ผู้ช่วยพิสูจน์สำหรับการเขียนคณิตศาสตร์

ฉันต้องการเขียนหลักฐานทางคณิตศาสตร์โดยใช้ผู้ช่วยพิสูจน์ ทุกอย่างจะถูกเขียนโดยใช้ตรรกะลำดับแรก (มีความเสมอภาค) และการหักตามธรรมชาติ พื้นหลังเป็นทฤษฎีเซต (ZF) ตัวอย่างเช่นฉันจะเขียนหลักฐานต่อไปนี้ได้อย่างไร

ความจริง: $\forall x\forall y(x=y\leftrightarrow\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y))$

ทฤษฎีบท: $\forall x\forall y(\forall z(z\notin x)\land\forall z(z\notin y)\rightarrow x=y)$

นั่นคือชุดที่ว่างเปล่าไม่ซ้ำกัน

มันเป็นเรื่องเล็กน้อยสำหรับฉันที่จะทำสิ่งนั้นให้สำเร็จโดยใช้กระดาษและปากกา แต่สิ่งที่ฉันต้องการจริงๆคือซอฟต์แวร์ที่ช่วยฉันตรวจสอบความถูกต้อง

ขอบคุณ.

ทั้ง Coq และ Isabelle สามารถทำได้

[Coq] นี่คือบทความที่กล่าวถึงวิธีการเข้ารหัส ZFC ใน CIC ซึ่งเป็นพื้นฐานของ Coq

Benjamin Werner: ชุดในประเภท, ประเภทเป็นเซต (1997) http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.55.1709

[Isabelle] มีห้องสมุดสำหรับ ZF

http://www.cl.cam.ac.uk/research/hvg/Isabelle/dist/library/ZF/index.html

ย้ายจากความคิดเห็นตามข้อเสนอแนะของ Kaveh

ก่อนอื่นคุณต้องเลือกผู้ช่วยพิสูจน์ Coqคือสิ่งที่ผมใช้ แต่มีหลายคนอื่น ๆ Coq อยู่บนพื้นฐานของตรรกะที่สูงกว่า (แคลคูลัสที่เรียกว่า Inductive Constructions) ผู้ช่วยพิสูจน์อื่น ๆ นั้นใช้ตรรกะอันดับแรกดังนั้นอาจเหมาะสมกับความต้องการของคุณมากขึ้น (modulo ความคิดเห็นด้านบน)

จากนั้นคุณต้องมุ่งมั่นที่จะเรียนรู้ผู้ช่วยพิสูจน์ เอกสารที่เชื่อมโยงเป็นบทช่วยสอนสำหรับการเริ่มต้นด้วย Coq การเป็นผู้เชี่ยวชาญ Coq ต้องใช้ความทุ่มเทและฝึกฝนเป็นเวลาหลายปี แต่ทฤษฎีบทง่าย ๆ สามารถพิสูจน์ได้ในช่วงบ่าย กุญแจสำคัญในการเรียนรู้ Coq หรือผู้ช่วยพิสูจน์อื่น ๆ คือการทำบทพิสูจน์เช่นที่อยู่ในเอกสารที่เชื่อมโยง เพียงอ่านกระดาษจะช่วยน้อยมากเพราะประสบการณ์ทั้งหมดของการโต้ตอบกับผู้ช่วยพิสูจน์ไม่สามารถถ่ายทอดได้ดีบนกระดาษ

ภายในสองสามวันคุณควรเข้ารหัสทฤษฎีบทอย่างง่ายเช่นทฤษฎีข้างต้นและพิสูจน์พวกเขา อย่าคาดหวังว่าเราจะทำสิ่งนี้เพื่อคุณ คุณจะไม่ได้เรียนรู้อะไรแบบนั้น

เมื่อคุณประสบความสำเร็จในการพิสูจน์ทฤษฎีบทเหล่านี้อย่าลังเลที่จะโพสต์คำตอบของคุณที่นี่และอาจแสดงความคิดเห็นเล็กน้อยเกี่ยวกับประสบการณ์ของคุณ

คุณพร้อมสำหรับความท้าทายหรือไม่?

มีบทความคณิตศาสตร์จำนวนมากที่เขียนโดยใช้ผู้ช่วยพิสูจน์ Mizar: http://mizar.org/fm/

เดฟคล๊าร์คแสดงให้เห็น Coq แต่จริงๆอิสซาเบลดูเหมือนความคิดที่ดีมากที่ได้เห็นมันมีห้องสมุดสำหรับการ ZF อิสซาเบลยังเป็นผู้ใหญ่มากและรวมถึงกลยุทธ์และส่วนขยายที่หลากหลาย

ฉันไม่ได้ใช้ Mizar เป็นการส่วนตัว แต่มันอาจจะดีเช่นกัน

ฉันจะเขียนหลักฐานต่อไปนี้ได้อย่างไร

ใน Isabelle / ZF คุณสามารถเขียนสิ่งนี้

theory csthquestion imports Main

begin

theorem empty_unique:
shows "\<forall> x.\<forall>y.(\<forall>z. (z\<notin>x)) \<and> (\<forall>z.(z\<notin>y)) \<longrightarrow> x=y"
    by auto

end

อย่างที่คุณเห็นอิสซาเบลพิสูจน์สิ่งนี้โดยอัตโนมัติ แน่นอนคุณสามารถเขียนหลักฐานที่มีรายละเอียดมากขึ้นถ้าคุณต้องการ

ทฤษฎีบทนี้เป็นตัวอย่างการทำงาน (ดูตัวอย่างที่ 11) ในบทช่วยสอนที่มาพร้อมกับซอฟต์แวร์ DC Proof 2.0 ของฉัน ดาวน์โหลดได้ฟรีที่เว็บไซต์ของฉันhttp://www.dcproof.com