ผลที่ตามมาของปัญหาที่สมบูรณ์สำหรับปัญหา NP intersects coNP

อะไรคือผลกระทบของการมีปัญหาที่สมบูรณ์ในN P ∩ C o N P ?$NP\cap coNP$

นี่เป็นปัญหาแบบเปิด (กว้าง) ในขณะที่เราไม่รู้อะไรเลย โดยเฉพาะเนื่องจากความไม่แน่นอนในการพิสูจน์ $NP \cap coNP$ปัญหาที่สมบูรณ์เราต้องพิสูจน์เทคนิคแตกต่างกันมากกว่าอยู่ในขณะนี้ ด้วยเหตุนี้การอภิปรายถึงผลที่ตามมาควรรวมถึงการสัมผัสกันใน "การพิสูจน์ที่มีประสิทธิภาพ

สำหรับการสนทนาในหัวข้อล่าสุดมีคอลัมน์ NP-Completeness ที่ 26 ของ David Johnson ในธุรกรรม ACM บนอัลกอริทึมจาก 2007 ( PDF ) ให้ผมถอดความบางสิ่งที่ดาวิดกล่าวว่าเกี่ยวกับคำถามของการพิสูจน์$NP \cap coNP$ดำรงอยู่ปัญหาที่สมบูรณ์และเพิ่มความคิดของฉัน:

ขณะนี้เรามีผู้สมัครที่ "อ่อนแอ" ตามธรรมชาติสำหรับการเป็นสมาชิกใน$NP \cap coNP - P$ในแง่ที่ว่าหลักฐานที่แข็งแกร่งที่สุดสำหรับการเป็นสมาชิกของพวกเขาคือเรายังไม่สามารถหาอัลกอริธึมเวลาพหุนามได้สำหรับพวกเขา เขาแสดงรายชื่อผู้สมัครสองคน: SMALL FACTOR, STOCHASTIC GAME ง่าย ๆ และ MEAN PAYOFF GAME "ความแปลกประหลาด" บางอย่างของปัญหาเหล่านี้มาจากเวลาฮิวริสติกที่ดีที่สุดสำหรับการแก้ปัญหาเช่น SMALL FACTOR หรือที่รู้จักกันว่า INTEGER FACTOR $\le k$มีความซับซ้อนของเวลาแบบสุ่มของ$poly(n) 2^{\sqrt{k log(k)}}$ ) (หากมีปัญหาที่สมบูรณ์อยู่ใน$NP \cap coNP - P$แล้วเป็นเช่นย่อยชี้แจง(ค่าชี้แจงอย่างหมดจดหรือพหุนามมาก)รันไทม์ถิ่นของชั้น?)

ดังนั้นเฉพาะที่เราต้องการที่จะพิสูจน์สิ่งที่ชอบ: ปัญหาที่เกิดขึ้นเป็นเพียงใน$P$ IFF $NP \cap coNP = P$ , เช่นครบถ้วนผลเช่นทฤษฎีบทคุกสำหรับ 3SAT และ$NP$ P สำหรับ$NP$พิสูจน์ดังกล่าวในระดับสากลเกี่ยวข้องกับการลดเวลาพหุนาม (และแก้ไขข้อ จำกัด เพิ่มเติมที่คุณโปรดปรานข้อ จำกัด เพิ่มเติมเช่น Cook-Reduction, Karp-Reduction) เป็นผลให้ภายใต้เทคนิคการลดเวลาแบบพหุนามนั้นจะต้องเป็นกรณีที่มีการแสดงพหุนามเวลาที่เป็นที่รู้จักของชั้นเรียน สำหรับ$NP$เราสามารถใช้เครื่องจักรทัวริงไม่ใช่กำหนดว่าหยุดภายในพหุนาม$p(|x|)$จำนวนขั้นตอน ขณะที่เดวิดชี้ให้เห็นว่าเรามีการแสดงที่คล้ายกันสำหรับชั้นเรียนอื่น ๆ (ที่สถานะที่มีความชัดเจนมากขึ้น) เช่น$PSPACE$และ#P$P$

อย่างไรก็ตามความยากลำบากในการให้การเป็นตัวแทนที่คล้ายกันสำหรับ$NP \cap coNP$คืออะนาล็อก "ธรรมชาติ" ช่วยให้เราสามารถฝังปัญหาการหยุดชะงักในการเป็นตัวแทนและดังนั้นจึงไม่สามารถตัดสินใจได้ นั่นคือการพิจารณาความพยายามต่อไปเพื่อเป็นตัวแทนของ$NP \cap coNP$กับสองเครื่องทัวริงไม่ใช่กำหนดว่าต้นฉบับรู้ภาษาเสริม:

คำถาม: การไม่ทัวริงเครื่อง$M^*$หยุดกับการป้อนข้อมูล$x \in {0,1}^n$ ?

สร้างเครื่องจักรทัวริงเชิงเส้นสองเวลา$M_1$และ$M_2$ดังนี้ บนอินพุต$y$ , $M_1$จะอ่านอินพุตและยอมรับเสมอ $M_2$ปฏิเสธเสมอเว้นแต่$|y| \ge |x|$และ$M^*$ยอมรับ$x$ในขั้นตอน$\le |y|$.

ดังนั้น$M_1$และ$M_2$ยอมรับภาษาเสริมIFF $M^*$ไม่หยุดกับการป้อนข้อมูลx$x$ดังนั้นโดยการตัดสินใจว่าเครื่องทัวริงเวลาพหุนามสองภาษายอมรับภาษาที่สมบูรณ์ไม่สามารถตัดสินใจได้

ดังนั้นการแสดง "ธรรมชาติ" ของ$NP \cap coNP$ปัญหาไม่ได้เป็นพหุนามเวลาที่รู้จัก คำถามที่ยังคง: วิธีทำคุณเป็นตัวแทน$NP \cap coNP$ปัญหาดังกล่าวว่าพวกเขาเป็นพหุนามเวลาที่รู้จัก?

ยังไม่มีการทำงานอย่างมีนัยสำคัญที่ทำเกี่ยวกับเรื่องนี้ แต่ความละเอียดที่ประสบความสำเร็จเป็นสิ่งที่จำเป็นที่จะพิสูจน์ความสมบูรณ์ใน$NP \cap coNP$ P ดังนั้นฉันอ้างว่าการมีอยู่ของเทคนิคการพิสูจน์ที่สามารถแก้ไขความสมบูรณ์ของ$NP \cap coNP$จะเป็นเรื่องที่ใหญ่กว่าที่นี่ไม่ใช่ผล "อัตโนมัติ" ของ$NP \cap coNP$ - ปัญหาที่ไม่สมบูรณ์ ( เช่นคลาสที่ซับซ้อน, บางที, การยุบ) ที่เราได้รับรู้ถึงแล้ว (หรือมากกว่านั้น, จะได้รับการตระหนักถึง , สมมุติฐานในอนาคต)