เป็นไปได้ไหมที่จะหาลำดับที่มีอยู่ในเวลาพหุนามในปัญหาต่อไปนี้

ฉันกำลังคิดถึงปัญหาต่อไปนี้อยู่พักหนึ่งและฉันไม่พบวิธีแก้ปัญหาแบบพหุนาม สัตว์เดียรัจฉานเท่านั้น ฉันได้พยายามลดปัญหา NP-Complete ลงด้วยเช่นกันโดยไม่ประสบความสำเร็จ

นี่คือปัญหา :

คุณมีชุดเรียงลำดับ$\{(A_1, B_1), (A_2, B_2), \ldots, (A_n, B_n)\}$ของคู่จำนวนเต็มบวก

$(A_i, B_i) < (A_j, B_j) \Leftrightarrow A_i < A_j \lor (A_i = A_j \land B_i < B_j)$ $(A_i, B_i) = (A_j, B_j) \Leftrightarrow A_i = A_j \land B_i = B_j$

การดำเนินการต่อไปนี้สามารถใช้กับคู่: Swap(pair). มันสลับองค์ประกอบของคู่ดังนั้น$(10, 50)$จะกลายเป็น$(50, 10)$

เมื่อมีการสลับคู่ในชุดนั้นชุดนั้นก็จะถูกจัดเรียงอีกครั้งโดยอัตโนมัติ (คู่ที่สลับนั้นจะออกนอกสถานที่และมันจะถูกย้ายไปที่ที่ตั้งในชุด)

ปัญหาประกอบด้วยเมื่อดูว่ามีลำดับที่เริ่มต้นในบางคู่แลกเปลี่ยนทั้งชุดโดยมีเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

หลังจากสลับคู่แล้วคู่ถัดไปที่จะสลับจะต้องเป็นตัวตายตัวแทนหรือคู่ก่อนหน้าในชุด

มันจะเป็นการดีถ้าคุณหาวิธีแก้ปัญหาเวลาแบบพหุนามกับปัญหานี้หรือลดปัญหา NP-Complete ลงไป

หมายเหตุ:
มันเป็นปัญหาการตัดสินใจอยู่แล้ว ฉันไม่ต้องการที่จะรู้ว่าลำดับคือ: เฉพาะถ้ามีลำดับ

ตัวอย่างของวิธีการเรียงลำดับชุดหลังจากสลับคู่

$\textbf{(6, 5)}$
$(1,2)$
$(3,4)$
$(7,8)$

ถ้าฉันสลับคู่แรกมันจะกลายเป็น: $(5,6)$และหลังจากเรียงลำดับชุด (วางคู่ที่เรียงลำดับในตำแหน่งใหม่) เรามี:

$(1,2)$
$(3,4)$
$\textbf{(5,6)}$
$(7,8)$

จากนั้นฉันต้องสลับทั้งคู่ (รุ่นก่อน) หรือ( 7 , 8 ) (ตัวช่วย) และทำซ้ำกระบวนการจนกว่าคู่ทั้งหมดจะถูกสลับ (ถ้าเป็นไปได้)$(3,4)$$(7,8)$

สำคัญ:
คุณไม่สามารถสลับคู่ที่แลกเปลี่ยนแล้ว
หากมีการดำเนินการตามลำดับของ 'swap' ดังนั้นคู่ทั้งหมดจะต้องเปลี่ยนเป็นครั้งเดียว

ตัวอย่างที่ไม่สามารถสลับคู่ทั้งหมดได้

( 1 , 4 ) ( 3 , 2 ) ( 5 , 5 $(0, 0)$
$(1, 4)$
$(3, 2)$
$(5, 5)$

... ฉันค้นหารูปแบบบางอย่างเพื่อสร้างการลดลงจากปัญหา NPC แต่ไม่พบวิธีในการแสดง "flow" ด้วย "fork" ...

ดังนั้น (หลังจากที่ทำงาน) นี่คืออัลกอริทึมพหุนาม ...

ขั้นตอนวิธี

รายการเริ่มต้นสามารถดูเป็นอาร์เรย์ของติดต่อกัน " หลุม " สำหรับแต่ละคู่เริ่มต้น( J , ขJ ) , ใส่ " องค์ประกอบ " ขญที่บ้านเลขที่หลุมเจ แต่ละคู่สามารถดูเป็นขอบกำกับจากตำแหน่งญไปยังตำแหน่งที่ขญ การย้ายประกอบด้วยการเลือกองค์ประกอบb jที่ตำแหน่งa jและย้ายไปยังตำแหน่งปลายทางb $N*2$$(a_j,b_j)$$b_j$$a_j$$a_j$$b_j$$b_j$$a_j$$b_j$(หลุมปลายทางกลายเป็นหมุดที่ถอดออกไม่ได้) เราลบขอบและดำเนินการเลือกการเคลื่อนไหวถัดไปซึ่งจะเริ่มต้นจากหนึ่งในสององค์ประกอบที่เข้าถึงได้ใกล้ที่สุดจากตำแหน่งb j (อนุญาตเฉพาะช่องระหว่างb jและb kเท่านั้น) เราจะต้องหาลำดับการเคลื่อนที่ต่อเนื่องNครั้ง$b_k$$b_j$$b_j$$b_k$$N$

• สำหรับแต่ละพิจารณาขJ (ที่ตำแหน่งอาร์เรย์J ) เป็นองค์ประกอบเริ่มต้นs T R T$(a_j,b_j)$$b_j$$a_j$$start$

  • $(a_k,b_k), a_k \neq a_j$$a_k$$end$$a_k$$b_k$

    • $start$$end$

$b_j$$L$$R$$L$$R$$R$$L$

• $edgesLR$
• $edgesRL$
• $flow$$edgesLR - edgesRL$

กรณี:

$| flow | > 1$

$end > b_j$$end \in R$

$flow = 1$$L$$end$

$flow = -1$$end$

$flow = 0$$R$$end$

$end < b_j$$end \in L$

$end$$R$$end$$(start,end)$

ใช้การ resoning เดียวกันทุกครั้ง

ซับซ้อน

กระแสที่ไหลผ่านแต่ละหลุมสามารถคำนวณได้ล่วงหน้าใน O (N) และนำมาใช้ซ้ำในทุกการสแกน

ลูปคือ:

for start = 1 to N
  for end = 1 to N
    for move = 1 to N
      make a move (fix a peg and update flows)
      check if another move can be done using flow     

$O(N^3)$

รหัส

นี่เป็นการนำ Java ไปใช้งานของอัลกอริทึม:

public class StrangeSort {
    static int PEG = 0xffffff, HOLE = 0x0;
    static int M = 0, N = 0, choices = 0, aux = 0, end;
    static int problem[][], moves[], edgeflow[], field[];    
    boolean is_hole(int x) { return x == HOLE; }
    boolean is_peg(int x) { return x == PEG; }
    boolean is_ele(int x) { return ! is_peg(x) && ! is_hole(x); };
    int []cp(int src[]) { // copy an array
        int res[] = new int[src.length];
        System.arraycopy(src, 0, res, 0, res.length);
        return res;
    }    
    /* find the first element on the left (dir=-1) right (dir=1) */
    int find(int pos, int dir, int nm) {
        pos += dir;
        while (pos >= 1 && pos <= M ) {
            int x = field[pos];
            if ( is_peg(x) || (pos == end && nm < N-1) ) return 0;
            if ( is_ele(x) ) return pos;
            pos += dir;
        }
        return 0;
    }
    void build_edges() {
        edgeflow = new int[M+1];
        for (int i = 1; i<=M; i++) {
            int start = i;
            int b = field[start];
            if (! is_ele(b)) continue;
            if (i == end) continue;
            int dir = (b > start)? 1 : -1;
            start += dir;
            while (start != b) { edgeflow[start] += dir; start += dir; }
        }
    }
    boolean rec_solve(int start, int nm) {
        boolean f;
        int j;
        int b = field[start];
        moves[nm++] = b;
        if (nm == N) return true;
        //System.out.println("Processing: " + start + "->" + field[start]);        
        field[start] = HOLE;
        field[b] = PEG;
        int dir = (b > start)? 1 : -1;
        int i = start + dir;
        while (i != b) { edgeflow[i] -= dir; i += dir; } // clear edge                
        int flow = edgeflow[b];
        if (Math.abs(flow) > 2) return false;
        if (end > b) {
            switch (flow) {
            case 1 :                    
                j = find(b,-1,nm);
                if (j <= 0) return false;
                return rec_solve(j,nm);
            case -1 :
                return false;
            case 0 :          
                j = find(b,1,nm);
                if (j <= 0) return false;
                return rec_solve(j,nm);
            }        
        } else {
            switch (flow) {
            case -1 :                    
                j = find(b,1,nm);
                if (j <= 0) return false;
                return rec_solve(j,nm);
            case 1 :
                return false;
            case 0 :          
                j = find(b,-1,nm);
                if (j <= 0) return false;
                return rec_solve(j,nm);
            }            
        }
        return false;
    }
    boolean solve(int demo[][]) {
        N = demo.length;
        for (int i = 0; i < N; i++)
            M = Math.max(M, Math.max(demo[i][0], demo[i][1]));
        moves = new int[N];
        edgeflow = new int[M+1];
        field = new int[M+1];
        problem = demo;        
        for (int i = 0; i < problem.length; i++) {
            int a = problem[i][0];
            int b = problem[i][1];
            if ( a < 1 || b < 1 || a > M || b > M || ! is_hole(field[a]) || ! is_hole(field[b])) {
                System.out.println("Bad input pair (" + a + "," + b + ")");
                return false;
            }
            field[a] = b;
        }
        for (int i = 1; i <= M; i++) {
            end = i;
            build_edges();
            if (!is_ele(field[i])) continue;
            for (int j = 1; j <= M; j++) {
                if (!is_ele(field[j])) continue;
                if (i==j) continue;
                int tmp_edgeflow[] = cp(edgeflow);
                int tmp_field[] = cp(field);
                choices = 0;
                //System.out.println("START: " + j + " " + " END: " + i);
                if (rec_solve(j, 0)) {
                    return true;
                }
                edgeflow = tmp_edgeflow;
                field = tmp_field;
            }
        }
        return false;
    }
    void init(int demo[][]) {

    }
    public static void main(String args[]) {
        /**** THE INPUT ********/        

        int demo[][] =  {{4,2},{5,7},{6,3},{10,12},{11,1},{13,8},{14,9}};

        /***********************/        
        String r = "";
        StrangeSort sorter = new StrangeSort();       
        if (sorter.solve(demo)) {
            for (int i = 0; i < N; i++) { // print it in clear text
                int b =  moves[i];
                for (int j = 0; j < demo.length; j++)
                    if (demo[j][1] == b)
                        r += ((i>0)? " -> " : "") + "(" + demo[j][0] + "," + demo[j][1] + ")";
            }             
            r = "SOLUTION: "+r;
        }
        else
            r = "NO SOLUTIONS";
        System.out.println(r);
    }    
}

นี่ไม่ใช่วิธีการแก้ปัญหา แต่เป็นการปรับรูปแบบที่หลีกเลี่ยงการกล่าวถึงการดำเนินการแลกเปลี่ยนและคัดแยก เริ่มต้นด้วยการเรียงลำดับรายชื่อไฟล์รวมทั้งหมดและเวอร์ชันที่สลับกันและระบุชื่อไฟล์แต่ละชื่อด้วยดัชนีในรายการนั้น จากนั้นสองไฟล์คือเพื่อนบ้านหากชื่อไฟล์เก่าทั้งหมดระหว่างไฟล์เหล่านั้นถูกทำลายไปแล้วและหากยังไม่มีชื่อไฟล์ใหม่ระหว่างนั้นสร้างขึ้น ปัญหาที่มีการปรับรูปแบบมีดังต่อไปนี้:

$n$$(a, b)$$a, b \in \{1,2,…,2n\}$$(a_1, b_1), (a_2, b_2),...,(a_n, b_n)$

• $a_j$$b_i$$a_{i+1}$$j \le i$
• $b_j$$b_i$$a_{i+1}$$j \ge i+1$