จำนวน 4 รอบ

ให้$C_4$เป็นวัฏจักรที่มีจุดยอดสี่จุด สำหรับกราฟโดยพลการ$G$กับ$n$จุดยอดและขอบมพูดว่า$m>n\sqrt n$ ,$C_4$s มีอยู่กี่ตัว? มีขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับสิ่งนี้หรือไม่?

ใช่เรื่องนี้เป็นที่รู้จักกัน สำหรับ$d = \Omega(n^{1/2})$ที่มีอย่างต่อเนื่องโดยนัยที่มีขนาดใหญ่พอ ๆ$n$กราฟ -node ของค่าเฉลี่ยของการศึกษาระดับปริญญา$d$มี$\Omega(d^4)$รวม$C_4$ s นี่เป็นสิ่งที่ดีที่สุดเพราะมันเป็นกราฟแบบสุ่ม

การอ้างอิงที่เร็วที่สุดที่ฉันทราบเกี่ยวกับเรื่องนี้คือ "กราฟและปัญหาที่เกี่ยวข้องกับลูกบาศก์ - ซุปเปอร์สเปซ" โดย Erdos และ Simonovits ซึ่งมันอ้างว่าไม่มีหลักฐาน มีหลักฐานอันจำนวนมากออกมีปิดด้านบนของหัวของฉันดูบทแทรก 3 มีที่นี่