กำหนดสูตรที่ซับซ้อนของทฤษฎีความซับซ้อนในแลมบ์ดาแคลคูลัส?

ในทฤษฎีความซับซ้อนคำจำกัดความของเวลาและความซับซ้อนของพื้นที่ทั้งสองอ้างถึงเครื่องจักรทัวริงสากล: Resp จำนวนขั้นตอนก่อนที่จะหยุดและจำนวนของเซลล์ในเทปสัมผัส

จากวิทยานิพนธ์ของทัวริสต์ทัวริสต์มันเป็นไปได้ที่จะกำหนดความซับซ้อนในแง่ของแคลคูลัสแลมบ์ดาเช่นกัน

ความคิดที่เข้าใจง่ายของฉันคือความซับซ้อนของเวลาสามารถแสดงเป็นจำนวนของการลดลงβ (เราสามารถนิยามการแปลงα-โดยใช้ดัชนี De Brujin และ, แทบจะไม่ลดลงเลย) ในขณะที่ความซับซ้อนของพื้นที่สามารถกำหนดเป็นจำนวน สัญลักษณ์ (λ's, DB-index,“ Apply” -symbols) ในการลดที่ใหญ่ที่สุด

ถูกต้องหรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นฉันจะได้รับการอ้างอิงได้ที่ไหน? ถ้าไม่ฉันจะเข้าใจผิดได้อย่างไร?

ในขณะที่คุณชี้ให้เห็นว่า calcul-แคลคูลัสมีความคิดที่เรียบง่ายดูเหมือนของเวลาที่ซับซ้อน: เพียงนับจำนวนขั้นตอนการลดβ น่าเสียดายที่สิ่งต่าง ๆ ไม่ง่าย เราควรถาม:

 Is counting β-reduction steps a good complexity measure?

เพื่อตอบคำถามนี้เราควรอธิบายให้ชัดเจนว่าเราหมายถึงอะไรโดยการวัดความซับซ้อนตั้งแต่แรก หนึ่งคำตอบที่ดีนั้นได้รับจากวิทยานิพนธ์ของSlot และ van Emde Boas : การวัดที่ซับซ้อนใด ๆ ควรมีความสัมพันธ์พหุนามกับความเชื่อตามเวลาที่กำหนดโดยใช้เครื่องจักรทัวริง กล่าวอีกนัยหนึ่งควรมีการเข้ารหัส tr (.) จากข้อกำหนด calcul-แคลคูลัสที่เหมาะสมไปยังเครื่องทัวริงเช่นว่าสำหรับแต่ละคำศัพท์$M$ของขนาด$|M|$: $M$ลดลงเป็นค่าใน$poly(|M|)$อย่างแน่นอนเมื่อ$tr(M)$ลดค่าใน$poly(|tr(M)|)$ )

เป็นเวลานานมันก็ไม่ชัดเจนว่าสิ่งนี้สามารถทำได้ใน calcul-แคลคูลัส ปัญหาหลักมีดังนี้

• มีคำศัพท์ที่สร้างรูปแบบปกติในจำนวนพหุนามของขั้นตอนที่มีขนาดเป็นเลขชี้กำลัง ดู (1) แม้แต่การเขียนแบบฟอร์มปกติก็ต้องใช้เวลาชี้แจง

• กลยุทธ์การลดที่เลือกมีบทบาทสำคัญเช่นกัน ตัวอย่างเช่นมีตระกูลของเทอมที่ลดจำนวนพหุนามของ steps-steps แบบขนาน (ในแง่ของการลดλที่ดีที่สุด (2) แต่มีความซับซ้อนที่ไม่ใช่ระดับต้น (3, 4)

กระดาษ (1) อธิบายปัญหาด้วยการแสดงการเข้ารหัสที่สมเหตุสมผลซึ่งรักษาระดับความซับซ้อนของPTIMEโดยสมมติว่ามีการลดการโทร - ตาม - ชื่อด้านนอกสุด ข้อมูลเชิงลึกที่สำคัญดูเหมือนว่าการระเบิดแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลสามารถเกิดขึ้นได้ด้วยเหตุผลที่ไม่น่าทึ่งซึ่งสามารถเอาชนะได้โดยการแบ่งปันคำศัพท์ย่อยอย่างเหมาะสม

โปรดทราบว่าเอกสารเช่น (1) แสดงว่าคลาสที่มีความซับซ้อนหยาบเช่นPTIMEตรงกันไม่ว่าคุณจะนับ count-steps หรือขั้นตอนของทัวริง นั่นไม่ได้หมายความว่าคลาสที่มีความซับซ้อนต่ำกว่าเช่นO (log n)ก็เหมือนกัน แน่นอนว่าความซับซ้อนในชั้นเรียนนั้นไม่เสถียรภายใต้รูปแบบของเครื่องจักรทัวริง (เช่น 1-tape vs multi-tape)

D. งานของ Mazza (5) พิสูจน์ทฤษฎีบท Cook-Levin (𝖭𝖯-ครบถ้วนสมบูรณ์ของ SAT) โดยใช้ภาษาที่ใช้งานได้ (ตัวแปรของ calcul-แคลคูลัส) แทนที่จะเป็นเครื่องจักรทัวริง ความเข้าใจที่สำคัญคือ:

$$\frac{\text{Boolean circuits}}{\text{Turing machines}}=\frac{\text{affine $\lambda$-terms}}{\text{$\lambda$-terms}}$$

ฉันไม่รู้ว่าสถานการณ์เกี่ยวกับความซับซ้อนของพื้นที่นั้นเป็นที่เข้าใจกันหรือไม่

---

1. บี Accattoli, U. Dal Lago, Beta ลดเป็นคงที่แท้จริง

2. J.-J. ประกาศลดการแก้ไขและปรับให้เหมาะสมกับการคำนวณแลมบ์ดา

3. JL Lawall, HG Mairson, การเพิ่มประสิทธิภาพและความไร้ประสิทธิภาพ: แบบจำลองต้นทุนของแคลคูลัสแลมบ์ดาไม่ใช่อะไร?

4. A. Asperti เอช Mairson, ลดเบต้าขนานไม่ recursive

5. D. Mazza, คริสตจักร Meets คุกและเลวิน

นับ $\beta$$\lambda$

$\mathsf L$$\mathsf P$$M\to^\ast N$$M$

คุณธรรมของเรื่องราวคือการเขียนใหม่ไม่เหมาะสำหรับการนับพื้นที่ Ulrich Schöppและ Ugo Dal Lago เป็นคนแรกที่สนับสนุนการใช้เรขาคณิตที่เรียกว่าปฏิสัมพันธ์ (GoI) สำหรับการจัดการกับความซับซ้อนของพื้นที่เชิงเส้นย่อย (เทียบกับ ESOP 2010 paper "การเขียนโปรแกรมเชิงพื้นที่ใน Sublinear") เท่าที่ฉันรู้ GoI ถูกนำมาใช้ไม่ทางใดก็ทางหนึ่งในการศึกษาลักษณะเฉพาะแลมบ์ดา - แคลคูลัสของคลาสของพื้นที่ว่างเชิงเส้น ฉันไม่ต้องการเข้าไปในสิ่งที่ GoI อยู่ที่นี่; สมมติว่ามันเป็นวิธีการดำเนินการแลมบ์ดาระยะโดยไม่ลด (เช่นโดยไม่ต้องยิง)$\beta$