ปิดภายใต้ผลรวม Minkowski

ผลรวมของ Minkowski ของเวกเตอร์สองชุดมอบให้โดย $A, B \in R^d$

A \oplus B = {a + b ∣ a \in A, b \in B}

$A \oplus B = \{ a + b \mid a \in A, b \in B \}$

ฉันเพิ่งได้ยินปัญหาที่น่าสนใจ (มาจาก Dan Halperin): จากรูปร่างมีรูปร่างที่หรือไม่? $B$ $A$ $A \oplus A = B$

แต่นั่นไม่ใช่คำถามของฉัน (ดูเหมือนจะเป็นปัญหาเปิด) สังเกตว่าในปัญหาข้างต้นถ้าเป็นเซตนูนแสดงว่ามีวิธีแก้ปัญหาเนื่องจากเซตนูนถูกปิดภายใต้การรับผลรวมของ Minkowski $B$ $A = (1/2)B$

แก้ไขระดับของรูปร่างS} เราบอกว่าถูกปิดภายใต้ผลรวมของ Minkowski หากใด ๆ ${\cal S}$ ${\cal S}$ $A, B \in {\cal S}, A \oplus B \in {\cal S}$

ดังนั้นคำถามของฉันคือ:

มีลักษณะที่ดีของคลาสของรูปร่างที่ปิดภายใต้ผลรวมของ Minkowski หรือไม่? ${\cal S}$

cg.comp-geom

— Suresh Venkat
แหล่งที่มา

Jukka: ฉันอัพเดตคำถาม

— Suresh Venkat

ฉันอ่านการแก้ไข 2 (1) ฉันล้มเหลวที่จะดูว่า "ชุดนูนถูกปิดภายใต้การรับผลรวมของ Minkowski" เป็นเหตุผลสำหรับ "มีทางออก A = (1/2) B" (แม้ว่าข้อเท็จจริงทั้งสองจะชัดเจน) (2) ฉันสงสัยว่ามีคุณลักษณะที่เทียบเท่ากันมากกว่า“ ปิดภายใต้ผลรวมของ Minkowski”

— Tsuyoshi Ito

เป็นความจริงที่ไม่มีนัยยะโดยตรง แต่หลักฐานใช้ความจริงที่ว่าผลรวมของเซตนูนสองชุดนั้นเป็นแบบนูน ฉันสามารถ reword ที่จะพูดว่า "ยังทราบว่า .. " แทน "ตั้งแต่" ...

— Suresh Venkat

ฉันไม่คิดว่าเราใช้ความจริงที่ว่าผลรวมของ Minkowski ของเซตนูนสองอันนั้นเป็นข้อพิสูจน์เมื่อพิสูจน์ (B / 2) ⊕ (B / 2) = B สำหรับเซตนูน B การกักกัน (B / 2) ⊕ (B / 2) ⊇Bไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับนูน การบรรจุ (B / 2) ⊕ (B / 2) ⊆Bตามจากข้อเท็จจริงที่ว่า B คือนูน: สำหรับ x ใด ๆ , y∈B, (x / 2) + (y / 2) ∈Bเนื่องจากความนูนของ B.

— Tsuyoshi Ito

@ โยชิโอะ: เป็นไปได้ คำถามนี้อาจเกี่ยวข้องกับงาน 'sumset' ในกลุ่มทั่วไปเช่นกัน

— Suresh Venkat

Lattices และ subspaces เชิงเส้นจะปิดภายใต้ผลรวม Minkowski นั่นมากขึ้นหรือน้อยลงทันทีจากคำจำกัดความของพวกเขา Lattices + subspaces เชิงเส้นถูกปิดภายใต้ผลรวม Minkowski (เช่นสมาชิกของชุดนี้เป็นตัวอย่างของชุดของเส้นคู่ขนานในระยะที่ 1 จากกันและกัน) รูปหลายเหลี่ยมที่เชื่อมต่อกับหลุมถูกปิดภายใต้ผลรวมของ Minkowski ริง [ความแตกต่างที่ตั้งไว้ของดิสก์ศูนย์กลางสองตัว] จะปิดภายใต้ผลรวมของ Minkowski (ดิสก์นั้นถือเป็นแหวนโดยธรรมชาติ) ชุดของส่วนของเส้นตรงขนานกับทิศทางที่แน่นอนถูกปิดภายใต้ผลรวมของ Minkowski มันฝรั่งข้าวต้มปิดภายใต้ผลรวม Minkowski แต่ถ้าพวกเขาจะสุกดี (หรืออาจจะไม่ก็สายเกินไป) ...

นอกจากนี้ครอบครัวของกลุ่มสหภาพที่มีขอบเขต จำกัด ถูกปิดภายใต้ผลรวมของ Minkowski

— Sariel Har-Peled
แหล่งที่มา