สัจพจน์ที่จำเป็นสำหรับวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี

คำถามนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากคำถามที่คล้ายกันเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ประยุกต์ใน mathoverflow และการจู้จี้คิดว่าคำถามสำคัญของ TCS เช่น P vs. NP อาจเป็นอิสระจาก ZFC (หรือระบบอื่น ๆ ) ในฐานะที่เป็นพื้นหลังน้อย, คณิตศาสตร์กลับเป็นโครงการของการหาหลักการที่จำเป็นในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสำคัญบางอย่าง กล่าวอีกนัยหนึ่งเราเริ่มจากชุดของทฤษฎีบทที่เราคาดว่าจะเป็นจริงและพยายามหาเซตของสัจพจน์ 'ธรรมชาติ' ที่น้อยที่สุดที่ทำให้พวกมันเป็นเช่นนั้น

ฉันสงสัยว่าวิธีการทางคณิตศาสตร์แบบย้อนกลับถูกนำไปใช้กับทฤษฎีที่สำคัญของ TCS หรือไม่ โดยเฉพาะทฤษฎีความซับซ้อน ด้วยการหยุดชะงักของคำถามเปิดมากมายใน TCS ดูเหมือนเป็นธรรมชาติที่จะถามว่า "เรามีความจริงอะไรที่ไม่ได้ลองใช้" หรือมีคำถามที่สำคัญใน TCS ที่แสดงว่าเป็นอิสระจากระบบย่อยง่าย ๆ ของเลขคณิตลำดับสองหรือไม่

cc.complexity-theory lo.logic proof-complexity

— Artem Kaznatcheev
แหล่งที่มา

สองหลักการที่เป็นไปได้ที่อาจไม่เป็นอิสระ: 1) 3-SAT ต้อง

เวลา 2) ได้รับสูตร 3SAT พอใจทุกอย่างมีประสิทธิภาพตอบสนองขั้นตอนวิธีการที่มากที่สุด

-fraction ของข้อ นอกจากนี้การคูณของสองช่วงเวลาที่เท่ากันก็ยากที่จะกลับด้าน (อย่างมีประสิทธิภาพ)

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

7 / 8

$7/8$

— Mohammad Al-Turkistany

กระดาษนี้มีความเกี่ยวข้อง: แฮร์รี่ Buhrman, แลนซ์ฟอ์ตนว์, Leen Torenvliet "หกสมมติฐานในการค้นหาของทฤษฏี" CCC, pp.2, IEEE ที่ 12 ประจำปีการประชุมเกี่ยวกับการคำนวณความซับซ้อน (CCC'97) 1997

— โมฮัมหมัดอัล Turkistany

คำถามต่อไปนี้เกี่ยวข้องกับ: cstheory.stackexchange.com/questions/1923/… TCS ส่วนใหญ่สามารถทำเป็นทางการได้ใน RCA_0 ทฤษฎีบทย่อยของกราฟเป็นข้อยกเว้นที่หายาก ในฐานะที่เป็น Neel ให้ความสำคัญถ้าคุณต้องการความคิดใหม่แล้วมองหาแนวคิดใหม่ ๆ อย่ามองหาสัจพจน์ใหม่ ทั้งสองไม่เหมือนกันเลย

— Timothy Chow

ฉันสับสนว่าเหตุใดผลลัพธ์เช่นประกาศของ

หรือ

จึงถูกระบุ ในการบรรยาย TCS ครั้งแรกของฉันเราเริ่มต้นด้วยตัวเลขธรรมชาติและฟังก์ชั่นพื้นฐานบางอย่างกับพวกเขา ที่เหลือดังนี้ เห็นได้ชัดว่าฉันไม่เข้าใจคำถาม

P

$P$

N P

$NP$

— Raphael

ฉันเพิ่งสังเกตเห็นนี้ แต่เห็นได้ชัดว่าลิปตันถามคำถามที่คล้ายกันในโพสต์นี้: rjlipton.wordpress.com/2011/02/03/ …เพื่ออ้างถึง: "ฉันสงสัยว่ามีเทคนิคการพิสูจน์ที่เกี่ยวข้องกับความคิดที่ไกลเกินกว่าที่เรามี ไม่ได้ใช้และสิ่งใดที่จะช่วยเปิดปัญหาสำคัญบางข้อเราควรสอนวิธีการศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาของเราจากสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่อยู่นอกเหนือ PA (PA = Peano Arithmetic)

— Artem Kaznatcheev

คำตอบ:

ใช่หัวข้อได้รับการศึกษาในการพิสูจน์ความซับซ้อน มันถูกเรียกว่าย้อนกลับคณิตศาสตร์ขอบเขต คุณสามารถหาตารางที่มีผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์แบบย้อนกลับได้ในหน้า 8 ของหนังสือของ Cook and Nguyen, " Logical Foundations of Proof Complexity ", 2010 นักเรียนก่อนหน้าของ Steve Cook บางคนได้ทำงานในหัวข้อที่คล้ายกันเช่นวิทยานิพนธ์ของ Nguyen " Bounded Reverse Mathematics " มหาวิทยาลัยโตรอนโต, 2008

Alexander Razborov (นักทฤษฎีการพิสูจน์ความซับซ้อนอื่น ๆ ) มีผลลัพธ์บางอย่างเกี่ยวกับทฤษฎีที่อ่อนแอที่จำเป็นในการทำให้เป็นรูปแบบของเทคนิคความซับซ้อนของวงจรและพิสูจน์ความซับซ้อนของวงจรที่ต่ำลง เขาได้ผลลัพธ์ที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้สำหรับทฤษฎีที่อ่อนแอ แต่ทฤษฎีนั้นถือว่าอ่อนแอเกินไป

$RCA_0$ $\mathbf{P} vs. \mathbf{NP}$ $PA_1$ $PA_1$ $PA$

— Kaveh
แหล่งที่มา

ผลลัพธ์ที่เป็นอิสระเช่นนี้จะเป็นความก้าวหน้าครั้งสำคัญ แต่ฉันไม่คิดว่าพวกเขาจะมีผลกระทบที่แข็งแกร่งในทันที เห็นความคิดเห็นของฉันในคำตอบของ Neel

— Timothy Chow

P A

$PA$

P A_{1}

$PA_1$

P A

$PA$

P A

$PA$

P A_{1}

$PA_1$

ในฐานะที่เป็นคำตอบเชิงบวกสำหรับคำถามสุดท้ายของคุณการพิสูจน์การทำให้เป็นมาตรฐานของแลมบ์ดาแคลคูลัสแบบ polymorphic เช่นแคลคูลัสของสิ่งก่อสร้างต้องการอย่างน้อยลำดับเลขคณิตที่สูงกว่าและระบบที่แข็งแกร่งขึ้น (เช่นแคลคูลัสของ

$P \not= NP$ $PA_1$ $DTIME(n^{\log^{*}(n)})$ $PA$ $PA_1$

ยิ่งกว่านั้นในทางปรัชญาอย่าทำผิดพลาดในการสร้างความมั่นคงที่มั่นคงด้วยความแข็งแกร่งของสิ่งที่เป็นนามธรรม

วิธีที่ถูกต้องในการจัดระเบียบเรื่องอาจเกี่ยวข้องกับหลักการทางทฤษฎีที่ตั้งอยู่ในป่าอย่างรุนแรงแม้ว่าพวกเขาอาจไม่จำเป็นอย่างเคร่งครัดในแง่ของความมั่นคงที่สม่ำเสมอ ตัวอย่างเช่นหลักการการสะสมที่แข็งแกร่งมีประโยชน์มากสำหรับการระบุคุณสมบัติความเท่าเทียม - เช่นนักทฤษฎีหมวดท้ายต้องการความจริงที่สำคัญของพระคาร์ดินัลขนาดใหญ่ที่อ่อนแอในการจัดการสิ่งต่าง ๆ เช่นหมวดหมู่ของทุกกลุ่มราวกับว่าพวกเขาเป็นวัตถุ ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุดคือเรขาคณิตเชิงพีชคณิตซึ่งการพัฒนาทำให้เกิดการใช้จักรวาล Grothendieck อย่างกว้างขวาง แต่การใช้งานทั้งหมดของพวกเขา (เช่นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์) นั้นอยู่ในลำดับที่สาม เป็นตัวอย่างที่น่าสนใจยิ่งขึ้นโปรดทราบว่าการดำเนินงานเอกลักษณ์และองค์ประกอบทั่วไปนั้นไม่ได้ทำหน้าที่เนื่องจากมีการจัดทำดัชนีทั่วทั้งจักรวาลของเซต

$\sigma$ $X$ $X$

แก้ไข: ระบบโลจิคัล A มีความแข็งแกร่งที่สม่ำเสมอมากกว่าระบบ B หากความสอดคล้องของ A แสดงถึงความมั่นคงของ B ตัวอย่างเช่น ZFC มีความแข็งแกร่งที่สม่ำเสมอมากกว่า Peano เลขคณิตเนื่องจากคุณสามารถพิสูจน์ความสอดคล้องของ PA ใน ZFC A และ B มีความมั่นคงเหมือนกันหากมีความเสมอภาค ยกตัวอย่างเช่น Peano arithmetic มีความสอดคล้องกันหาก Heyting (เชิงสร้างสรรค์) เป็นเลขคณิตเท่านั้น

IMO หนึ่งในข้อเท็จจริงที่น่าทึ่งที่สุดเกี่ยวกับตรรกะคือความแข็งแกร่งที่สอดคล้องกันทำให้เกิดคำถามว่า "อะไรคือฟังก์ชั่นที่เติบโตเร็วที่สุดที่คุณสามารถพิสูจน์ได้ทั้งหมดในตรรกะนี้" เป็นผลให้ความสอดคล้องของคลาสต่างๆของ logics สามารถสั่งเป็นเส้นตรง! หากคุณมีสัญลักษณ์แสดงความสามารถในการอธิบายฟังก์ชั่นการเติบโตที่เร็วที่สุดของคุณสอง logics สามารถแสดงผลรวมแล้วคุณรู้โดย trichotomy ว่าอย่างใดอย่างหนึ่งสามารถพิสูจน์ความมั่นคงของอื่น ๆ หรือพวกเขาจะเท่าเทียมกัน

แต่ความจริงที่น่าประหลาดใจนี้ก็เป็นเหตุผลว่าทำไมความมั่นคงที่มั่นคงไม่ใช่เครื่องมือที่เหมาะสมสำหรับการพูดคุยเกี่ยวกับนามธรรมทางคณิตศาสตร์ มันเป็นค่าคงที่ของระบบรวมถึงเทคนิคการเขียนโค้ดและสิ่งที่เป็นนามธรรมที่ดีจะช่วยให้คุณสามารถแสดงความคิดเห็นโดยไม่มีเทคนิค อย่างไรก็ตามเราไม่มีความรู้เพียงพอเกี่ยวกับตรรกะในการแสดงความคิดนี้อย่างเป็นทางการ

— Neel Krishnaswami
แหล่งที่มา

'ความมั่นคงที่สม่ำเสมอ' คืออะไร

— Suresh Venkat

นั่นไม่ใช่สิ่งที่ Ben-David และ Halevi พิสูจน์ คุณมองข้ามผู้ขับขี่ที่สำคัญของพวกเขา "โดยใช้เทคนิคที่มีอยู่ในปัจจุบัน" ฉันตีความบทความของพวกเขาโดยเน้นว่าเทคนิคการพิสูจน์ในปัจจุบันของเรานั้นอ่อนแอเพียงใดแทนที่จะพูดมากเกี่ยวกับคำถาม P = NP

— Timothy Chow