ความซับซ้อนของการคำนวณรหัสฟรีของคำนำหน้าที่เหมาะสมคืออะไรเมื่อความถี่ใกล้เคียงกัน?

มันเป็นที่รู้จักกันดีว่ามีขั้นตอนวิธีการที่ดีที่สุดกรณีที่เลวร้ายที่สุดในการคำนวณรหัส Huffman ในเวลา$\theta(n\lg n)$ ) นี่คือการปรับปรุงในสองวิธีมุมฉาก:

1. รหัสฟรีที่ดีที่สุดสามารถคำนวณได้เร็วขึ้นหากชุดของความถี่ที่แตกต่างกันมีขนาดเล็ก (เช่นขนาด$\sigma$ ): จัดเรียงความถี่โดยใช้ [Munro and Spira, 1976] เพื่อใช้ประโยชน์จากค่าเล็ก ๆ ของ$\sigma$และคำนวณ Huffman ต้นไม้ในเวลาเชิงเส้นจากความถี่เรียง นี่เป็นวิธีแก้ปัญหาใน$O(n\lg\sigma)$

2. มีอัลกอริทึม$O(n 16^k)$ในการคำนวณรหัสที่เทียบเท่าโดยที่$k$คือจำนวนความยาว codewords ที่แตกต่างกัน [Belal และ Elmasry]

$O(n\min\{16^k,\lg\sigma\})$

เป็นผลมาจาก STACS 2006 ดูเหมือนจะผิด$O(nk)$ , Elmasry เผยแพร่บน arXiv ในปี 2010 (http://arxiv.org/abs/cs/0509015) รุ่นประกาศ -การดำเนินงานกับการป้อนข้อมูลและไม่ได้เรียงลำดับ - การดำเนินการบนอินพุตที่เรียงลำดับแล้ว$O(16^kn)$$O(9^k \log^{2k-1} n)$

1. ฉันเห็นการเปรียบเทียบกับความซับซ้อนของการคำนวณลำเรือนูนซึ่งอัลกอริธึมใน (เรียงลำดับตามขณะที่อัลกอริทึมสำหรับรหัส Huffman) และใน (ของขวัญ) การห่อ) ถูกแทนที่โดยเคิร์กแพททริกและอัลกอริทึมของ Seidel ใน (ต่อมาพิสูจน์แล้วว่าเป็นอินสแตนซ์ที่ดีที่สุดกับความซับซ้อนของรูปแบบ ) ในกรณีของรหัสฟรีรหัสนำหน้าเมื่อเทียบกับแสดงถึงความเป็นไปได้ของอัลกอริทึมที่มีความซับซ้อนหรือแม้แต่โดยที่คือจำนวน codewords ยาว$O(n\lg n)$$O(n\lg n)$$O(nh)$$O(n\lg h)$$O(nH(n_1,\ldots,n_k)$$O(n\lg n)$$O(nk)$$O(n\lg k)$$O(nH(n_1,\ldots,n_k)$$n_i$$i$ใช้การเปรียบเทียบขอบของตัวเรือนูนที่ครอบคลุมชี้ไปที่ความยาวของรหัสที่ครอบคลุมสัญลักษณ์$n_i$$n_i$

2. ตัวอย่างง่ายๆแสดงให้เห็นว่าการเรียงลำดับ (ปัดเศษ) ค่าลอการิทึมของความถี่ (ในเวลาเชิงเส้นในแบบจำลองคำคำแรม) ไม่ได้ให้รหัสที่ดีที่สุดฟรีในเวลาเชิงเส้น: $\theta(\lg n)$

   • สำหรับ ,และ$n=3$$f_1=1/2-\varepsilon$$f_2=f_3=1/4+\varepsilon$
   • $\lceil\lg f_i\rceil=2$ดังนั้นการเรียงลำดับไฟล์บันทึกจึงไม่เปลี่ยนลำดับ
   • แต่สองโค้ดจากสามต้นทุนบิตมากกว่าดีที่สุด$n/4$

3. อีกคำถามที่น่าสนใจคือการลดความซับซ้อนเมื่อมีขนาดใหญ่เช่นรหัสทั้งหมดมีความยาวแตกต่างกัน:$k$

   • เช่นเมื่อความถี่เป็นค่าบันทึกที่แตกต่างกันทั้งหมด ในกรณีนี้เราสามารถเรียงลำดับความถี่ในเวลาเชิงเส้นใน word RAM และคำนวณรหัส Huffman ในเวลาเชิงเส้น (เพราะการเรียงลำดับค่าบันทึกของพวกเขาเพียงพอที่จะเรียงลำดับค่า) ส่งผลให้เวลาเชิงเส้นโดยรวม ดีกว่าจากอัลกอริทึมจาก Belal และ Elmasry$k=n$$\theta(\lg n)$$n^2$

ใช้เวลาสองสามปี (ห้า!) แต่นี่เป็นคำตอบบางส่วนของคำถาม:

http://arxiv.org/abs/1602.00023

รหัสฟรีที่ดีที่สุดพร้อมการคัดแยกบางส่วนJérémy Barbay (ส่งมาวันที่ 29 มกราคม 2559)

เราอธิบายถึงอัลกอริทึมในการคำนวณรหัสฟรีที่ดีที่สุดสำหรับ n น้ำหนักเชิงบวกที่ยังไม่เรียงลำดับภายใน O (n (1 + lgα)) ⊆O (nlgn) โดยที่การสลับα∈ [1..n − 1] วัดปริมาณของ การเรียงลำดับที่ต้องการโดยการคำนวณ ความซับซ้อนเชิงเชิงเส้นนี้อยู่ในปัจจัยคงที่ของรูปแบบการคำนวณต้นไม้ตัดสินใจเชิงพีชคณิตที่ดีที่สุดในกรณีที่เลวร้ายที่สุดในทุกกรณีของขนาด n และการสลับα ผลลัพธ์ดังกล่าวปรับแต่งสถานะของความซับซ้อนของศิลปะของΘ (nlgn) ในกรณีที่เลวร้ายที่สุดในกรณีที่มีขนาด n ในแบบจำลองการคำนวณเดียวกันซึ่งเป็นจุดสังเกตในการบีบอัดและการเข้ารหัสตั้งแต่ปี 1952 โดยการรวมกันเท่านั้น รหัสฟรีจากน้ำหนักที่ถูกจัดเรียง (รู้จักกันตั้งแต่ปี 1976) โดยมีโครงสร้างข้อมูลที่เลื่อนออกไปเพื่อจัดเรียงชุดข้อมูลบางส่วนขึ้นอยู่กับแบบสอบถามบน (ที่รู้จักตั้งแต่ปี 1988)