LP การผ่อนคลายของชุดอิสระ

13

ฉันได้ลองการผ่อนคลาย LP ต่อไปนี้ของชุดอิสระสูงสุดแล้ว

max \sum_{i} x_{i}

$\max \sum_i x_i$

s.t. x_{i} + x_{j} \leq 1 \forall (i, j) \in E

$\text{s.t.}\ x_i+x_j\le 1\ \forall (i,j)\in E$

x_{i} \geq 0

$x_i\ge 0$

ฉันได้ $1/2$ สำหรับตัวแปรทุกตัวสำหรับกราฟลูกบาศก์สองส่วนที่ฉันได้ลอง

เป็นจริงสำหรับกราฟลูกบาศก์สองขั้วที่ไม่เชื่อมต่อทั้งหมดหรือไม่
มีการผ่อนคลาย LP ซึ่งทำงานได้ดีกว่าสำหรับกราฟดังกล่าวหรือไม่

อัปเดต 03/05 :

นี่คือผลลัพธ์ของการผ่อนคลาย LP ตามคำแนะนำของนาธาน

ฉันได้สรุปการทดลองที่นี่ น่าสนใจดูเหมือนว่าจะมีกราฟที่ไม่แยกสองส่วนซึ่งการผ่อนคลาย LP ที่ง่ายที่สุดนั้นค่อนข้างสมบูรณ์

graph-theory co.combinatorics linear-programming

— Yaroslav Bulatov
แหล่งที่มา

วิธีแก้ปัญหานั้นไม่ซ้ำกันอย่างแน่นอน ในกราฟลูกบาศก์สองฝ่ายคุณสามารถมีทางออกที่ดีที่สุดด้วยในส่วนหนึ่งและในอีกส่วนหนึ่ง

x_{i} = 1 / 2

$x_i = 1/2$

x_{i} = 1

$x_i = 1$

x_{i} = 0

$x_i = 0$

— Jukka Suomela

1

ขออภัยฉันพลาดส่วนสำคัญฉันพิจารณากราฟลูกบาศก์สองฝ่ายที่ไม่เกี่ยวข้องเท่านั้น กราฟลูกบาศก์สองส่วนทุกอันที่ฉันลองใช้มีวิธีแก้ปัญหาที่ครบถ้วน

— Yaroslav Bulatov

คุณต้องเพิ่ม "เชื่อมต่อ" หากคุณต้องการหลีกเลี่ยงโซลูชันที่ไม่ซ้ำกัน

— Jukka Suomela

2

(1) คุณลืมที่จะเขียนข้อ จำกัด nonnegativity (2) สำหรับกราฟสองส่วนค่าที่ดีที่สุดของการผ่อนคลาย LP นี้เท่ากับขนาดสูงสุดของชุดอิสระเสมอ นี้เป็นข้อพิสูจน์ได้ทันทีทฤษฎีบทของKönig

— Tsuyoshi Ito

2

@Yaroslav: คำถามด้าน: คุณจะวาดกราฟเหล่านี้ได้อย่างไร?

— ทิม

16

กราฟลูกบาศก์คิวบิทที่เชื่อมต่อแบบไม่ต่อเนื่องมีทางออกที่ดีที่สุดที่ไม่ซ้ำกัน ; ในกราฟลูกบาศก์สองฝ่ายคุณจะได้คำตอบที่ดีที่สุด $x_i = 1/2$

พิสูจน์:ในลูกบาศก์กราฟถ้าคุณรวมมากกว่าทุกจำกัดคุณมีและด้วยเหตุที่เหมาะสมเป็นอย่างมาก 2 $3n/2$ $x_i + x_j \le 1$ $\sum_i 3 x_i \le 3n/2$ $n/2$

โซลูชันสำหรับทุกคนที่เป็นไปได้เล็กน้อยและยังดีที่สุด $x_i = 1/2$ $i$

ในกราฟลูกบาศก์สองส่วนแต่ละส่วนมีครึ่งหนึ่งของโหนดและวิธีแก้ปัญหาในส่วนหนึ่งจึงเหมาะสมที่สุด $x_i = 1$

ทางออกที่ดีที่สุดใด ๆ ต้องแน่นนั่นคือเราจะต้องมีและด้วยเหตุนี้สำหรับแต่ละขอบ\} ดังนั้นถ้าคุณมีวงรอบคี่คุณต้องเลือกสำหรับแต่ละโหนดในรอบ แล้วถ้าเชื่อมต่อกราฟตัวเลือกนี้จะแพร่กระจายไปทุกที่ $\sum_i 3 x_i = 3n/2$ $x_i + x_j = 1$ $\{i,j\}$ $x_i = 1/2$

— Jukka Suomela
แหล่งที่มา

2

ตามที่ฉันเขียนไว้ในความคิดเห็นเกี่ยวกับคำถามคุณจะต้องมีความเป็นสองฝ่ายเท่านั้นที่จะพิสูจน์การมีอยู่ของโซลูชั่นที่เหมาะสมที่สุด (แต่สิ่งนี้ต้องการหลักฐานที่แตกต่างจากคุณ)

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: ใช่ทฤษฎีบทของKönigนั้นดีที่จะต้องคำนึงถึง ตัวอย่างเช่นพร้อมกับการสังเกตข้างต้นจะแสดงให้เห็นว่ากราฟสองฝ่ายใด ๆ ที่มี 1-factorisation (เช่นมันสามารถแบ่งพาร์ติชันในการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบสาม) แน่นอนว่านี่เป็นวิธีที่ "ผิด" ในการพิสูจน์ผลลัพธ์นี้ แต่ฉันคิดว่ามันแสดงให้เห็นถึงพลังของทฤษฎีบทของKönig - ถ้าคุณจำทฤษฎีบทของKönigได้ก็มีผลคลาสสิคในทฤษฎีกราฟที่คุณสามารถประดิษฐ์ใหม่ได้อย่างง่ายดาย .

— Jukka Suomela

12

LP นี้มีส่วนประกอบสำคัญครึ่งหนึ่งสำหรับกราฟทั้งหมดกล่าวคือมีวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุดซึ่งแต่ละตัวแปรอยู่ใน {0,1 / 2,1} มันตามมาจากทฤษฎีบทของ Nemhauser และ Trotter แน่นอนว่าข้อสรุปที่เหมือนกันของการผสานรวมครึ่งหนึ่งจะเป็นไปตามปัญหา LP ของปัญหาส่วนเติม (การครอบคลุมจุดสุดยอด) เมื่อกราฟเป็นสองฝ่ายการแก้ปัญหาคืออินทิกรัล มันตามมาจากทฤษฎีบทการตัดขั้นต่ำแบบแม็กซ์โฟลหรือทำงานร่วมกับการแก้ปัญหาจุดสุดยอดของ LP นี้ นอกจากนี้ขอบ 1/2 สร้างวงจรคี่

แน่นอน LP นี้ไม่ดีสำหรับการแก้ปัญหา IS การเพิ่มข้อ จำกัด ของ Clique หรือ SDPs เป็นวิธีที่ดีกว่ามาก

Vertex packings: คุณสมบัติโครงสร้างและอัลกอริธึม GL Nemhauser และ Trotter- Math โปรแกรม., 1975

— Mohit Singh
แหล่งที่มา

ดูที่ทฤษฎีบท 5.6 ของบทความนี้สำหรับอัลกอริธึมที่ง่ายมากที่มีประสิทธิภาพในการหาวิธีแก้ปัญหาแบบครึ่งหนึ่ง

— Jukka Suomela

LP ที่มีข้อ จำกัด ของ Clique สามารถแก้ไขกราฟได้มากกว่า 50% จากชุดด้านบน .... ฉันจะหาสูตร SDP ได้ที่ไหน

— Yaroslav Bulatov

7

วิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของ Sergiy Butenkoจากปีพ. ศ. 2546 แสดงความคิดเห็นการผ่อนคลาย LP อื่น ๆ ของ MIS รวมถึงการผ่อนคลายที่มีกำลังสอง

— Suresh Venkat
แหล่งที่มา

6

มีวิธีอื่นในการรับ "เวอร์ชันอิสระของชุดสูงสุดที่ผ่อนคลาย" แทนที่จะมีข้อ จำกัด "สำหรับแต่ละขอบผลรวมจะมากที่สุด 1" ข้อ จำกัด คือ "สำหรับแต่ละกราฟย่อยที่สมบูรณ์แล้วขอบจะมีค่าสูงสุด 1" ซึ่งหมายความว่า: สำหรับแต่ละขอบสำหรับแต่ละสามเหลี่ยมสำหรับแต่ละและอื่น ๆ $K_4$

สิ่งนี้เรียกว่าหมายเลขชุดอิสระแบบเศษส่วน คุณจะพบข้อมูลบางอย่างที่นั่น: http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_coloring หรือในหนังสือ "ทฤษฎีกราฟเศษส่วน" จาก Daniel Ullman และ Edward Scheinerman ( http://www.ams.jhu.edu/~ers) / fgt / )

ในทางปฏิบัติสูตรนี้เป็น NP-Hard ในการคำนวณถึงแม้ว่าตัวแปรทั้งหมดจะต่อเนื่อง -> จำนวนของ cliques นั้นเป็นเลขชี้กำลังและยากที่จะคำนวณ .... แต่คุณมีอิสระที่จะระบุ cliques พิเศษบางตัวเท่านั้นเช่น ขอบ (ซึ่งคุณก็ไม่ได้) หรือขอบ + รูปสามเหลี่ยมหรือชมรมทั้งหมดถึงK_kท้ายที่สุดค่าสามารถกลายเป็น "ตัวแทนมากขึ้น" ของมูลค่าจำนวนเต็มจริง (*) :-) $K_k$

Nathann

(*) สิ่งนี้ถูกกล่าวว่าในทางทฤษฎีแล้วคุณมีความแตกต่างกันอย่างมากระหว่างผลลัพธ์ที่ดีที่สุดใน LP ที่มีการแสดงชุดของเก่าทั้งหมดและชุดอิสระที่ดีที่สุด

— Nathann Cohen
แหล่งที่มา

1

ปัญหาอย่างหนึ่งของวิธีนี้คือถ้าคุณมีกราฟที่ไม่มีสามเหลี่ยมสองส่วนคือลูกบาศก์(และมีจำนวนมาก ... ) การกำหนดจะเท่ากับในคำถามนั้นและเรามีเหมือนกันทั้งหมด ข่าวร้าย. โดยทั่วไปฉันคิดว่าเราสามารถสร้างกราฟที่โหนดทั้งหมดอยู่ใน -clique และไม่มี -clique และแสดงให้เห็นว่าสำหรับทั้งหมดเป็นทางออกที่ดีที่สุดที่ไม่ซ้ำกันของ แผ่นเสียง

k

$k$

(k + 1)

$(k+1)$

x_{i} = 1 / k

$x_i = 1/k$

i

$i$

— Jukka Suomela

ที่น่าสนใจนี้น่าจะเกี่ยวข้องกับความง่ายของชุดอิสระในกราฟคอร์ด

— Yaroslav Bulatov

ฉันทำการทดลองบางอย่างและวิธีแก้ปัญหาของการผ่อนคลาย LP นี้เป็นส่วนสำคัญในกราฟคอร์ดเสมอ

— Yaroslav Bulatov

1

@YaroslavBulatov มีเหตุผลสำหรับการสังเกตของคุณ ความไม่เท่าเทียมกันของกลุ่มและขอบเขต nonnegativity ให้ฮัลล์นูนของชุดอิสระหากและถ้าหากกราฟที่สมบูรณ์แบบ กราฟ Chordal นั้นสมบูรณ์แบบ

— ออสตินบูคานัน