ผลการบูตสแตรปที่ทำให้บู๊ตสแตรปได้จริง

มีประเภทของผลลัพธ์ใน TCS โดยทั่วไปเรียกว่าผลลัพธ์การบูตสแตรป โดยทั่วไปแล้วมันเป็นของฟอร์ม

หากเป็นโจทย์ $A$ ถือแล้วเรื่อง $A'$ ถือ

ที่ไหน $A$ และ $A'$ เป็นข้อเสนอที่มีลักษณะคล้ายกันและ $A$ ดูเหมือนจะ "อ่อนแอ" แล้ว $A'$ซึ่งเป็นเหตุผลที่เราตั้งชื่อผลลัพธ์ประเภทนี้ ขอยกตัวอย่างคอนกรีตสักสองสามตัวอย่าง:

ทฤษฎีบท. [Chen and Tell, STOC'19]แก้ไขปัญหาใด ๆ$\Pi \in \{\mathsf{BFE,W_{S_5},W5STCONN}\}$ . สมมติว่าสำหรับทุกคน$c>1$ มีอยู่มากมายเหลือเกิน $d\in \mathbb{N}$ ดังนั้น $\mathcal{TC}^0$ วงจรความลึก $d$ ต้องการมากกว่านั้น $n^{1+c^{-d}}$ สายไฟเพื่อแก้ปัญหา $\Pi$. จากนั้นไปใด ๆ$d_0,k \in \mathbb{N}$, $\Pi$ ไม่สามารถแก้ไขได้โดย $\mathcal{TC}^0$ วงจรความลึก $d_0$ และ $n^k$ สายไฟและดังนั้น $\mathcal{TC}^0 \subsetneq \mathcal{NC}^1$.

ทฤษฎีบท. [Gupta et al., FOCS'13]สมมติว่าคำนวณถาวรต้อง depth-วงจรเลขคณิตของขนาดมากกว่ามากกว่าด้านของลักษณะ0จากนั้นการคำนวณแบบถาวรต้องใช้วงจรทางคณิตศาสตร์ที่มีขนาดซุปเปอร์โพลิโนเมียลดังนั้นการคาดเดาของ Valiant จึงถือ$3$$n^{\Omega(\sqrt{n})}$$0$

ตัวอย่างที่มีชื่อเสียง แต่ไม่เหมาะสมนั้นมาจากความซับซ้อนที่ละเอียด:

ทฤษฎีบท. [Backurs and Indyk, STOC'15]หากเราสามารถคำนวณระยะทางแก้ไขในเวลา (ในรุ่น RAM) เราจะได้ตัวแก้ SAT เร็วกว่าตัวใดตัวหนึ่งที่มีอยู่ในปัจจุบัน$O(n^{2-\epsilon})$

ปรับปรุง (10 กรกฎาคม 2019)ตัวอย่างการแก้ไขระยะทางอาจทำให้เกิดความสับสนเล็กน้อย อ้างถึงคำตอบของ Ryan สำหรับตัวอย่าง "มาตรฐาน"

ในขณะที่คุณอาจจินตนาการ (เพื่อความรู้ที่ดีที่สุดของฉัน) ผลลัพธ์ทั้งหมดของประเภทนี้ได้รับการพิสูจน์โดยการใช้สิ่งปลอมปน (ฉันได้นำสิ่งที่เป็นสารคุมกำเนิดในระยะการแก้ไขหนึ่ง) ดังนั้นในบางแง่เหล่านี้ล้วนเป็นผลงานอัลกอริทึม

โดยปกติจะมีสองวิธีในการทำความเข้าใจผลการบูตสแตรป 1. เราจำเป็นต้องพิสูจน์จากนั้นใช้ผลลัพธ์หากเราต้องการพิสูจน์ ; 2. การพิสูจน์อาจจะเป็นเรื่องยากเพราะเบื้องต้นเราคิดพิสูจน์ยาก$A$$A'$$A$$A'$

ปัญหาคือว่าหนึ่ง (หรือมากกว่านั้นฉัน ) อาจจะมองในแง่ดีและแทบจะไม่เข้าใจในครั้งแรกถ้าไม่มีการใช้ผลบวกของ bootstrap หลังจากทั้งหมด! ดังนั้นคำถามของฉันคือ

เรารู้หรือไม่ว่าผลการบูตสตริปปิ้งใดที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว?$A$

สามารถพิสูจน์ผลคลาสสิกโดยความร่วมมือ (และที่ใช้บังคับกับการพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าจริง) ที่อยู่ในรูปแบบการคำนวณใด ๆ ที่เรามีสำหรับบางคนคงเราในความเป็นจริงมี สำหรับทุก0$TIME(n) \neq TIME(n^c)$$c > 1$$TIME(n) \neq TIME(n^{1+\epsilon})$$\epsilon > 0$

ความคิดคือว่าถ้าเราสามารถใช้อาร์กิวเมนต์ padding ซ้ำที่จะได้รับสำหรับทุกคงคคุณสามารถใช้อาร์กิวเมนต์เพื่อปรับปรุงทฤษฎีลำดับชั้นของเวลาที่ทราบในกรณีต่าง ๆ ได้เล็กน้อย$TIME(n) = TIME(n^{1+\epsilon})$$TIME(n) = TIME(n^c)$$c$

ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้นับเป็นเพราะมันมาจากบทความเดียวกัน แต่ในCraig Gentry ครั้งแรกที่การเข้ารหัส homomorphic เต็มรูปแบบตามโปรยในอุดมคติเขาแสดงให้เห็นเป็นครั้งแรกว่าในการสร้างรูปแบบ FHE มันพอเพียงที่จะสร้าง "ค่อนข้าง homomorphic "รูปแบบการเข้ารหัสที่มีคุณสมบัติบางอย่าง (วงจรถอดรหัสของมันนั้นตื้นกว่าความลึกที่วงจรสามารถเข้ารหัสได้) จากนั้นเขาก็มีงานจำนวนมากแสดงให้เห็นถึงวิธีการสร้างโครงร่างการเข้ารหัส homomorphic

หวงพิสูจน์ล่าสุด $A'$Sensitivity Conjecture ซึ่งเกี่ยวข้องกับการพิสูจน์ $A$รู้จักกันเพื่อบ่งบอกถึงมัน ดูบล็อกของ Aaronson:

จากการสำรวจการทำงานของ Gotsman และ Linial ในปี 1992 เป็นที่ทราบกันดีว่าการพิสูจน์ Sensitivity Conjecture นั้นก็เพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์การคาดคะเน combinatorial ที่ง่ายกว่าต่อไปนี้ $A$:

ให้ S เป็นเซตย่อยใด ๆ ของ hypercube บูลีน n-dimension $\{0,1\}^n$ซึ่งมีขนาด $2^{n-1}+1$. จากนั้นจะต้องมีจุดใน S อย่างน้อย ~ nc เพื่อนบ้านใน S

สิ่งหนึ่งที่อยู่ในใจในทฤษฎีการเรียนรู้การคำนวณจะส่งเสริม เป็นหลัก:

ในการตั้งค่า PAC ถ้าคุณมีผู้เรียนอ่อนแอสำหรับชั้นเรียน $\mathcal{C}$ (กล่าวคือสิ่งที่ทำ "ดีกว่า" กว่าการคาดเดาแบบสุ่ม) จากนั้นคุณจะได้ผู้เรียนที่แข็งแกร่งสำหรับชั้นเรียน $\mathcal{C}$.

โดยปกติแล้วสิ่งนี้จะถูกใช้โดยการได้รับผู้เรียนที่อ่อนแอ