ตระกูลกราฟที่มีอัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับคำนวณจำนวนรงค์

โพสต์อัปเดตเมื่อวันที่ 31 สิงหาคม : ฉันเพิ่มบทสรุปของคำตอบปัจจุบันใต้คำถามเดิม ขอบคุณสำหรับคำตอบที่น่าสนใจ! แน่นอนว่าทุกคนสามารถโพสต์สิ่งที่ค้นพบใหม่ต่อไปได้

ซึ่งครอบครัวของกราฟมีอยู่ขั้นตอนวิธีการพหุนามเวลาสำหรับการคำนวณจำนวนรงค์ ?$\chi(G)$

ปัญหาสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามเมื่อ (กราฟสองฝ่าย) โดยทั่วไปเมื่อχ ( G ) ≥ 3 การคำนวณหมายเลขรงค์คือ NP-hard แต่มีกราฟหลายตระกูลที่ไม่ได้เป็นเช่นนี้ ตัวอย่างเช่นวงจรสีและกราฟที่สมบูรณ์แบบสามารถทำได้ในเวลาพหุนาม$\chi(G) = 2$$\chi(G) \ge 3$

นอกจากนี้สำหรับคลาสกราฟจำนวนมากเราสามารถประเมินพหุนามแบบสีที่สอดคล้องกันได้ ตัวอย่างบางส่วนในMathworld

ฉันคิดว่าส่วนใหญ่ข้างต้นเป็นความรู้ทั่วไป ฉันยินดีที่จะเรียนรู้ว่ามีกราฟครอบครัวอื่น ๆ ที่ไม่ใช่เรื่องไร้สาระซึ่งการระบายสีกราฟขั้นต่ำสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม

โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันสนใจในอัลกอริธึมที่แน่นอนและกำหนดค่า แต่รู้สึกอิสระที่จะชี้ให้เห็นอัลกอริธึมแบบสุ่มที่น่าสนใจหรืออัลกอริทึมการประมาณ

อัปเดต (31 สิงหาคม):

ขอขอบคุณทุกคนที่ส่งคำตอบที่น่าสนใจ นี่เป็นบทสรุปสั้น ๆ ของคำตอบและข้อมูลอ้างอิง

กราฟที่สมบูรณ์แบบและเกือบสมบูรณ์แบบ

• อัลกอริธึมเชิงเรขาคณิตและการเพิ่มประสิทธิภาพ Combinatorial (1988), บทที่ 9 (เซตที่มั่นคงในกราฟ) Martin Grotschel, Laszlo Lovasz, Alexander Schrijver

  บทที่ 9 ของหนังสือเล่มนี้แสดงให้เห็นถึงวิธีการแก้ปัญหาการระบายสีผ่านปัญหาน้ำหนักปกคลุมขั้นต่ำ เนื่องจากพวกเขาใช้วิธี ellipsoid อัลกอริทึมเหล่านี้อาจไม่มีประโยชน์ในทางปฏิบัติ นอกจากนี้ในบทยังมีรายการอ้างอิงที่ดีสำหรับคลาสที่แตกต่างของกราฟที่สมบูรณ์แบบ

• Combinatorial Optimization (2003), เล่ม B, ตอนที่ VI Alexander Schrijver

  หนังสือเล่มนี้มีสามบทที่อุทิศให้กับกราฟที่สมบูรณ์แบบและความหลากหลายของเวลาพหุนาม ฉันดูอย่างรวดเร็ว แต่วิธีการพื้นฐานดูเหมือนกับหนังสือเล่มก่อนหน้า

• ลักษณะของกราฟ b-perfect (2010) Chinh T. Hoàng, Frédéric Maffray, Meriem Mechebbek

กราฟที่มีความกว้างของต้นไม้หรือความกว้างของกลุ่ม

• ชุดที่มีขอบและการระบายสีบนกราฟที่มีความกว้างคงที่ (2001) Daniel Kobler, Udi Rotics

  อัลกอริทึมที่นี่ต้องการ k-expression (สูตรพีชคณิตสำหรับการสร้างกราฟที่มีความกว้าง clique-bounded) เป็นพารามิเตอร์ สำหรับกราฟบางกราฟนิพจน์นี้สามารถคำนวณได้ในเวลาเชิงเส้น

• ยาโรสลาฟชี้ให้เห็นถึงวิธีการนับจำนวนสีในกราฟที่มีความกว้างของต้นไม้ ดูคำตอบของเขาด้านล่าง

กราฟการศึกษาทั้งสองตระกูลนี้สามารถเพิ่มหรือลบจุดยอดหรือขอบได้$k$

• ความซับซ้อนของพารามิเตอร์ของการระบายสีจุดสุดยอด (2003) Leizhen Cai

  ระบายสีจะสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามเมื่อมีการเพิ่มหรือลบขอบ (สำหรับการแก้ไขk ) ในกราฟแยก$k$$k$

• ปัญหาการกำหนดสีของพารามิเตอร์บนกราฟคอร์ด (2006) Dániel Marx

  สำหรับคงที่กราฟ chordal ที่เพิ่มขอบkสามารถกำหนดสีได้ในเวลาพหุนาม$k$$k$

กราฟที่ไม่มีกราฟย่อยโดยเฉพาะ

• การตัดสินใจ k-Colorability ของกราฟปลอด P5 ในเวลาพหุนาม (2010) Chính T. Hoàng, Marcin Kamínski, Vadim Lozin, โจซาวาดะ, เสี่ยวซู่

• กราฟ AT-free 3 สีในเวลาพหุนาม (2010) Juraj Stacho

ระบายสีควอดทรี

• อัลกอริทึมสำหรับการระบายสีควอดทรี (1999) David Eppstein, Marshall W. Bern, Brad Hutchings

ในขณะที่คุณสังเกตกราฟที่สมบูรณ์แบบทั้งหมดสามารถระบายสีในเวลาพหุนาม แต่ฉันคิดว่าการพิสูจน์เกี่ยวข้องกับอัลกอริธึมรีสำหรับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (ดูหนังสือโดยGrötschel, Lovászและ Schrijver) แทนที่จะเป็นอะไรก็ได้ มีคลาสของกราฟที่แตกต่างกันมากมายซึ่งเป็นคลาสย่อยของกราฟที่สมบูรณ์แบบและมีอัลกอริทึมการระบายสีที่ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่นกราฟคอร์ดสามารถเป็นสีอย่างตะกละตะกลามโดยใช้การกำจัดที่สมบูรณ์แบบ

กราฟที่เชื่อมต่อแบบโลคัลทั้งหมด (กราฟที่จุดยอดทุกจุดมีการเชื่อมต่อ) สามารถเป็น 3 สีในเวลาพหุนามเมื่อมีสี: เพียงขยายสามเหลี่ยมสีเป็นสามเหลี่ยม

กราฟระดับสูงสุดสามสีในเวลาพหุนาม: ง่ายต่อการทดสอบว่าพวกเขาเป็นสองฝ่ายและถ้าไม่เช่นนั้นพวกเขาต้องการเพียงสามสีหรือพวกเขามี K4 เป็นองค์ประกอบที่เชื่อมต่อและต้องการสี่สี (ทฤษฎีบทของบรูกส์)

กราฟระนาบสามเหลี่ยมที่ไม่มีสามเหลี่ยมสามารถระบายสีในเวลาพหุนามด้วยเหตุผลเดียวกัน: พวกมันมีมากที่สุด 3 สี (ทฤษฎีบทของGrötzsch)

กราฟขสมบูรณ์แบบช่วยให้การเหนี่ยวนำให้เกิด 5 รอบ (ซึ่งแตกต่างจากกราฟที่สมบูรณ์แบบ) และแสดงให้เห็นว่ามีขั้นตอนวิธีการพหุนามเวลาสำหรับการระบายสีโดยHoàng, Maffray และ Mechebbek, ลักษณะของกราฟขที่สมบูรณ์แบบ , arXiv: 1004.5306 2010

(เป็นเรื่องน่าเสียดายที่บทสรุปที่ยอดเยี่ยมของคลาสกราฟที่ISGCIครอบคลุมเฉพาะส่วนที่เป็นชุดอิสระและการครอบงำซึ่งไม่รวมถึงข้อมูลเกี่ยวกับการระบายสี)

นอกจากนี้สำหรับกราฟ จำกัด ก๊กกว้าง (ซึ่งเป็นทั่วไปมากกว่า treewidth): Kobler และ Rotics

$n^{f(k)}$

ยิ่งไปกว่านั้น clique-width นั้นยากที่จะคำนวณ แต่มีอัลกอริทึมการประมาณโดย Oum และ Seymour "pproximating clique-width และ Branch-width" (พร้อมการประมาณแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล)

$k$

กราฟของตระกูลใด ๆ ที่มีความกว้างของต้นไม้ล้อมรอบจะมีอัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับคำนวณจำนวนรงค์ Gamarnik ช่วยลดปัญหาการนับสีที่มาร์จิ้นของ Markov Random Fields ที่กำหนดในกราฟเดียวกัน ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้เนื่องจากระยะขอบของ MRFs บนกราฟความกว้างต้นไม้ที่ถูกล้อมรอบสามารถคำนวณได้ในเวลาพหุนามด้วยอัลกอริธึมต้นไม้ทางแยก

อัปเดต 8/26 : นี่คือตัวอย่างของ "# of colorings" <-> การลดระยะขอบ มันต้องเริ่มต้นด้วยการระบายสีที่เหมาะสมซึ่งสามารถพบได้ในเวลาพหุนามสำหรับกราฟความกว้างของต้นไม้ที่ล้อมรอบด้วยอัลกอริทึมต้นไม้ทางแยกรุ่น max-plus ทีนี้ลองคิดดูสิ ... คุณไม่จำเป็นต้องใช้จำนวนสีสำหรับจำนวนรงค์เพียงสีเดียวที่เหมาะสม

$P_5$$C_5$$P_5$

$2P_3$

นอกจากนี้ยังมีผลลัพธ์โดย Daniel Marx เกี่ยวกับความซับซ้อนของปัญหาหมายเลขรงค์บนกราฟซึ่งสามารถทำคอร์ดได้โดยการลบจุดสุดยอด k ส่วนใหญ่; สำหรับทุก ๆ การแก้ไข k ปัญหานี้คือพหุนาม ( http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2005.10.008 )

อัลกอริทึมสำหรับการระบายสีquadtrees
M. Bern, D. Eppstein และ B. Hutchings http:
// arXiv: cs.CG/9907030
อัลกอริทึม 32 (1): 87-94, 2002

เราพิจารณาปัญหาที่แตกต่างกันหลายประการของการระบายสีสี่เหลี่ยมของรูปสี่เหลี่ยมเพื่อให้ไม่มีสี่เหลี่ยมสองอันที่อยู่ติดกันเหมือนกัน เราให้อัลกอริธึมเชิงเส้นตรงอย่างง่ายสำหรับควอไททรีแบบ 3 สีที่มีขอบติดกัน, ควอดทรีแบบไม่สมดุล 4 สีที่มีขอบติดกัน, และควอไทม์แบบสมดุลหรือควอร์ทแบบ 6 สี จำนวนสีที่ใช้โดยสองอัลกอริทึมแรกนั้นเหมาะสมที่สุด สำหรับอัลกอริทึมที่สามอาจจำเป็นต้องใช้ 5 สี