แฟ็กเตอริ่งที่สมบูรณ์แบบของ NP

หนังสือของ Arora และ Barakนำเสนอการแยกตัวประกอบว่าเป็นปัญหาดังต่อไปนี้:

$\text{FACTORING} = \{\langle L, U, N \rangle \;|\; (\exists \text{ a prime } p \in \{L, \ldots, U\})[p | N]\}$

พวกเขากล่าวเพิ่มเติมในบทที่ 2 ว่าการลบความจริงที่ว่านั้นเป็นตัวสำคัญทำให้ปัญหา NP-complete นี้ไม่ได้เชื่อมโยงกับความยากลำบากของการแยกตัวประกอบ ดูเหมือนว่าจะมีการลดลงจาก SUBSETSUM แต่ฉันติดขัดในการค้นหา มีโชคดี ๆ แถวนี้ไหม? $p$

แก้ไข 1 มีนาคม:เงินรางวัลสำหรับการพิสูจน์ความสมบูรณ์แบบโดยใช้การลด Karp (หรือ Cook) ที่กำหนดขึ้น $NP$

cc.complexity-theory np-hardness factoring

— Michaël Cadilhac
แหล่งที่มา

@turkistany: FWIW ฉันถือว่ารูปแบบไม่ดีที่จะใส่ NP ในตัวเอียงและเป็นทั้งสไตล์ที่ไม่ดีและ LaTeX ที่ไม่ดีที่จะวางไว้ในโหมดคณิตศาสตร์ (เนื่องจากระยะห่างระหว่างตัวอักษรแตกต่างกัน)

— Michaël Cadilhac

@ Michaëlขอโทษย้อนกลับไปสู่รูปแบบเดิม ฉันตื่นเต้นกับคำถามของคุณ :)

— Mohammad Al-Turkistany

คำอธิบายที่สมบูรณ์มากขึ้น: ในหน้า 63 ของหนังสือพวกเขาเขียน: Alon และ Kilian (ในการสื่อสารส่วนตัว) แสดงให้เห็นว่าในคำจำกัดความของภาษาแฟในตัวอย่างที่ 2.3 เงื่อนไขว่าปัจจัย p เป็นสิ่งสำคัญในการจับภาพ ปัญหาการแยกตัวประกอบเนื่องจากไม่มีเงื่อนไขนี้ภาษานี้คือ NP-complete (สำหรับเหตุผลที่ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับความแข็งของจำนวนเต็มแฟคตอริ่ง)

— MS Dousti

โดยธรรมชาติแล้วฉันค้นหาบทความโดย Alon และ Kilian ที่มีคำว่า "แฟ็กเตอริง" และ "NP-complete" ฉันไม่พบเลย (ฉันเดาว่านี่เป็นเรื่องธรรมดาในบางแง่มุม) :(

— Tsuyoshi Ito

@Michael ฉันชอบคลาสการเรนเดอร์เป็นมากกว่า NP ไม่นะ

N P

$\mathsf{NP}$

— Suresh Venkat

คำตอบ:

นี่ไม่ใช่คำตอบ แต่อยู่ใกล้ ต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์ว่าปัญหา NP-hard ภายใต้การลดแบบสุ่ม

สมมติว่าคุณรู้ว่าปัจจัยของการมีความสัมพันธ์ที่ชัดเจนในการรวมชุดย่อยซึ่งเป็นเป็น : , , , p_kตอนนี้คุณต้องการค้นหาชุดย่อยของเช่นนั้น $N$ $p_1$ $p_2$ $\ldots$ $p_k$ $S$ $p_1$ $\ldots$ $p_k$

\log L \leq \sum_{p_{i} \in S} \log p_{i} \leq \log U .

$\displaystyle \log L \leq \sum_{p_i \in S} \log p_i \leq \log U.$

ปัญหาของการพยายามใช้ความคิดนี้เพื่อแสดงปัญหาคือ NP-hard คือถ้าคุณมีปัญหาผลรวมย่อยของตัวเลข , , ,คุณไม่สามารถหาช่วงเวลาในพหุนามได้เช่น (โดยฉันหมายถึงสัดส่วนโดยประมาณ) ปัญหานี้เป็นปัญหาจริงเพราะตั้งแต่เซตผลรวมไม่ได้เป็นอย่างยิ่ง NP-เสร็จสมบูรณ์คุณต้องไปหาเหล่านี้ขนาดใหญ่จำนวนเต็มt_i $t_1$ $t_2$ $\ldots$ $t_k$ $\log p_i \propto t_i$ $\propto$ $\log p_i$ $t_i$

ตอนนี้สมมติว่าเราจำเป็นต้องให้ทุกจำนวนเต็มในเซตปัญหารวมอยู่ระหว่างและและผลรวมจะอยู่ที่ประมาณt_i ปัญหาผลรวมเซ็ตย่อยจะยังคงเป็นปัญหาที่สมบูรณ์และวิธีแก้ปัญหาใด ๆ คือผลรวมของจำนวนเต็มเราสามารถเปลี่ยนปัญหาจากจำนวนเต็มเป็น reals หากเราปล่อยให้อยู่ระหว่างและและแทนที่จะกำหนดให้ผลรวมเป็นแน่นอนเราต้องการให้อยู่ระหว่างและ{10} เราเพียงแค่ต้องระบุหมายเลขของเราไปรอบ ๆ $t_1$ $\ldots$ $t_k$ $x$ $x(1+1/k)$ $\frac{1}{2}\sum_i t_i$ $k/2$ $t'_i$ $t_i$ $t_i+\frac{1}{10k}$ $s$ $s$ $s + \frac{1}{10}$ $4 \log k$ ความแม่นยำมากขึ้นในการทำเช่นนี้ ดังนั้นถ้าเราเริ่มต้นด้วยตัวเลขด้วยบิตและเราสามารถระบุจำนวนจริงถึงความแม่นยำประมาณบิตเราสามารถดำเนินการลดของเรา $B$ $\log p_i$ $B + 4 \log k$

ตอนนี้จากวิกิพีเดีย (ผ่านความคิดเห็นของ Hsien-Chih ด้านล่าง) จำนวนช่วงระหว่างและคือดังนั้นถ้าคุณเพียงแค่เลือก ตัวเลขสุ่มในช่วงนั้นและทดสอบพวกมันเพื่อความเป็นอันดับแรกโดยมีความน่าจะเป็นสูงที่จะได้เป็นนายกในเวลาพหุนาม $T$ $T+ T^{5/8}$ $\theta(T^{5/8}/\log T)$

ทีนี้ลองลดขนาดกันดู สมมติว่าเรามีทั้งหมดบิตยาว ถ้าเราใช้ของความยาวบิตจากนั้นเราจะพบสำคัญใกล้กับด้วยความแม่นยำบิต ดังนั้นเราสามารถเลือกเพื่อให้ด้วยความแม่นยำบิต สิ่งนี้ทำให้เราพบดังนั้นด้วยความแม่นยำบิต หากเซตย่อยของช่วงเวลาเหล่านี้คูณกับบางสิ่งที่ใกล้เคียงกับค่าเป้าหมายจะมีวิธีแก้ไขปัญหาสำหรับผลรวมย่อยเซ็ตแรก ดังนั้นเราจึงปล่อย $t_i$ $B$ $T_i$ $3B$ $p_i$ $T_i$ $9/8B$ $T_i$ $\log T_i \propto t_i$ $9/8\, B$ $p_i \approx T_i$ $\log p_i \propto t_i$ $9/8\,B$ $N=\Pi_i p_i$ เลือกและอย่างเหมาะสมและเรามีการลดแบบสุ่มจากผลรวมย่อย $L$ $U$

— ปีเตอร์แคระ
แหล่งที่มา

ฉันไม่เข้าใจการลดลง เพื่อให้ปัญหาผลรวมย่อยเซ็ตนั้นเป็น NP-complete จะต้องกำหนดตัวเลขเป็นเลขฐานสอง ถ้าเราต้องการจำนวนเต็มที่มีลอการิทึมใกล้กับตัวเลขในตัวอย่างของปัญหาผลรวมเซตย่อยเราต้องการเลขจำนวนมากแทน คุณจะเอาชนะสิ่งนี้ได้อย่างไร?

— Tsuyoshi Ito

@Peter: สมมติฐานในทฤษฎีตัวเลขเรียกว่าการคาดเดาของCramérซึ่งระบุว่าโดยที่เป็นจำนวนเฉพาะ n-th ดูบทความช่องว่างที่สำคัญสำหรับการอ้างอิง

p_{n + 1} - p_{n} = O (\log^{2} n)

$p_{n+1} - p_n = O(\log^2 n)$

p_{n}

$p_n$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Peter: ใช่รุ่นของสมมติฐานนี้ได้รับการพิสูจน์สำหรับมากพอ ผลลัพธ์แรกของประเภทนี้แสดงโดย Hoheisel และผลลัพธ์ที่ดีที่สุดเนื่องจากวิกิพีเดียเป็นผลงานของBaker, Harman และ Pintzโดยมี , (เนื่องจากมีความน่าจะเป็น 1) และ .

T

$T$

α = 0.525

$\alpha = 0.525$

c_{1} = \infty

$c_1 = \infty$

c_{2} = 1

$c_2 = 1$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

เพิ่งเจอสิ่งนี้ ฉันควรทราบว่าฉันไม่ทราบว่าหลักฐานเดิมของ Kilian-Alon คืออะไร ความรู้เพียงอย่างเดียวของฉันในการพิสูจน์นั้นมาจากการสื่อสารกับ Noga ที่ไม่จำรายละเอียดของหลักฐานดั้งเดิมได้และการพิสูจน์ที่เขาสร้างขึ้นใหม่นั้นเป็นสิ่งนี้ โปรดทราบว่ามันยังสามารถอธิบายได้ว่าเป็นการลดลงที่กำหนดภายใต้สมมติฐานเชิงทฤษฎีที่มีจำนวนมาก (เช่นมีความสำคัญในช่วงเวลาใด ๆ ของรูปแบบ [x, x + polylog (x)])

— Boaz Barak

ฉันเพิ่งคุยกับ Joe Kilian เขากล่าวว่าหลักฐานที่พิสูจน์ว่าเขาและ Alon เกิดขึ้นจากการลดการสุ่มแบบไม่มีข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้อง เท่าที่เขาทราบการลดลงของยาคุมยังคงเปิดอยู่เว้นแต่คุณจะตั้งสมมติฐานเชิงทฤษฎีบางอย่างตามที่ Boaz Barak ได้กล่าวไว้แล้ว

— Timothy Chow

ฉันคิดว่ามันเชื่อมโยงกับทฤษฎีบท PCP (โดยเฉพาะ ) $NP = PCP[O(\log{n}), O(1)]$

ข้อความที่ตัดตอนมาจากกระดาษของ Madhu :

... ความคิดที่ว่าผู้ตรวจสอบสามารถดำเนินการคำนวณเวลาพหุนามใด ๆ เสริมสร้างคลาสของทฤษฎีบทและการพิสูจน์อย่างมากและเริ่มที่จะนำเสนอวิธีการที่ไม่น่าสนใจอย่างมากของการพิสูจน์ทฤษฎีบท (สิ่งหนึ่งที่เกิดขึ้นทันทีคือเราสามารถสมมติทฤษฎีบท / บทพิสูจน์ / ยืนยัน / ข้อโต้แย้งเป็นลำดับเลขฐานสองและเราจะทำต่อจากนี้เป็นต้นไป) ตัวอย่างเช่นสมมติว่าเรามีการยืนยัน (พูด Riemann Hypothesis) และบอกว่าเราเชื่อว่ามันมี หลักฐานซึ่งจะพอดีกับบทความ 10,000 หน้า มุมมองการคำนวณกล่าวว่าได้รับและผูกพัน (10,000 หน้า) หนึ่งได้อย่างมีประสิทธิภาพสามารถคำนวณสามจำนวนเต็มบวกกับเช่นว่าเป็นความจริงและถ้าหาก $A$ $A$ $N, L, U$ $L \leq U \leq N$ $A$ $N$ มีตัวหารระหว่างและUจำนวนเต็ม , , และจะค่อนข้างยาว (อาจจะเขียนเป็นล้านหน้า) แต่ก็สามารถผลิตได้อย่างมีประสิทธิภาพมาก (ในเวลาน้อยกว่าเวลาที่ใช้เครื่องพิมพ์ในการพิมพ์จำนวนเต็มทั้งหมดนี้ ซึ่งแน่นอนที่สุดในหนึ่งหรือสองวัน) (ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงนี้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ที่ได้จากJoe Kilianการสื่อสารส่วนตัว) ... $L$ $U$ $N$ $L$ $U$

... ไกลเกินกว่าทักษะทฤษฎีความซับซ้อนของฉัน :-)

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

นี่เป็นเพียงอีกสูตรหนึ่งที่ปัญหานี้เป็นปัญหาที่สมบูรณ์

— Marc Bury

@Marc ... mmm ... ฉันคิดว่ามันหมายถึง: NP-complete เนื่องจากมีการลดพหุนามจากปัญหาที่สมบูรณ์ของปัญหาSHORT PROOFอยู่ ...

{⟨ L, U, N ⟩ | (\exists p \in {L, \dots, U}) [p | N]}

$\{\langle L, U, N \rangle \;|\; (\exists p \in \{L, \ldots, U\})[p | N]\}$

— Marzio De Biasi

ปัญหา SHORT PROOFS ในกระดาษเกือบจะเหมือนกันกับปัญหาการหยุดทำงานที่ถูกผูกไว้ การลดปัญหา SHORT PROOFS น่าจะยุ่งเหยิงที่สุดเท่าที่พิสูจน์โดยทั่วไปของความสมบูรณ์ของดาวเทียม - และดังนั้นจึงไม่น่าเป็นไปได้ที่การพิสูจน์ปัญหาความสมบูรณ์ของปัญหานี้โดย Kilian สร้างการลดลงจาก ปัญหาระยะสั้นโดยตรง

— Tsuyoshi Ito

นี่เป็นแนวคิดการลดลงอย่างไม่เป็นทางการที่มีประสิทธิภาพ (และอาจไม่สมบูรณ์):

Fractranเป็นภาษาโปรแกรมทัวริงที่สมบูรณ์ โปรแกรม Fractran เวอร์ชันที่ จำกัด ขอบเขตอย่างเหมาะสมควรจะลดลงเป็นภาษา $\{\langle L, U, M \rangle \;|\; (\exists \text{ a positive integer } p \in \{L, \ldots, U\})[p | M]\}$

ตัวอย่างเช่นรุ่นที่มีขอบเขตสามารถถามว่าเลขจำนวนเต็มถูกสร้างในลำดับผลลัพธ์ของโปรแกรม Fractran ภายในจำนวนขั้นตอนที่แน่นอน (ดิวิชั่น) (เช่น ) $M$ $M=N_j * F_i$

— Mohammad Al-Turkistany
แหล่งที่มา