ความซับซ้อนของการแปลงวงจรบูลีนเป็นสูตรบูลีน

ให้วงจรบูลีนกับตัวแปร (ซึ่งใช้เพียงไม่, และและหรือประตู) วิธีใดที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดในการแยกสูตรบูลีนที่เป็นวงจร มีอัลกอริทึม polytime สำหรับปัญหานี้หรือไม่? $C$ $n$

cc.complexity-theory time-complexity boolean-functions

— Nikhil
แหล่งที่มา

วงจรประเภทใดที่ประตูมี?

— Lev Reyzin

ข้อ จำกัด เกี่ยวกับการเข้า - ออกหรือการออก ถ้ามันเป็นเพียงแค่ fan-out เพียงครั้งเดียวก็เป็นเรื่องเล็กน้อย: วงจรตัวเองเป็นหลัก AST สำหรับสูตร

— Mark Reitblatt

fan-in ที่ถูก จำกัด ให้เป็นแบบทั่วไป แต่เพื่อความแม่นยำสมมติว่า AND และ OR มี fan-in 2 ในการอ้างอิงจำนวนมากในวรรณคดีฉันพบว่ามีการใช้วงจรและสูตรแทนกัน แต่ฉันต้องการทราบว่าการแปลงวงจรเป็นสูตรนั้นง่ายหรือไม่ ปัญหา.

— Nikhil

โดยทั่วไปคุณคาดหวังว่าสูตรที่เทียบเท่าใด ๆ อาจมีขนาดเป็นเลขชี้กำลังแม้กระทั่งสำหรับวงจรขนาดเล็ก

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

สูตรขนาดพหุนามเทียบเท่ากับวงจร วงจร POLYSIZE ( ) จะไม่ทราบว่าจะเทียบเท่ากับ 1 สูตรและวงจรที่ใช้ในการสลับกันโดยปกติเมื่อความลึกของวงจรถูก จำกัด ขอบเขต

N C^{1}

$NC^1$

P / p o l y

$P/poly$

N C^{1}

$NC^1$

— Kaveh

ถ้าฉันเข้าใจคำถามของคุณถูกต้องฉันจะบอกว่าคุณสามารถใช้การลดมาตรฐานจาก CIRCUIT-SAT ถึง SAT: แทนแต่ละประตูเป็นตัวแปรใหม่แล้วแสดงวงจรทั้งหมดในรูปแบบ CNF โดยแต่ละประโยคมีรูปแบบโดยที่คือตัวแปรใหม่และสูตรสำหรับเกตได้รับจากโดยใช้ตัวแปรสำหรับประตูอื่น ๆ เพื่อเป็นตัวแทนของอินพุต สิ่งนี้สามารถทำได้โดยการสำรวจเส้นทางง่ายๆ (ในเวลาเชิงเส้นซึ่งเป็นที่เหมาะสมอย่างชัดเจน) $(v\leftrightarrow\phi)$ $v$ $\phi$

ตัวอย่างเช่นถ้าคุณ hade สามปัจจัยการผลิต ,และมีการเชื่อมโยงและประตูและเช่นเดียวกับและและหรือประตูเชื่อมโยงผลของพวกเขาคุณสามารถแนะนำสามตัวแปรเพื่อเป็นตัวแทนของ gates- ,และตามลำดับ - และเขียนสูตรไปที่โปรดทราบว่าตัวแปรเอาต์พุตรวมอย่างชัดเจน $x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_1$ $x_2$ $x_2$ $x_3$ $v_1$ $v_2$ $v_3$

(v_{1} \leftrightarrow (x_{1} \land x_{2})) \land (v_{2} \leftrightarrow (x_{2} \land x_{3})) \land (v_{3} \leftrightarrow (v_{1} \lor v_{2})) \land v_{3} .

$(v_1\leftrightarrow(x_1\land x_2))\land (v_2\leftrightarrow(x_2\land x_3))\land (v_3\leftrightarrow(v_1\lor v_2))\land v_3\,.$

รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับอัลกอริทึมโดย Cormen และคณะ อธิบายรายละเอียดในบทที่เกี่ยวกับ NP-Completeeness

— แมกนัสโกหกเฮทแลนด์
แหล่งที่มา

CIRCUIT-SAT ใช้ fan-out 1 ประตูหรือไม่

— Mark Reitblatt

แน่นอน - แต่เท่าที่ฉันเห็นนั่นไม่ส่งผลกระทบต่อการลด / การแปลง แนวคิดของการแสดงแต่ละเอาต์พุตเป็นตัวแปรใหม่หมายความว่าคุณสามารถนำแต่ละเอาต์พุตมาใช้ใหม่เป็นอินพุตได้หลายครั้ง กล่าวอีกนัยหนึ่งวิธีแก้ปัญหาที่ให้ไว้ในคำตอบนี้ควรใช้กับวงจรโดยพลการ

— Magnus Lie Hetland

ฉันเดาว่านี่ไม่ใช่สิ่งที่ถูกขอ ฉันคิดว่าสิ่งที่ต้องการคือการทำสูตรในตัวแปรชุดเดียวกับวงจร

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

ฮึ่ม ใช่คุณพูดถูก การแนะนำตัวแปรใหม่นั้นสมเหตุสมผลในกรณี CIRCUIT-SAT กับ CNF-SAT แต่ไม่ใช่ในสภาพแวดล้อมทั่วไป - ฉันเห็นด้วย

— Magnus Lie Hetland

@ Kristoffer: ฉันหมายถึงสิ่งที่คุณพูด ให้วงจรบนฉันต้องการสูตรเป็นนิพจน์บูลีนที่แน่นอนสำหรับวงจร

C

$C$

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \ldots, x_n$

ϕ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

$\phi(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

— Nikhil