มี x อยู่ไหมที่ K (xx) <K (x) โดยที่ K คือ Kolmogorov complextity

ให้แสดงถึงความซับซ้อนของ Kolmogorov สตริงxทำมีอยู่สตริงดังกล่าวว่า(x) (ที่นี่เป็นการต่อเชื่อมกับตัวเอง) คำถามที่คล้ายกัน แต่แตกต่างกันถูกถามที่นี่แต่ตัวอย่างที่ให้ไว้ในคำตอบสำหรับคำถามนั้นไม่ได้ผลสำหรับคำถามนี้ $K(x)$ $x$ $K(xx)<K(x)$ $xx$ $x$

cc.complexity-theory kolmogorov-complexity

— Sune Jakobsen
แหล่งที่มา

คำตอบ:

ฉันไม่มีความเชี่ยวชาญในความซับซ้อนของ Kolmogorov แต่ฉันคิดว่าxดังกล่าวสามารถสร้างได้สำหรับฟังก์ชันความซับซ้อนทุกตัว K ดังต่อไปนี้ ตั้งแต่ 1, 11, 1111, 11111111, …, 1 ^{2 ⁿ} , …คือการเข้ารหัสของจำนวนธรรมชาติn , K (1 ^{2 ⁿ} ) ไม่สามารถเป็น o (log n ) อย่างไรก็ตามเมื่อn = 2 ^mชัด K (1 ^{2 ⁿ} ) = K (1 ^{2 ^{2 ^m}} ) = O (log m ) = O (log log n ) ดังนั้นลำดับ K (1), K (11), K (1111), K (11111111), …, K (1 ^{2 ⁿ} ), …ไม่สามารถเพิ่มขึ้นซ้ำซากจำเจอย่างอ่อนซึ่งหมายความว่ามีสตริงxในรูปแบบ 1 ^{2 ⁿ}เช่นนั้น K ( xx ) <K ( x )

— Tsuyoshi Ito
แหล่งที่มา

@ Tsuyoshi, มีสตริงที่บีบอัด

ไม่ได้ที่

x

$x$

K (x x) < K (x)

$K(xx)\lt K(x)$

— Mohammad Al-Turkistany

ฉันคิดว่า

และ K (1 ^ {2 ^ n}) = Ω (log n) ขัดแย้งกัน สิ่งที่เขาหมายถึงคือ: ถ้า

แล้ว

)

มิฉะนั้นหลักฐานก็ดูดี

K (1^{2^{2^{m}}}) = O (\log m)

$K(1^{2^{2^m}})=O(\log m)$

f (n) = o (\log n)

$f(n)=o(\log n)$

K (1^{2^{n}}) \neq O (f (n))

$K(1^{2^n})\neq O(f(n))$

— Sune Jakobsen

ดูเหมือนว่าจะใช้งานได้ อันที่จริงฉันคิดว่ามันให้ลำดับที่ไม่มีที่สิ้นสุดของสตริงดังกล่าว อย่างไรก็ตามฉันเข้าใจผิดบางอย่างหรือคำสั่งของกฎลูกโซ่สำหรับความซับซ้อนของ Kolmogorov ที่ปรากฏในวิกิพีเดีย ( en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule_for_Kolmogorov_complexity ) นั้นผิด ตอนแรกฉันคิดว่าคำนิยามของวิกิพีเดียอาจไม่สามารถใช้ได้ที่นี่เนื่องจากคุณต้องรู้ว่าจุดสิ้นสุดของ X และ Y เริ่มต้นที่ใดในขณะที่ที่นี่ไม่จำเป็นที่จะต้องใช้ที่นี่ แต่เมื่อ Y = X คุณสามารถเพิ่มคำนั้นลงใน O (1) โดยพูดว่า "แยกกลาง"

— Abel Molina

@Sune: สัญกรณ์Ω (⋅) มีคำจำกัดความที่แตกต่างกันเล็กน้อย “ K (1 ^ 2 ^ n) = Ω (log n)” ในคำตอบของฉันหมายถึง“ limsup K (1 ^ 2 ^ n) / log n> 0,” และมันไม่ขัดแย้งกับ“ K (1 ^ 2 ^ 2 ^ m) = O (log m). "ฉันแก้ไขคำตอบเพื่อชี้แจงประเด็นนี้ ดูคำจำกัดความใดที่เราควรสอนเกี่ยวกับอัตราการเติบโตของซีมโทติค

— Tsuyoshi Ito

@turkistany และทั้งหมด: โปรดทราบว่ามันเป็นความจริงเสมอที่ K (xx)> K (x) -c สำหรับค่าคงที่บางอย่างฉันคิดว่านี่ควรจะชี้ให้เห็น นอกจากนี้ยังหมายความว่าเราต้องการคำจำกัดความที่แม่นยำของการบีบอัดหากเราต้องการศึกษาคำถามนี้ ฉันเดาว่าคำตอบคือใช่อีกครั้ง แต่ฉันไม่มีหลักฐาน

— domotorp

ใช่. ความซับซ้อนในการฝึก Kolomogorov ขึ้นอยู่กับแบบจำลองของคุณ เครื่องทัวริง, โปรแกรม Java, โปรแกรม C ++, ... หากมีความแปลกในรูปแบบของคุณที่อนุญาตให้สิ่งนี้เกิดขึ้นในอินพุตที่ จำกัด มันไม่มีปัญหา

คำถามที่ดีกว่าคือคุณสามารถหลีกเลี่ยงพฤติกรรมนี้ได้มากเพียงใดและยังมีตัวแบบเป็นสากล

— ชาด Brewbaker
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าคำถามที่ดีกว่าคือ: มี x ดังกล่าวสำหรับทุกรุ่นหรือไม่ ฉันไม่รู้ว่า "model" เป็นทางการ แต่ดูเหมือนว่าคำตอบของ Tsuyoshis นั้นใช้ได้กับภาษาการเขียนโปรแกรมที่สมเหตุสมผลทั้งหมด

— Sune Jakobsen

คุณสามารถกำหนด

ถึง

และสิ่งที่ใหญ่กว่าสำหรับ

และยังมีรูปแบบสากล

0

$0$

x x

$xx$

x

$x$

— Kaveh

@Tsuyoshi:

ฉันไม่เข้าใจหลักฐานของคุณดี

สมมติว่าเราเลือกเครื่องทัวริงมาตรฐานเป็น "คำอธิบายภาษา" กำหนดเป็นจำนวนของรัฐของ TM ที่เล็กที่สุดที่เริ่มต้นด้วยเทปที่ว่างเปล่าและหยุดหลังจากพิมพ์สตริงกับมัน $K(s)$ $s$

คุณได้พิสูจน์ให้เห็นว่าเราสามารถสร้างว่า "พิมพ์" สตริงบนเทปและถูกสร้างขึ้นด้วยน้อยรัฐกว่าที่ "พิมพ์ว่า" string ? $TM_{ss}$ $ss = 1111...1 = 1^{2^{n+1}}$ $TM_{s}$ $s = 1^{2^n}$

หลักฐานของคุณสามารถนำไปใช้กับความซับซ้อนของ Kolmogorov กับ TM ได้หรือไม่?

ตกลง! ผมได้รับมัน ... เมื่อสามารถ "ขับเคลื่อน" กับใหม่ "ภายในวง" (เราเพิ่มบางรัฐ แต่เราสามารถลบหลายรัฐว่าในมีความจำเป็นสำหรับ " นับ " ) ... ขอบคุณ! $n+1 = 2^{m}$ $TM_{ss}$ $TM_{s}$ $n$

(ขออภัย แต่ฉันไม่ทราบวิธีโพสต์สิ่งนี้เป็นความคิดเห็น)

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

ในการเขียนความคิดเห็นในโพสต์ที่ทำโดยบุคคลอื่นที่ไม่ใช่คุณซึ่งไม่ใช่คำตอบสำหรับคำถามของคุณคุณต้องมีชื่อเสียงอย่างน้อย 50.

— Tsuyoshi Ito