มีปัญหาเกี่ยวกับการแก้ปัญหาเวลาที่คาดหวังของพหุนามครบหรือไม่?

24

มีปัญหาที่ทำให้ NP สมบูรณ์ซึ่งอัลกอริทึมนั้นทราบหรือไม่ว่าเวลาที่คาดว่าจะใช้คือพหุนาม

ถ้าไม่เป็นเช่นนั้นมีปัญหาในการสร้างอัลกอริธึมดังกล่าวหรือไม่?

หรือการมีอยู่ของอัลกอริทึมดังกล่าวบ่งบอกถึงการดำรงอยู่ของอัลกอริธึมเวลาพหุนามแบบกำหนดขึ้นได้หรือไม่?

cc.complexity-theory np-hardness

6

ฉันไม่ค่อยเข้าใจว่าคำถามคืออะไร คุณกำลังขอผลลัพธ์โดยเฉลี่ยสำหรับปัญหา NP-hard หรือคุณกำลังถามว่าเราสามารถแก้ปัญหา NP-hard ในเวลาเลวร้ายที่สุดในเวลาพหุนามที่คาดไว้ได้หรือไม่?

— Moritz

2

"เวลาทำงานที่คาดหวัง" หมายถึงอะไร คุณได้รับความคาดหวังจากการแจกแจงแบบสุ่มของอินพุต (ตามคำตอบส่วนใหญ่ดูเหมือนจะคิด) หรือการกระจายบิตสุ่มที่ใช้โดยอัลกอริทึม (ความหมายปกติสำหรับอัลกอริธึมแบบสุ่ม) หรือทั้งสองอย่าง?

— Jeffε

@Moritz: ฉันถามเกี่ยวกับผลลัพธ์โดยเฉลี่ยสำหรับปัญหา NP-hard การแก้ปัญหา NP-hard ในเวลาที่เลวร้ายที่สุดในเวลาพหุนามคาดว่าจะเป็นผลลัพธ์ที่ดีกว่าสำหรับฉันดังนั้นฉันจึงสนใจในผลลัพธ์ดังกล่าวเช่นกัน @JeffE ฉันกำลังพูดถึงเวลาที่คาดว่าจะมีการแจกจ่ายในบางกรณี หากอัลกอริธึมถูกสุ่มใครจะคาดหวังมากกว่าบิตสุ่มเช่นกัน แต่คำถามของฉันไม่ได้เกี่ยวกับอัลกอริทึมแบบสุ่มเป็นหลัก

— Steve Kroon

3

เทคนิคการขยายอย่างง่ายช่วยให้คุณสามารถสร้างสิ่งเหล่านี้จากปัญหาใด ๆ

สมมติว่าเป็นภาษาที่สมบูรณ์ซึ่งต้องใช้ $L$ $NP$ เวลาที่จะแก้ปัญหา จากนั้นให้เป็นแล้วจะแก้ไขดังนี้เส้นเวลาการตรวจสอบขั้นตอนวิธีการว่าสายป้อนมีจำนวนคู่ของตัวละครซึ่งเป็นครั้งแรกที่มี nหากไม่เป็นเช่นนั้นก็จะปฏิเสธ มิฉะนั้นมันจะแก้ปัญหา $O(2^{n})$ $K$

K = {1^{n} x | ‖ x ‖ = n และ x \in L}

$K=\{1^nx\ |\ \|x\|=n \text{ and }x\in L\}$

K

$K$

n

$n$

1^{n}

$1^n$

x \overset{?}{\in} L

$x\overset{?}{\in}L$ . หาก

ถูกสุ่มอย่างสม่ำเสมอเวลาที่คาดว่าจะแก้ปัญหา

คือ

y \in_{R} {0, 1}^{2 n}

$y\in_R \{0,1\}^{2n}$

y \overset{?}{\in} K

$y\overset{?}{\in}K$

\frac{1}{2^{2 n}} (2^{n} \cdot 2^{n} + (2^{2 n} - 2^{n}) O (n)) = 1 + (1 - \frac{1}{2^{n}}) O (n) \in O (n) .

$\frac{1}{2^{2n}}\big(2^n\cdot 2^n+(2^{2n}-2^n)O(n)\big) = 1+(1-\frac{1}{2^n})O(n)\in O(n).$

คือสมบูรณ์ การลดลงของคือ: $K$ $NP$ $L$

x \in {0, 1}^{n} \mapsto 1^{n} x

$x\in \{0,1\}^n \mapsto 1^nx$

— Lieuwe Vinkhuijzen
แหล่งที่มา

13

มีอัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับการค้นหารอบมิลโตเนียนบนกราฟสุ่มที่ประสบความสำเร็จ asymptotically กับความน่าจะเป็นเดียวกันกับที่วงจรมิลโตเนียนอยู่ แน่นอนว่าปัญหานี้เป็นปัญหาที่หนักหน่วงในกรณีที่เลวร้ายที่สุด

พวกเขายังแสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกซึ่งรับประกันเสมอเพื่อหาวงจร Hamiltonian ถ้ามีอยู่มีเวลาทำงานพหุนามคาดว่าถ้าการกระจายการป้อนข้อมูลเป็นแบบสุ่มทั่วทั้งชุดของกราฟจุดสุดยอดทั้งหมด $n$

การอ้างอิง: "อัลกอริทึมสำหรับการค้นหารอบแฮมิลตันในกราฟแบบสุ่ม"

Bollobas, Fenner, Frieze

http://portal.acm.org/citation.cfm?id=22145.22193

— แอรอนโรท
แหล่งที่มา

10

เกี่ยวกับคำถามสุดท้ายของคุณว่าการมีอยู่ของอัลกอริธึมที่ดีโดยเฉลี่ยจะบ่งบอกถึงการมีอัลกอริธึมที่แย่ที่สุดหรือไม่: นี่เป็นคำถามเปิดที่สำคัญซึ่งเป็นที่สนใจของ cryptographers เป็นพิเศษ การเข้ารหัสต้องใช้ปัญหาที่ยากโดยเฉลี่ย แต่ผู้อ่านรหัสลับต้องการสร้างสิ่งก่อสร้างบนสมมติฐานขั้นต่ำที่เป็นไปได้ดังนั้นจึงเป็นเรื่องที่น่าสนใจอย่างมากที่จะหาปัญหาที่ค่าความแข็งเฉลี่ยจะเท่ากับความแข็งของกรณีที่เลวร้ายที่สุด

ปัญหาขัดแตะหลายอย่างทราบกันดีว่ามีการลดลงกรณีแย่ที่สุดถึงปานกลาง ดูตัวอย่างการสร้างอินสแตนซ์ที่ยากของปัญหาขัดแตะโดย Ajtai และบทความสำรวจโดย Micciancio

— เอียน
แหล่งที่มา

9

$n$ $n$

อ้างอิง:

Alexander D. Scott และ Gregory B. Sorkin การแก้ปัญหาการสุ่มตัวอย่างของ Max Cut และ Max 2-CSP ในเวลาที่คาดว่าจะเกิดขึ้น หวี. Probab Comput., 15 (1-2): 281-315, 2006. พิมพ์ล่วงหน้า

— เสิร์จ Gaspers
แหล่งที่มา

2

ฉันไม่เห็นว่าคำสั่งของคุณตรงกับการอ้างสิทธิ์ในเอกสารอย่างไร กระดาษพูดคุยเกี่ยวกับการแก้ Max 2-CSP ถ้ากราฟต้นแบบเป็นกราฟแบบสุ่มในแบบจำลอง G (n, c / n) สำหรับบางค่าคงที่ c ซึ่งหมายความว่ามันเป็นกราฟบนจุดยอด n ที่แต่ละขอบเกิดขึ้นอย่างอิสระกับความน่าจะเป็น c / n ดังนั้นในความคาดหมายมี

edge (ข้อ จำกัด ) ในตัวอย่าง แต่ถ้าคุณทำการลดความแข็งของ NP เพื่อให้ได้อินสแตนซ์ที่ยากด้วย n จุดยอดและขอบ n การกระจายตัวของอินสแตนซ์จะไม่เป็นไปตาม

Θ (n)

$\Theta(n)$

G (n, c / n)

$G(n,c/n)$

@Bart: ฉันอาจเข้าใจผิดคำถาม ฉันอ้างว่า Max 2-CSP ที่มีจำนวนคำสั่งแบบเส้นตรงเป็น NP-hard แต่มีอัลกอริทึมที่มีเวลาเชิงเส้นที่คาดหวังในการแก้ปัญหานี้สำหรับอินสแตนซ์สุ่ม

— Serge Gaspers

โดยทั่วไปถ้าฉันเข้าใจข้อโต้แย้งของคุณอย่างถูกต้องคุณกำลังบอกว่า Max 2-CSP พร้อมกับการกระจาย G (n, c / n) เหนือกราฟพื้นฐานสามารถแก้ไขได้ในเวลาเชิงเส้นที่คาดหวัง ฉันเห็นด้วยกับ Bart ในเรื่องที่การกระจายนั้นดูเหมือนจะไม่ "สมเหตุสมผล" หรือ "เป็นธรรมชาติ" สำหรับฉัน แต่ฉันคิดว่ามันตอบคำถามของฉันอย่างเพียงพอ

— Steve Kroon

@Steve: ฉันเห็นด้วย

— Serge Gaspers

7

สิ่งนี้ไม่ได้ตอบคำถามของคุณอย่างสมบูรณ์ แต่สำหรับการสำรวจผลลัพธ์บนอินสแตนซ์แบบสุ่มของ 3-SAT คุณสามารถดูได้ที่: www.math.cmu.edu/~adf/research/rand-sat-algs.pdf

ปกติแล้วเป็นการยากที่จะกำหนดว่า "การกระจายสัญญาณที่สมเหตุสมผล" หมายถึงอะไร คุณสามารถไปที่ลิงค์นี้เพื่ออ่านข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในการสำรวจ "ความซับซ้อนเฉลี่ยเวลา" โดย Bogdanov และ Trevisan: http://arxiv.org/abs/cs/0606037

— Grigory Yaroslavtsev
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับลิงค์ น่าเสียดายที่ผลลัพธ์ของ "ความน่าจะเป็นสูง" ของกระดาษ 3-SAT นั้นยังไม่แข็งแกร่งพอ (เท่าที่ฉันเห็น) เพื่อยืนยันข้อความค้นหาของฉัน ฉันเห็นด้วย "การกระจายที่สมเหตุสมผล" สามารถมีขนดก ในนี้ฉันต้องการมันถ้าการกระจายไม่ได้ถูกเลือกอย่างชัดเจนเพื่อ "พื้นที่อินสแตนซ์ที่มีประสิทธิภาพ" ไม่เพียงลดปัญหาให้คนที่รู้จักใน P.

— Steve Kroon

5

"ระบายสีกราฟสุ่มในเวลาพหุนามที่คาดหวัง" โดย Amin Coja-Oghlan และ Anusch Taraz

$G \in G(n, p)$ $p < 1.01/n$ $O(√np)$

http://www.springerlink.com/content/87c17d4dacbrc0ma/

— Joel Rybicki
แหล่งที่มา