ค้นหาลูกบาศก์ที่ใหญ่ที่สุดที่มีอยู่ในสหภาพของลูกบาศก์

ฉันมีลูกบาศก์จำนวนมากในพื้นที่ 3 มิติแต่ละจุดมีจุดเริ่มต้นที่ (x, y, z) และมีขนาด (Lx, Ly, Lz) ฉันสงสัยว่าจะหาลูกบาศก์ที่ใหญ่ที่สุดในพื้นที่ 3 มิตินี้ที่อยู่ในสหภาพของลูกบาศก์ได้อย่างไร มีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับสิ่งนี้หรือไม่?

เช่นถ้าฉันมีลูกบาศก์ต่อไปนี้:

• หนึ่งลูกบาศก์เริ่มต้นที่ (0,0,0) ขนาด (10,10,10)
• ทรงลูกบาศก์ที่ (10,0,0) ที่มีขนาด (12,13,15)
• รูปทรงลูกบาศก์ที่ (0,10,0) ขนาด (10,10,10)
• รูปทรงลูกบาศก์ที่ (0,0,10) ขนาด (10,10,10) และ
• ทรงลูกบาศก์ที่ (10,10,10) ที่มีขนาด (9,9,9)

จากนั้นก้อนที่ใหญ่ที่สุดที่อยู่ในสหภาพของลูกบาศก์เหล่านี้จะเป็นลูกบาศก์เริ่มต้นที่ (0,0,0) ที่มีขนาด (19,19,19)

คำถามทั่วไปมากกว่านี้:

รับชุดของกล่องใน ให้หาไฮเปอร์คิวบ์ที่ใหญ่ที่สุดที่อยู่ในกล่องสี่เหลี่ยมR$n$$\mathbb{R}^d$

ทีนี้นี่คือคำตอบที่โง่ลองครั้งแรก ... ใช้ระนาบผ่านกล่องสี่เหลี่ยมแต่ละหน้า แบบฟอร์มนี้ตารางขนาด ) ไม่ยากที่จะคำนวณสำหรับแต่ละกริดเซลล์ดังกล่าวไม่ว่าจะอยู่ภายในสหภาพหรือภายนอก ตอนนี้จากจุดยอดของกริดแต่ละจุดให้เพิ่มคิวบ์ (ให้จุดยอดนี้เป็นจุดยอด) พยายามทำให้มันมีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่จะทำได้ การทำอย่างไร้เดียงสาที่สุดใช้เวลาO ( n 3บันทึกn )ต่อจุดสุดยอด แต่อาจใช้เวทมนตร์ค้นหาช่วงมุมฉากใครจะสามารถทำได้ในบันทึกO ( 1 ) nต่อจุดยอด ดังนั้นO ( n $O(n^3)$$O(n^3 \log n)$$\log^{O(1)} n$ควรเป็นไปได้ ...$O(n^3 \log^{O(1)} n )$

ลองครั้งที่สอง: คำนวณยูเนี่ยน ในกรณีเฉพาะนี้สามารถทำได้ในเวลา (โดยการกวาดเครื่องบิน) ตอนนี้สังเกตได้ว่าคุณเพียงแค่ต้องคำนวณL ∞ Voronoi ไดอะแกรมของขอบเขตของสหภาพ โดยใช้ผล: http://vw.stanford.edu/~vladlen/publications/vor-polyhedral.pdfนี้สามารถทำได้ในO ( n 2 + ε )เวลาการคงขนาดเล็กโดยพลε > 0$O( n \log n)$$L_\infty$$O(n^{2+\varepsilon})$$\varepsilon > 0$

$O(n^2)$

$R^d$$d$$<0$$>0$$1 \times 1 \times 1 \times n \times n \times n ... \times n$ hypercuboid

$2 \times 2 \times ... \times 2$$1 \times 1 \times ... \times 1$