Curry-Howard และโปรแกรมจากบทพิสูจน์ที่ไม่สร้างสรรค์

นี่เป็นคำถามติดตาม

อะไรคือข้อแตกต่างระหว่างการพิสูจน์และโปรแกรม (หรือระหว่างข้อเสนอและประเภท)?

โปรแกรมอะไรจะสอดคล้องกับการที่ไม่สร้างสรรค์ (คลาสสิก) หลักฐานของแบบฟอร์ม$\forall k \ T(e,k) \lor \lnot \forall k \ T(e,k)$ ? (สมมติว่า$T$เป็นความสัมพันธ์ที่สามารถตัดสินใจได้ที่น่าสนใจเช่น$e$ th TM ไม่หยุดในขั้นตอน$k$ )

(ps: ฉันกำลังโพสต์คำถามนี้ส่วนหนึ่งเพราะฉันสนใจที่จะเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับความหมายของ Neel โดย " การแปล Godel-Gentzenเป็นการเปลี่ยนแปลงที่ต่อเนื่อง" ในความคิดเห็นของเขา )

$e$$\forall k T(e, k)$

เพื่อความง่ายพิจารณาทฤษฎีบทคลาสสิกที่เทียบเท่า

$\exists i \forall j (\neg T(e, j) \to \neg T(e, i))$

$i$$\forall k T(e, k)$$\neg T(e, i)$$\neg T(e, i)$$\exists i \neg T(e, i)$$\neg \forall i T(e, i)$$\neg T(e, i)$$\forall j (\neg T(e, j) \to \bot)$$\forall j T(e, j)$

$i$$e$

$\forall f \exists i' (\neg T(e, f(i')) \to \neg T(e, i'))$

$f$$j$$i$$i' = i$$i$

$\forall i \exists j \neg (\neg T(e, j) \to \neg T(e, i))$

$f'$

$\forall i \neg (\neg T(e, f'(i)) \to \neg T(e, i))$

$f = f'$$(\neg T(e, f'(i')) \to \neg T(e, i'))$$i'$$i = i'$

$i' = f(0)$$T(e, f(0))$$i' = 0$$T(e, f(0))$$\neg T(e, f(0))$

ดังนั้นวิธีการตีความทฤษฎีบทคลาสสิกเช่น (1) คือการดูสูตรที่เท่าเทียมกัน (คลาสสิก) ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ในเชิงสร้างสรรค์ในกรณีของเรา (2)

$f$$f$$i$$f$$i$

อีกจุดสำคัญคือคุณต้องการให้ข้อความจาก (1) ถึง (2) เป็น "แบบแยกส่วน" คือถ้า (1) ใช้เพื่อพิสูจน์ (1 ') จากนั้นจึงใช้การตีความ (2) ในลักษณะเดียวกัน เพื่อพิสูจน์การตีความของ (1 ') ให้พูด (2') การตีความทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้นทำเช่นนั้นรวมถึงการแปล Goedel-Gentzen

มันค่อนข้างเป็นที่รู้จักกันดีว่าการคำนวณทางคณิตศาสตร์แบบคลาสสิกและแบบอสมการมีความเท่าเทียมกัน

$\phi$

$$\begin{array}{lcl} G(\top) & = & \lnot\lnot\top \\ G(\phi \land \psi) & = & \lnot\lnot(G(\phi) \land G(\psi)) \\ G(\bot) & = & \lnot\top \\ G(\lnot\phi) & = & \lnot G(\phi) \\ G(\phi \vee \psi) & = & \lnot(\lnot G(\phi) \land \lnot G(\psi)) \\ G(\forall x.\;\phi) & = & \forall x.\; \lnot\lnot G(\phi) \\ G(\exists x.\;\phi) & = & \lnot \forall x.\; \lnot(G(\phi)) \\ G(P) & = & \lnot\lnot P \\ \end{array}$$

$G(\phi)$

$G(\phi)$$\phi$

$\forall, \implies, \land, \lnot$

$$\newcommand{\bnfalt}{\;\;|\;\;} \begin{array}{lcl} A,B & ::= & \forall x.\;A(x) \bnfalt A \implies B \bnfalt A \land B \bnfalt \lnot A \bnfalt \lnot\lnot P \end{array}$$

และจากนั้นเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นบทแทรก (โดยการเหนี่ยวนำใน ) ที่นั้นเป็นไปได้โดยสัญชาตญาณ ดังนั้นตอนนี้เราสามารถแสดงความสามารถในการสร้างความสมดุลของสูตรลบโดยทำการเหนี่ยวนำผ่านโครงสร้างของการพิสูจน์ (ใน, พูด, แคลคูลัสตามลำดับ) และใช้บทแทรกก่อนหน้าเพื่อจำลองกฎของตรงกลางที่แยกออก$A$$G(A) \implies A$

คุณคิดอย่างไรเกี่ยวกับสิ่งนี้อย่างสังหรณ์ใจ?

• ก่อนมุมมองหลักฐานทางทฤษฎี หากคุณดูที่กฎของแคลคูลัสที่ตามลำดับคุณจะเห็นว่าตรรกะคลาสสิกและปรีชาญาณที่แตกต่างกันอย่างจริงจังก็คือกฎสำหรับการแยกและการดำรงอยู่ ดังนั้นเราจึงใช้ข้อเท็จจริงนี้เพื่อแสดงให้เห็นว่าการพิสูจน์ในตรรกะหนึ่งของสูตรเหล่านี้สามารถแปลเป็นบทพิสูจน์ในอีกอันหนึ่งได้ นี้แสดงให้เห็นถึงวิธีการคิดของตรรกะที่สร้างสรรค์ในฐานะที่เป็นส่วนขยายของตรรกะคลาสสิกกับสอง connectives ใหม่และ\สิ่งที่เราเรียกว่า "การดำรงอยู่แบบคลาสสิก" และ "การแตกคลาสสิก" เป็นเพียงตัวย่อที่เกี่ยวข้องกับ , , and negation และเพื่อที่จะพูดคุยเกี่ยวกับการดำรงอยู่จริงที่เราต้องการเพื่อเชื่อมต่อใหม่$\exists$$\vee$$\forall$

• ประการที่สองมีมุมมองเชิงทอพอโลยี ตอนนี้แบบจำลองของตรรกะคลาสสิก (เป็นครอบครัวของชุด) เป็นพีชคณิตแบบบูล (เช่นครอบครัวของชุดย่อยปิดภายใต้สหภาพพลการแยกและเติมเต็ม) ปรากฎว่าแบบจำลองของตรรกะ intuitionsitic เป็นพื้นที่ทอพอโลยีกับข้อเสนอที่ถูกตีความว่าเป็นชุดเปิด การตีความหมายของการปฏิเสธคือการตกแต่งภายในของส่วนประกอบและจากนั้นมันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าซึ่งหมายความว่าการปฏิเสธสองครั้งส่งเราไปสู่ ​​clopen ที่เล็กที่สุดซึ่งเปิดแต่ละ --- และ clopens เป็นพีชคณิตแบบบูล$\lnot\lnot\lnot P = \lnot P$

ตอนนี้ต้องขอบคุณ Curry-Howard เรารู้วิธีตีความข้อพิสูจน์ในตรรกะเชิงปรีชาญาณว่าเป็นโปรแกรมที่ใช้งานได้ ดังนั้นคำตอบเดียวที่เป็นไปได้ (แต่ไม่ใช่คำตอบเดียว) สำหรับคำถามที่ว่า "อะไรคือเนื้อหาเชิงสร้างสรรค์ของการพิสูจน์แบบดั้งเดิม" คือต่อไปนี้:

เนื้อหาการคำนวณของการพิสูจน์แบบดั้งเดิมคือสิ่งที่เนื้อหาการคำนวณของการแปลของการพิสูจน์ของมัน (ตามการแปลเชิงลบ) คือ

ดังนั้นขอให้ดูที่การแปลของ(A)) ดังนั้นสิ่งนี้จึงบอกว่าเนื้อหาที่สร้างสรรค์ของตรงกลางที่ถูกแยกออกนั้นเหมือนกับที่บอกว่าไม่ใช่ในกรณีที่และ hold - นั่นคือไม่ใช่การควบคุม ดังนั้นในแง่นี้ไม่มีเนื้อหาการคำนวณตามกฎหมายของคนกลางที่ได้รับการยกเว้น$G(A \vee \lnot A) = \lnot(\lnot G(A) \land \lnot\lnot G(A))$$\lnot P$$\lnot\lnot P$

หากต้องการดูว่ามันคืออะไรเป็นรูปธรรมเรียกว่าสร้างสรรค์ปฏิเสธถูกกำหนดให้เป็น\ ดังนั้นสูตรนี้เป็น\ รหัส Ocaml บิตต่อไปนี้จะอธิบาย:$\lnot A == A \implies \bot$$((G(A) \implies \bot) \land ((G(A) \implies \bot) \implies \bot)) \implies \bot$

type bot = Void of bot
type 'a not = 'a -> bot

let excluded_middle : ('a not * 'a not not) not = fun (u, k) -> k u 

นั่นคือถ้าคุณไม่ได้ A และไม่ใช่ A คุณก็สามารถผ่านการคัดค้านครั้งแรกไปยังวินาทีเพื่อรับความขัดแย้งที่คุณต้องการ

ทีนี้การแปลงรูปแบบผ่านคืออะไร?

• ความต่อเนื่องของ typeคือสิ่งที่รับค่าของ typeและคำนวณคำตอบสุดท้ายจากมัน$\tau$$\tau$
• ใช้การต่อเนื่องเพื่อจำลองบริบทของโปรแกรม นั่นคือเราอาจจะมีระยะที่การประเมินเป็นส่วนหนึ่งของโปรแกรมมีขนาดใหญ่มาก5] ทุกสิ่งที่อยู่รอบ ๆ มันจะเป็นผลมาจากการคำนวณและคำนวณคำตอบสุดท้าย$3+5$$C[3+5]$$3 + 5$
• ดังนั้นคุณสามารถนึกถึงความต่อเนื่องของ typeเป็นฟังก์ชั่นโดยที่เป็นประเภทของคำตอบ$\tau$$\tau \to \alpha$$\alpha$
• ดังนั้นหากคุณมีโปรแกรมประเภทเราสามารถ "แปลง CPS" ได้โดยการหาคำศัพท์ประเภทซึ่งจะจบลงด้วยสิ่งใดก็ตามที่คำนวณไป ความต่อเนื่องของมัน (โดยทั่วไปจะทำให้การควบคุมโฟลว์ชัดเจน)$e$$\tau$$(\tau \to \alpha) \to \alpha$$e$
• แต่เราต้องทำสิ่งนี้ทางพันธุกรรมเพื่อให้ทุกส่วนย่อยของโปรแกรมได้ทำให้ความต่อเนื่องของมันชัดเจน

ตอนนี้

• การแปลเชิงลบพื้น hereditarily ส่งจะ\$\phi$$\lnot\lnot\phi$
• อย่างไรก็ตามในขณะที่การแปลของเราใช้การปฏิเสธมันไม่เคยกำจัดข้อเสนอที่ผิดพลาด - ดังนั้นการแปลจึงทำงานเป็นพารามิเตอร์ในข้อเสนอนั้น
• โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราสามารถแทนที่ที่มีประเภทคำตอบใด ๆ\$\bot$$\alpha$
• ดังนั้นเราจึง hereditarily แทนที่ด้วย\$\phi$$(\phi \to \alpha) \to \alpha$
• นี่คือการแปลง CPS

ฉันเห็นการแปลง "A" เป็น CPS เนื่องจากที่ฉันได้กล่าวไปแล้วมีการแปลเชิงลบมากมายที่ให้คุณพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้ ในแง่การดำเนินงานในแต่ละการเปลี่ยนแปลงสอดคล้องกับการที่แตกต่างกันเพื่อการประเมินผล ดังนั้นจึงไม่มีการตีความเชิงตรรกะที่เป็นเอกลักษณ์ของตรรกะคลาสสิกเนื่องจากคุณมีตัวเลือกให้เลือกและตัวเลือกที่ต่างกันมีลักษณะการดำเนินงานที่แตกต่างกันมาก

มีการประชุมทั้งหมดในเรื่องของการพิสูจน์ที่ไม่สร้างสรรค์ในฐานะโปรแกรมและฉันไม่เชี่ยวชาญในเรื่องนี้ ข้างต้นนีลกฤษณะวามีพูดถึงอีกต่อไปว่าเขากำลังเตรียมตัวอยู่ซึ่งการตัดสินจากการทำงานที่นี่จะยอดเยี่ยม นี่เป็นเพียงรสชาติของคำตอบ

มันกลับกลายเป็นประเภทของการโทรกับกระแสต่อเนื่องที่สอดคล้องกับข้อเสนอที่เรียกว่ากฎหมายของเพียรซซึ่งสามารถนำมาใช้เพื่อพิสูจน์กฎของการยกเว้นกลาง ( ) สามารถเขียนโปรแกรม LEM โดยใช้ callcc ใน Coq:$\forall P, P \lor \lnot P$

Set Implicit Arguments.

Axiom callcc : forall (A B : Set), ((A -> B) -> A) -> A.

Lemma lem : forall (A B:Set), sum A (A -> B).
Proof.
  intros.
  eapply callcc.
  intros H.
  right.
  intros.
  apply H.
  left.
  assumption.
Defined.

Recursive Extraction lem.

ให้รหัส O'Caml:

type ('a, 'b) sum =
  | Inl of 'a
  | Inr of 'b

(** val callcc : (('a1 -> 'a2) -> 'a1) -> 'a1 **)

let callcc =
  failwith "AXIOM TO BE REALIZED"

(** val lem : ('a1, 'a1 -> no) sum **)

let lem =
    callcc (fun h -> Inr (fun h0 -> h (Inl h0)))

แนะนำสะอาดนี้ฉันได้เห็นอยู่ในทิมกริฟฟิ"เป็นสูตรตามประเภทความคิดของการควบคุม"