อินสแตนซ์ที่ยากที่สุดของปัญหามอร์ฟิซึ่มของกลุ่มคืออะไร?

สองกลุ่มและถูกเรียกว่า isomorphic iff มี homomorphism จากถึงซึ่งเป็น bijective ปัญหามอร์ฟิซึ่มส์ของกลุ่มมีดังต่อไปนี้: จากสองกลุ่มให้ตรวจสอบว่าพวกมันเป็นมอร์ฟอิกหรือไม่ มีวิธีที่แตกต่างกันในการป้อนข้อมูลกลุ่มทั้งสองส่วนใหญ่ที่ใช้โดยตาราง Cayley และชุดสร้าง ที่นี่ฉันสมมติว่ากลุ่มอินพุตจะได้รับจากตาราง Cayley ของพวกเขา เป็นทางการมากขึ้น:$(G,\cdot)$$(H, \times)$$G$$H$

$\textbf{Group Isomorphism Problem}$

$\textbf{Input : }$สองกลุ่มและครั้ง)$(G,\cdot)$$(H,\times)$

$\textbf{Decide : }$เป็นหรือไม่$G \cong H$

ให้เราสมมติว่า$n = |G| = |H|$

ปัญหา Isomorphism ของกลุ่มเมื่อกลุ่มอินพุตได้รับจากตาราง Cayley ไม่เป็นที่ทราบกันว่าอยู่ในโดยทั่วไป แม้ว่าจะมีคลาสกลุ่มเช่นคลาส Abelian ซึ่งเป็นที่รู้กันว่าปัญหาอยู่ในเวลาพหุนามกลุ่มที่เป็นส่วนขยายของกลุ่ม Abelian กลุ่มง่าย ๆ เป็นต้นแม้แต่สำหรับกลุ่มสองกลุ่มที่ไม่มีความคิดดี ที่รู้จักกัน$\textbf{P}$

อัลกอริทึมแรงเดรัจฉานสำหรับกลุ่ม isomorphism ได้รับจาก Tarjan ซึ่งเป็นดังนี้ ให้และเป็นสองกลุ่มการป้อนข้อมูลและให้เป็นชุดสร้างของกลุ่มGมันเป็นความจริงที่รู้กันดีว่าทุกกลุ่ม จำกัด ยอมรับชุดการสร้างของขนาดและสามารถพบได้ในเวลาพหุนาม จำนวนของภาพของการสร้างชุดใน homomorphism จากเพื่อคือจำนวนมาก ตอนนี้ตรวจสอบว่าโฮโมมอร์ฟิซึมที่เป็นไปได้แต่ละอย่างนั้นมีความหลากหลายทางชีวภาพหรือไม่ รันไทม์โดยรวมจะเป็น(1)}$G$$H$$S$$G$$\mathcal{O}(\log n)$$S$$G$$H$$n^{\log n}$$n^{\log n + \mathcal{O}(1)}$

ให้ฉันกำหนดศูนย์กลางของกลุ่ม :$G$

$Z(G)$หมายถึงองค์ประกอบของกลุ่มซึ่งการเดินทางกับองค์ประกอบอื่น ๆ ทั้งหมดของกลุ่มGกลุ่มที่ (/ ใช้สำหรับความฉลาด) เป็นชาว Abelian เป็นที่รู้จักกันในชื่อคลาสสองกลุ่ม สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าคลาสสองกลุ่มที่ไร้ค่าเป็นกรณีที่ยากที่สุดในการแก้ปัญหามอร์ฟิซึ่มส์ของกลุ่ม ความหมายของ "กรณีที่ยากที่สุด" คือ: การแก้กรณีนั้นจะช่วยให้นักวิจัยที่ทำงานในทฤษฎีกลุ่มเพื่อแก้ปัญหามอร์ฟิซึ่มส์ของกลุ่มจำนวนมาก$G$$G$$G/Z(G)$

ตอนแรกผมคิดว่ากลุ่มง่ายเป็นกรณีที่ยากที่สุดเท่าที่พวกเขากำลังสร้างบล็อคของทุกกลุ่ม แต่ภายหลังมารู้ว่ามอร์ฟปัญหาสำหรับกลุ่มง่ายอยู่ใน{P}$\textbf{P}$

คำถาม : อินสแตนซ์ที่ยากที่สุดสำหรับปัญหามอร์ฟิซึ่มของกลุ่มคืออะไร?

$p$ของ class 2 และเลขชี้กำลังมีความเชื่อกันอย่างกว้างขวางว่าเป็นกรณีที่ยากที่สุดของกลุ่ม Isomorphism ( ) (สำหรับเราจำเป็นต้องพิจารณาเลขชี้กำลัง 4 เนื่องจากทุกกลุ่มเลขชี้กำลัง 2 เป็นแบบ Abelian - การออกกำลังกายที่ง่ายสำหรับผู้อ่าน) แม้ว่าจะยังไม่มีการลดลงจาก GpIso ทั่วไปไปยังกลุ่มของกลุ่มนี้ (ดูจุด 0.5 ด้านล่าง ) มีเหตุผลหลายประการสำหรับความเชื่อนี้ ผมขอสรุปบางส่วนของพวกเขาที่นี่$p$$p > 2$$p=2$

0) ประสบการณ์เชิงปฏิบัติ (ดูเอกสารโดย Newman, Eick, O'Brien, Holt, Cannon, Wilson, ... ซึ่งให้อัลกอริทึมที่ใช้ใน GAP และ MAGMA)

0.5) [แก้ไข: เพิ่ม 8/7/19] การลดลง เมื่อ -groups ดังกล่าวได้รับจากการสร้างชุดเมทริกซ์มากกว่าปัญหาคือ - สมบูรณ์ [ G. -Qiao '19 ] นอกจากนี้ (cf. point (4) ด้านล่าง), isomorphism ของ -group ของ exponentและ classลดเวลาในโพลีไปเป็น isomorphism ของ -groups ของ exponentและ class 2 (ibid.)$p$$\mathbb{F}_p$$\mathsf{TI}$ p p c < p p p$p$$p$$c < p$$p$$p$

1) โครงสร้าง (ลดการแก้ไขจากนั้นจึงไปที่ -group) ทุกกลุ่มแน่นอนมีที่ไม่ซ้ำกันสูงสุดปกติกลุ่มย่อยแก้ปัญหาที่เรียกว่าแก้ปัญหาได้รุนแรงชี้แนะ(G) ไม่มีกลุ่มย่อย abelian ปกติและ isomorphism ของกลุ่มดังกล่าวสามารถจัดการได้อย่างมีประสิทธิภาพในการปฏิบัติ ( Cannon-Holt J. Symb. Comput. 2003 ) และในทางทฤษฎี ( Babai-Codenotti-Qiao ICALP 2012 ) แม้สำหรับกลุ่มที่เป็น abelian บางอย่างสามารถจัดการได้ในเวลา ( G-Qiao CCC '14, SICOMP '17 ) - ดังนั้นไม่ใช่พหุนาม แต่ใกล้กว่า$p$$Rad(G)$$G/Rad(G)$R d ( G ) n O ( บันทึกบันทึกn ) n log n$Rad(G)$$n^{O(\log \log n)}$$n^{\log n}$. อุปสรรคหลักจึงดูเหมือนจะเป็นกลุ่มที่สามารถแก้ไขได้ (ย่อยย่อย) ตอนนี้ภายในกลุ่มแก้ไขได้มีเป็นจำนวนมากของโครงสร้าง - เริ่มต้นด้วยความจริงที่ว่าทุกกลุ่มแก้ปัญหาได้เป็นผลิตภัณฑ์ถักของ Sylow ของ -subgroups - และมันดูเหมือนว่ากรณีที่ยากที่สุดที่มี -groups$p$$p$

2) การนับ จำนวนกลุ่มของคำสั่งคือโดยที่เป็นตัวแทนที่ใหญ่ที่สุดของนายก หาร ( Pyber 1993 ) จำนวนของ -group ของคำสั่งเป็นอย่างน้อย ( Higman 1960 ) ดังนั้นคุณจะเห็นว่าสัมประสิทธิ์ของศัพท์นำในการจับคู่เลขชี้กำลัง ในแง่นี้กลุ่ม "ส่วนใหญ่" เป็นกลุ่ม (แม้กระทั่งของชั้น 2 และเลขชี้กำลัง ) มีการคาดเดาที่ยาวนานซึ่งบอกว่า "ส่วนใหญ่" ในความรู้สึกอ่อนแอก่อนหน้านี้สามารถเสริมสร้างความเข้มแข็งที่จะบอกว่าสัดส่วนของกลุ่มของคำสั่งที่$n$$\leq n^{(\frac{2}{27} + o(1))\mu(n)^2}$$\mu(n)$$n$pn$p$$n=p^m$$p^{(\frac{2}{27} + o(1))m^2}$pp≤n$p$$p$$\leq n$ซึ่งเป็น -groups มีแนวโน้มที่จะเป็น 1\$p$$n \to \infty$

3) ความเป็นสากล (/ ความดุร้าย) การจำแนกหมวดหมู่ของ -group จะบอกเป็นนัยถึงการจำแนกแบบแยกส่วนของกลุ่ม จำกัด (หรือพีชคณิตอาร์ติเนีย) ในลักษณะ ( Sergeichuk 1977 )$p$$p$

4) ความยืดหยุ่น ทำไม -groups ของ class 2 และไม่ใช่ class ที่สูงกว่า (โปรดทราบว่ากลุ่ม -class ของคลาสเกือบจะสูงสุดซึ่งเรียกว่า "coclass ขนาดเล็ก" ได้รับการจำแนกอย่างเป็นทางการEick & Leedham-Green 2006ดูคำตอบบางส่วนได้ที่นี่ ) สำหรับใด ๆ$p$$p$$p$กลุ่มหนึ่งสามารถเชื่อมโยงแหวน Lie ที่ให้คะแนนโดยที่วงเล็บในแหวน Lie นั้นสอดคล้องกับสับเปลี่ยนในกลุ่ม ความเกี่ยวข้องในกลุ่มบ่งบอกถึงเอกลักษณ์ของจาโคบีในวงเล็บซึ่งก่อให้เกิดแหวนโกหกที่แท้จริง อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่าเมื่อกลุ่มคือคลาส 2 ตัวตนของจาโคบีจะพึงพอใจเล็กน้อย (เงื่อนไขทั้งหมดเป็น 0 โดยอัตโนมัติ) ดังนั้นสิ่งนี้จึงไม่มีข้อ จำกัด เพิ่มเติมเกี่ยวกับโครงสร้าง โดยพื้นฐานแล้วมันสอดคล้องกับแผนที่บิลิแนร์ลาดเอียงแบบสมมาตร สำหรับ -groups ของสัญลักษณ์ , แม้จะมีการลดลงจากระดับในชั้นเรียน 2$p$$p$c < p$c < p$