การวาดกราฟของจำนวนข้ามที่ถูก จำกัด

ทฤษฎีบทของFáryกล่าวว่ากราฟระนาบที่เรียบง่ายสามารถวาดได้โดยไม่มีจุดตัดเพื่อให้แต่ละขอบเป็นส่วนของเส้นตรง

คำถามของฉันคือว่ามีทฤษฎีบทแบบอะนาล็อกสำหรับกราฟของจำนวนข้ามที่มีขอบเขตหรือไม่ โดยเฉพาะเราสามารถพูดได้ว่ากราฟอย่างง่ายที่มีจำนวนข้าม k สามารถวาดเพื่อให้มีการข้าม k ในการวาดภาพและเพื่อให้แต่ละขอบเป็นเส้นโค้งของระดับที่มากที่สุด f (k) สำหรับฟังก์ชั่นบาง f?

แก้ไข: ตามที่เดวิดเอปสไตน์กล่าวไว้มันเห็นได้อย่างง่ายดายว่าทฤษฎีบทของFáryแสดงถึงการวาดภาพกราฟที่มีหมายเลขไขว้ที่ k เพื่อให้แต่ละขอบเป็นโซ่รูปหลายเหลี่ยมที่มีโค้งงอมากที่สุด ฉันยังสงสัยอยู่ว่าแต่ละขอบสามารถวาดด้วยเส้นโค้งองศาที่มีขอบเขตได้หรือไม่ เซียน - ชีห์ช้างชี้ให้เห็นว่า f (k) = 1 ถ้า k คือ 0, 1, 2, 3 และ f (k)> 1 มิฉะนั้น

หากกราฟมีการข้ามจำนวนมันสามารถวาดด้วยจำนวน crossings ในแบบจำลอง polyline (นั่นคือแต่ละขอบเป็นโซ่เหลี่ยมเหลี่ยมซึ่งเป็นเรื่องธรรมดามากในวรรณคดีการวาดกราฟกราฟมากกว่าเส้นโค้งพีชคณิตองศาองศา) กับจำนวนโค้งของขอบเขต ต่อขอบ มันเป็นความจริงมากขึ้นโดยทั่วไปหากมีจำนวนการข้ามต่อขอบ หากต้องการดูสิ่งนี้เพียงแค่วางแผนกราฟ (แทนที่จุดตัดแต่ละจุดด้วยจุดยอด) แล้วใช้Fáry

ทีนี้เพื่อใช้สิ่งนี้เพื่อตอบคำถามที่แท้จริงของคุณสิ่งที่คุณต้องทำก็คือหาเส้นโค้งพีชคณิตที่อยู่ใกล้กับรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ โดยพลการ สิ่งนี้สามารถทำได้ค่อนข้างง่าย ตัวอย่างเช่นสำหรับแต่ละเซ็กเมนต์ของเส้นให้เป็นวงรีที่มีความผิดปกติสูงที่อยู่ใกล้กับและให้เป็นพหุนามกำลังสองที่อยู่นอกบวกและภายในเชิงลบe_iให้พหุนามโดยรวมของคุณอยู่ในรูปแบบโดยที่เป็นจำนวนจริงบวกเล็กน้อย จากนั้นองค์ประกอบหนึ่งของเส้นโค้ง$s_i$$e_i$$s_i$$p_i$$e_i$$e_i$$p=\epsilon-\prod_i p_i$$\epsilon$$p=0$จะนอนอยู่นอกสหภาพจุดไข่ปลาเล็กน้อยและสามารถใช้แทนโพลีไลน์ ระดับของมันจะเป็นสองเท่าของจุดไข่ปลาซึ่งเป็นเส้นตรงในจำนวนการข้ามต่อขอบ

นี้เป็นที่รู้จักกันเป็นจำนวนข้ามเส้นตรง ซึ่งเป็นจำนวนขั้นต่ำของนํ้าหมู่ภาพวาดเส้นตรงเป็นไปได้ทั้งหมดของกราฟGเปรียบเทียบกับปกติจำนวนข้าม , หนึ่งจะเห็นว่า(G) และคำถามของคุณเป็นหลักเป็นเช่นเดียวกับถามว่าถ้าสำหรับบางคงk$\overline{\mathsf{cr}}(G)$$G$$\mathsf{cr}(G)$$\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq \mathsf{cr}(G)$$\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$$\mathsf{cr}(G) \leq k$$k$

ในขอบเขตกระดาษสำหรับการข้ามตัวเลขเป็นเส้นตรง Bienstock และ Dean ได้พิสูจน์ว่า

ทฤษฎีบท. ถ้าเรามี(G) และสำหรับมีกราฟกับและn$k \leq 3$$\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$$k \geq 4$$G_n$$\mathsf{cr}(G) = 4$$\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq n$

ดูการสำรวจหมายเลขข้ามโดย Richter และ Salazar สำหรับการอ้างอิง ดังนั้นหากมีตัวแปรของทฤษฎีบทFáryในกราฟที่มีตัวเลขที่ข้ามขอบเขตก็ควรถูก จำกัด ด้วย3$\mathsf{cr}(G) \leq 3$

สำหรับตัวอย่างเล็ก ๆ ที่มีให้พิจารณากราฟที่สมบูรณ์ใน 8 จุดยอด มันมีและ19$\overline{\mathsf{cr}}(G) \neq \mathsf{cr}(G)$$\mathsf{cr}(K_8) = 18$$\overline{\mathsf{cr}}(K_8) = 19$