ความแข็งในการค้นหาคำที่มีความยาวมากที่สุด

คำชี้แจงปัญหา :

ให้เป็นหุ่นยนต์แบบเลื่อนลง (อาจเป็นแบบไม่ จำกัด ค่า) และให้เป็นตัวอักษรอินพุต มีคำว่า stที่ยอมรับโดย ? $M$ $\cal A$ $w \in \cal A^*$ $|w| \leq k$ $M$

ปัญหานี้เกิดขึ้นกับ NP หรือไม่? มันได้รับการศึกษา? มีอัลกอริทึมที่อนุญาตให้ค้นหาคำดังกล่าวหรือไม่?

— Lamine
แหล่งที่มา

อัลกอริทึมของ Djikstra ไม่ควรทำเล่ห์เหลี่ยม? (ผมส่วนใหญ่อาจจะเข้าใจผิดอะไรบางอย่างที่นี่!)

— alpoge

"ความยาวไม่เกิน

k

$k$ "?

— alpoge

ยินดีต้อนรับคุณ Kaveh ใช่ฉันลืม "มากที่สุด" ฉันแก้ไขอีกครั้ง

— Lamine

คำตอบนั้นง่าย - นี่เป็นคำถามทำการบ้านหรือไม่?

— Sariel Har-Peled

เราสามารถเข้าถึงคำอธิบายอัตโนมัติหรือว่าเรามีเพียงแค่เป็นกล่องดำ?

— Raphael

คำตอบ:

คำนวณจุดตัดของภาษา CFG ของคุณด้วยภาษาปกติ $\sum_{i=0}^k A^k$ (จำนวนนี้จะเพิ่มจำนวนของสถานะด้วย $k$ และการเพิ่มสถานะ "dead end") ตอนนี้ตรวจสอบว่าผลลัพธ์ว่างเปล่า: แปลงเป็นไวยากรณ์ (ฉันคิดว่าผลลัพธ์จะมีขนาดพหุนาม) และ "backtrack" จากการผลิต epsilon

แก้ไข: Kaveh กล่าวว่านี่คือพหุนาม $k$ ดังนั้นถ้า $k$ จะได้รับเป็นอินพุทอัลกอริทึมเป็นเลขยกกำลัง $|k|$ . อย่างไรก็ตาม Kaveh พบวิธีแก้ไข แปลงออโตมาตาดั้งเดิมให้เป็น CFG และแทนที่เทอร์มินัลทั้งหมดด้วยเทอร์มินัลคงที่ ตอนนี้ใช้อัลกอริทึมซ้ำเพื่อค้นหาขนาดที่เล็กที่สุดของคำที่สร้างโดยแต่ละเทอร์มินัลที่ไม่ใช่ดังต่อไปนี้

เริ่มต้นความยาวทั้งหมดด้วย $\infty$ และจากนั้นอัปเดตความยาวทั้งหมดด้วยวิธีที่ชัดเจน: ให้การผลิต $A \rightarrow a^t \prod B_i$ (คำสั่งไม่สำคัญ) ใส่ $f(A) = \min(f(A),t+\sum f(B_i))$ . อ้างสิทธิ์: สิ่งนี้มาบรรจบกัน $O(n)$ การทำซ้ำที่ไหน $n$ คือจำนวนเทอร์มินัลที่ไม่ใช่ เหตุผลก็คือในต้นไม้ที่สร้างคำที่มีความยาวน้อยที่สุดจะไม่มีการใช้เทอร์มินัลสองครั้ง "edge" แต่ละอันจะใช้เวลาในการประมวลผลซ้ำมากที่สุด (ขอบบางอันสามารถ "อัพเดท" พร้อมกัน)

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าการแปลง PDA

\to

$\rightarrow$ CFG เป็นพหุนาม ขอบคุณ! ดังนั้นปัญหาอยู่ค่ะ

P

$P$ .

— Lamine

ตกลงเนื่องจากมีวิธีคำนวณความยาวต่ำสุดโดยตรง

| k |

$|k|$ ไม่ใช่อินพุต แต่ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมแทนที่เทอร์มินัลทั้งหมดด้วยเครื่องที่กำหนดไว้แล้ว อัลกอริทึมควรทำงานอย่างถูกต้องกับอาคารเดิม

— Lamine

คุณพูดถูกมันไม่สำคัญ

— Yuval Filmus

เปลี่ยนอักขระตัวอักษรทั้งหมดเป็นอักขระตัวเดียว ตอนนี้คุณมี PDA กำหนดไว้ที่ตัวละครตัวเดียว ภาษาเป็นไวยากรณ์ที่ไม่มีบริบท อย่างไรก็ตามไวยากรณ์อิสระบริบทมากกว่าอักขระเดียวเป็นเรื่องปกติ ดังนั้นแปลง CFG เป็นภาษาปกติแล้วตรวจสอบว่ามีคำยาว k หรือไม่

ตอนนี้การแปลงทั้งหมดเหล่านี้มีแนวโน้มที่จะต้องใช้เวลาชี้แจง แต่ดูเหมือนว่าฉันไม่น่าจะเป็นปัญหาที่สมบูรณ์ NP โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณอนุญาตให้ใช้เวลาพหุนาม $k$ .

ฉันอาจจะผิดและขอโทษสำหรับคำตอบเริ่มต้นของฉัน ...

BTW ความจริงที่ว่า CFG บนตัวอักษรเดียวนั้นตามมาจากทฤษฎีบทของ Parikh แม้ว่าการพิสูจน์โดยตรงจะไม่ยากเกินไป ดูลิงค์สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎีบทของ Parikh - มันเป็นผลลัพธ์ที่สวยงาม ... http://www8.cs.umu.se/kurser/TDBC92/VT06/final/3.pdf

— Sariel Har-Peled
แหล่งที่มา

ไม่ฉันไม่ใช่นักเรียน ปัญหาที่ฉันกล่าวถึงในตอนแรกเป็นปัญหาเครือข่ายที่มีรูปแบบเป็นหุ่นยนต์ ฉันแค่จะรู้ว่ามันคุ้มค่าที่จะมองหาวิธีแก้ปัญหาพหุนามหรือไม่

— Lamine

คำตอบนี้ไม่ได้เป็นความคิดเห็นใช่หรือไม่

— Oleksandr Bondarenko

ใช่มันควรจะเป็น Sariel, คุณสามารถย้ายสิ่งนี้ไปที่ความคิดเห็นหรือให้คำตอบได้ไหม?

— Suresh Venkat

@Suresh: คุณอาจจะตระหนักถึงเรื่องนี้ แต่ตอนนี้ผู้ดูแลสามารถเปิดคำตอบลงในความคิดเห็น

— Tsuyoshi Ito

ฉันย้ายคำตอบดั้งเดิมไปเป็นความคิดเห็น นี่คือคำตอบใหม่

— Suresh Venkat

วิธีที่ไม่น่าจะเป็นไปได้: เรียกใช้อัลกอริทึมของ Djikstra จากนั้นสำหรับแต่ละรัฐสุดท้ายให้เปรียบเทียบระยะทางด้วย $k$ . ถ้ามี $\leq k$ ยอมรับ ปฏิเสธ.

แก้ไข: ข้างต้นใช้งานได้เฉพาะกับ NFA เท่านั้น! ขอโทษด้วยกับเรื่องนั้น.

— alpoge
แหล่งที่มา

(แต่เวลาโพลีแน่นอน!)

— alpoge

ฉันไม่แน่ใจว่าอัลกอริทึมของ Dijkstra สามารถแก้ไขปัญหาได้ สามารถค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างสถานะเริ่มต้นและเส้นทางสุดท้าย แน่นอนคำที่สามารถยอมรับได้ผ่านเส้นทางนี้สามารถสร้างขึ้นได้ แต่เส้นทางนี้เป็นระดับประถมศึกษาและสามารถยอมรับคำศัพท์ได้ผ่านเส้นทางที่ไม่ใช่องค์ประกอบ มิฉะนั้นปัญหาในการพิจารณาว่าไวยากรณ์ที่ไม่มีบริบทสามารถสร้างคำใด ๆ จะสามารถตัดสินใจได้ แต่มันไม่ได้

— Lamine

การทดสอบความว่างเปล่าสำหรับ CFL นั้นสามารถตัดสินใจได้ใช่หรือไม่?

— alpoge

(ให้อภัยฉันอีกครั้งถ้าฉันเข้าใจผิด!)

— Alp

เราสามารถใช้อัลกอริทึม 'การทำเครื่องหมาย' เพื่อทำสิ่งนี้ (ให้ CFG) - การทำเครื่องหมายเทอร์มินัลจากนั้นทำเครื่องหมายสิ่งต่าง ๆ ที่ได้รับเทอร์มินัลจากนั้นทำเครื่องหมายสิ่งต่าง ๆ ที่ได้รับมา ถ้าตัวแปรเริ่มต้นถูกทำเครื่องหมาย นอกจากนี้อย่าเพิกเฉยต่อคำตอบของฉัน - นั่นคือสิ่งที่คุณควรทำเพื่อ NFA (ไม่แน่นอนสำหรับ PDA!)

— alpoge