- ขนาดคนโง่ -$m$ ความลึก-$d$ วงจร AC0

---

[1] ขอบเขตที่ จำกัด ของสเปกตรัมฟูริเยร์$\mathsf{AC}_0$, A. Tal. CCC'17

[2] ในการประมาณพหุนามกับ$\mathsf{AC}_0$, P. Harsha และ S. Srinivasan RANDOM 2016