การพิสูจน์ที่ได้รับผ่านทฤษฎีกราฟสเปกตรัมเท่านั้น

28

ฉันมีความสนใจที่เพิ่มขึ้นในทฤษฎีกราฟสเปกตรัมซึ่งฉันพบว่าน่าสนใจและฉันเริ่มรวบรวมเอกสารสองสามฉบับที่ฉันยังไม่ได้อ่านอย่างละเอียดมากกว่าสิ่งที่ฉันมี

อย่างไรก็ตามฉันอยากรู้เกี่ยวกับคำสั่งที่โผล่ขึ้นมาในหลาย ๆ แหล่ง (เช่นตรงนั้น ) ซึ่งกล่าวโดยสรุปว่าผลลัพธ์บางอย่างในทฤษฎีกราฟได้รับการพิสูจน์โดยใช้เทคนิคคลื่นความถี่เท่านั้นและจนถึงขณะนี้ไม่มีข้อพิสูจน์ว่า ข้ามเทคนิคเหล่านั้นเป็นที่รู้จักกัน

ถ้าฉันข้ามไปนั้นฉันจำไม่ได้ว่าเห็นตัวอย่างในวรรณคดีที่ฉันอ่านมา คุณรู้จักตัวอย่างของผลลัพธ์ดังกล่าวหรือไม่?

— Anthony Labarre
แหล่งที่มา

ชื่อของคำถามแสดงให้เห็นว่าคุณกำลังขอการพิสูจน์ที่หาได้โดยใช้ทฤษฎีกราฟสเปกตรัมเท่านั้น แต่คุณกำลังขอการพิสูจน์ที่ได้รับในตอนนี้เท่านั้นที่ได้รับจากทฤษฎีกราฟสเปกตรัม นี่เป็นคำถามสองข้อที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ดังนั้นชื่อจึงเป็นชื่อที่ทำให้เข้าใจผิดซึ่งเป็นเหตุผลที่ฉันเปลี่ยนมัน

— Dave Clarke

@Dave ฉันได้ย้อนกลับ

— Suresh Venkat

5

บทที่ 7 ของSpectra of GraphsโดยCvetković, Doob และ Sachs ให้ตัวอย่างมากมายของทฤษฎีบทซึ่งไม่ได้กล่าวถึง spectra อย่างชัดเจน แต่สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เทคนิคสเปกตรัม ฉันเดาว่าสิ่งเหล่านี้จำนวนมากไม่มีหลักฐานที่ไม่เป็นที่รู้จัก แต่คุณต้องตรวจสอบเรื่องนี้เป็นกรณี ๆ ไป แน่นอนในหลายกรณีหลักฐานที่ง่ายที่สุดหรือเป็นธรรมชาติที่สุดใช้สเปกตรัม

— Timothy Chow

@ Timothy Chow: ขอบคุณฉันจะพยายามจับมือฉันไว้

— Anthony Labarre

@ TimothyChow: คุณควรตอบคำถามนี้ฉันคิดว่า

— Suresh Venkat

12

ทฤษฎีบทฮอฟแมนซิงเกิล

— Colin McQuillan
แหล่งที่มา

Hoffman-Singleton เป็นความคิดแรกของฉันเช่นกัน แต่ฉันไม่รู้ว่ามีหลักฐานที่ไม่ใช่สเปคตรัมอยู่หรือไม่และถ้าพวกเขาไม่รู้ว่าเป็นเพราะมันยากเกินไปหรือไม่มีใครพยายาม หลักฐานมาตรฐานค่อนข้างเรียบร้อยและรัดกุมดังนั้นฉันจึงไม่รู้ว่าสิ่งใดที่แรงจูงใจที่จะได้รับการพิสูจน์ที่ไม่ใช่สเปคตรัม

— mhum

9

วิธีการเกี่ยวกับผลการคำนวณควอนตัมนี้

Mario Szegedy ควอนตัมเร่งความเร็วของอัลกอริธึมที่ใช้โซ่มาร์คอฟ ใน FOCS'04

เขาขยายโซ่มาร์คอฟไปยังโซ่มาร์คอฟควอนตัมและแสดงให้เห็นว่าเวลากดปุ่มควอนตัมถูก จำกัด บนโดยรากที่สองของเวลากดปุ่มคลาสสิก เขาทำสิ่งนี้โดยเกี่ยวข้องกับเวกเตอร์เอกพจน์ของห่วงโซ่มาร์คอฟคลาสสิคกับเวกเตอร์เอกพจน์ของห่วงโซ่มาร์คอฟควอนตัม ก่อนหน้าบทความนี้ไม่มีความสัมพันธ์ใด ๆ ที่รู้จักกันระหว่างการเดินสุ่มและควอนตัม ฉันไม่สามารถจินตนาการได้ว่าจะทำเช่นเดียวกันได้อย่างไรโดยใช้เทคนิคที่ไม่ใช่สเปกตรัม

— Marcos Villagra
แหล่งที่มา

8

ฉันคิดว่าทฤษฎีบทมิตรภาพ (ดูบทความของ Huneke ) เป็นตัวอย่างที่ดีแม้ว่าการพูดอย่างเคร่งครัดตอนนี้จะมีบทพิสูจน์ของทฤษฎีมิตรภาพที่หลีกเลี่ยงค่าลักษณะเฉพาะ หลักฐานที่หลีกเลี่ยงค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดนั้นมีความยุ่งเหยิงมากกว่าการพิสูจน์ด้วยสเปกตรัม

(ทฤษฎีมิตรภาพระบุว่าถ้าอยู่ในห้องของคนทุกคู่มีเพื่อนร่วมกันคนเดียวก็มีคนที่รู้จักคนอื่นทุกคน)

— ทิโมธีเชา
แหล่งที่มา

8

$L_G$ $G = (V,E,w)$ $G$ $H$ $x \in R^V$

x^{T} L_{H} x (1 - ϵ) \leq x^{T} L_{G} x \leq x^{T} L_{H} x (1 + ϵ) .

$x^T L_H x (1-\epsilon) \le x^T L_G x \le x^T L_H x (1+\epsilon).$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

แม้ว่าคำแถลงของทฤษฎีบทนั้นไม่ได้อธิบายอย่างถี่ถ้วน "ฉันไม่คิดว่ามันเป็นที่รู้กันว่าใครจะได้รับผลลัพธ์นี้หรือผลลัพธ์ที่ได้โดยไม่ต้องใช้เทคนิคสเปกตรัม

— Lev Reyzin
แหล่งที่มา

เป็นที่ถกเถียงกันอยู่เล็กน้อยว่าคำแถลงนั้นไม่ได้เกิดจากสเปคตรัมโดยธรรมชาติ ในความหมายตามตัวอักษรคุณพูดถูก แต่เหตุผลเดียวที่ฉันสามารถคิดได้ว่าทำไมรูปแบบสมการกำลังสองปรากฏขึ้นคือสเปคตรัม

— Suresh Venkat

1

F (A) = {x^{T} A x : | | x | |_{2} = 1}

$F(A) = \{x^TAx: ||x||_2 = 1\}$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

แน่นอน - แต่ใคร ๆ ก็สามารถจินตนาการได้ว่าจะได้รับตัวแยกสัญญาณเหล่านี้อีกทาง แต่ใช่นี่อาจไม่ใช่ตัวอย่างที่ดีที่สุด ...

— เลฟเรย์ซิน