ปัญหา“ การเลือกปฏิบัติที่น้อยที่สุด” เป็นปัญหาที่สมบูรณ์หรือไม่

นั่นคือชื่อที่ฉันได้ทำขึ้นสำหรับปัญหานี้ ฉันไม่เคยเห็นมันมาก่อนเลย ฉันยังไม่สามารถหาหลักฐานของความสมบูรณ์แบบ NP หรืออัลกอริทึมเวลาพหุนามสำหรับปัญหานี้ได้ มันไม่ใช่ปัญหาการบ้าน - มันเกี่ยวข้องกับปัญหาที่ฉันเจอในงานของฉัน

การแยกแยะบิตน้อยที่สุด

INSTANCE: เซต T ประกอบด้วยบิตเวคเตอร์โดยที่เวกเตอร์บิตแต่ละอันมีความยาว N บิตอย่างแน่นอน องค์ประกอบของ T ทุกตัวมีความเป็นเอกลักษณ์ตามที่คาดหวังจากเซตของคณิตศาสตร์ จำนวนเต็ม K <N

คำถาม: มีชุด B ของตำแหน่งบิต K มากที่สุด (เช่นจำนวนเต็มในช่วง [0, N-1]) ดังนั้นเมื่อเราลบบิตทั้งหมดยกเว้นบิตใน B จากเวกเตอร์ทุกตัวใน T เวกเตอร์สั้นที่เหลืออยู่ทั้งหมด ยังไม่ซ้ำกัน?

ตัวอย่างที่ 1: สำหรับอินสแตนซ์ N = 5, T = {00010, 11010, 01101, 00011}, K = 2 คำตอบคือใช่เพราะเราสามารถเลือกตำแหน่งบิต B = {0,3} การใช้การประชุมที่บิต 0 เป็นตำแหน่งที่ถูกต้องที่สุดและหมายเลขตำแหน่งบิตเพิ่มขึ้นจากซ้ายไปขวาลบตำแหน่งบิตทั้งหมดยกเว้นที่อยู่ใน B จากเวกเตอร์ใน T ออกจาก T '= {00, 10, 11, 01}, และทั้งหมดนั้นมีเอกลักษณ์

ตัวอย่างที่ 2: N = 5, T = {00000, 00001, 00010, 00100}, K = 2 คำตอบคือไม่เพราะไม่ว่าเราเลือกตำแหน่งใดสองบิตเวกเตอร์ 2 บิตใด ๆ จะเท่ากับ 11 ดังนั้นอย่างน้อยสองเวกเตอร์ 2 บิตจะเท่ากับกัน

แน่นอนว่าเราสามารถแก้ปัญหานี้ได้โดยการระบุเซตย่อยทั้งหมด (N เลือก K) ด้วยขนาด K ของตำแหน่งบิต N และกำหนดว่าเงื่อนไขใดเป็นไปตามเงื่อนไขของคำถาม อย่างไรก็ตามนั่นเป็นเลขยกกำลังในขนาดอินพุต

ปัญหานี้เป็นปัญหาที่สมบูรณ์ หลักฐานขึ้นอยู่กับการลดลงของ 3-SAT เป็นดังนี้:

พิจารณาตัวอย่างของ 3-SAT ที่มีตัวแปรและอนุประโยคm เราจะสร้างเวกเตอร์บิต2 n + 2 m (" row ") ของความยาว2 n + ⌈ log 2 ( n + m ) ⌉เช่นนั้นจำนวนบิตที่แบ่งแยกน้อยที่สุดคือn + ⌈ log 2 ( n + m ) ⌉ถ้าอินสแตนซ์ 3-SAT ต้นฉบับเป็นที่น่าพอใจ$n$$m$$2n + 2m$$2n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$$n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$

เป็นครั้งแรกที่บิตจะตรงกับตัวอักษร{ x 1 , ¬ x 1 , x 2 , ¬ x 2 , . . , x n , ¬ x n } ด้วยความเคารพต่อบิตเหล่านี้แถว2 ม.แรกจะมาเป็นคู่โดยแถวแรกจะมี1สำหรับแต่ละตัวอักษรรวมอยู่ในประโยคที่สอดคล้องกันและแถวที่สองจะประกอบด้วย0ทั้งหมด ส่วนที่เหลืออีก2 $2n$$\left\{ x_1, \neg x_1, x_2, \neg x_2, ..., x_n, \neg x_n \right\}$$2m$$1$$0$$2n$แถวจะมาเป็นคู่โดยแถวแรกจะมีค่าสำหรับการเรียงตามตัวอักษรและการปฏิเสธและแถวที่สองจะประกอบด้วย0ทั้งหมด ในที่สุด, ⌈ log 2 ( n + m ) ⌉บิตสุดท้ายจะถูกใช้เพื่อ "sign" แต่ละคู่ของแถวที่มีดัชนี, จาก0ถึงn + m - 1 , เขียนด้วยเลขฐานสอง$1$$0$$\lceil \log_2(n + m) \rceil$$0$$n+m-1$

$n+m$$\lceil \log_2(n + m) \rceil$$n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$$x_i$$\neg x_i$$i$$n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$$2n+2m$$x_i$$\neg x_i$$i$$n$

แม้ว่าจะเป็นหลักฐานของเอ็นพีบริบูรณ์มีให้อยู่แล้วก็อาจจะมีมูลค่าการชี้ให้เห็นว่าปัญหานี้จะเทียบเท่ากับปัญหา NP-สมบูรณ์เป็นที่รู้จักกันที่เรียกว่าปัญหาการทดสอบขั้นต่ำที่กำหนด ([SP6] ในGarey และจอห์นสัน , เรียกว่าคอลเลกชันทดสอบขั้นต่ำ ปัญหา ): เพียงแลกเปลี่ยนบทบาทของชุดและบทบาทของตำแหน่ง