วิธีที่มีประสิทธิภาพที่สุดในการสร้างการเปลี่ยนรูปแบบสุ่มจากการแลกเปลี่ยนความน่าจะเป็นคืออะไร

48

คำถามที่ฉันสนใจนั้นเกี่ยวข้องกับการสร้างพีชคณิตแบบสุ่ม เมื่อพิจารณาถึงความน่าจะเป็นในการสร้างบล็อคพื้นฐานแบบคู่ตึกวิธีที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดในการสร้างการเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่มขององค์ประกอบคืออะไร? นี่ฉันจะใช้ "ความน่าจะเป็นประตูการแลกเปลี่ยนคู่" ที่จะดำเนินการซึ่งดำเนินประตูแลกเปลี่ยนระหว่างองค์ประกอบได้รับการแต่งตั้งและมีบางส่วนน่าจะเป็นซึ่งสามารถเลือกได้อย่างอิสระสำหรับแต่ละประตูและเอกลักษณ์เป็นอย่างอื่น $n$ $i$ $j$ $p$

ฉันรู้ว่านี่ไม่ใช่วิธีที่สร้างการเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่มซึ่งโดยปกติคน ๆ หนึ่งอาจใช้สิ่งที่คล้ายกับสับเปลี่ยน Fisher-Yates แต่สิ่งนี้จะไม่ทำงานสำหรับแอปพลิเคชันที่ฉันมีอยู่ในใจเนื่องจากการดำเนินการที่อนุญาตแตกต่างกัน

เห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้สามารถทำได้คำถามคือวิธีที่มีประสิทธิภาพ จำนวนการแลกเปลี่ยนความน่าจะเป็นที่น้อยที่สุดที่จำเป็นเพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้คืออะไร?

UPDATE:

Anthony Leverrier แสดงวิธีการด้านล่างซึ่งทำให้เกิดการแจกจ่ายที่ถูกต้องโดยใช้ประตูโดย Tsuyoshi Ito ให้วิธีการอื่นที่มีขนาดเท่ากัน แต่ที่ดีที่สุดที่ถูกผูกไว้ที่ต่ำกว่าที่ฉันได้เห็นเพื่อให้ห่างไกลซึ่งเครื่องชั่งน้ำหนักเป็นn) ดังนั้นคำถามยังคงเปิดอยู่:ดีที่สุดที่สามารถทำได้ (เช่นมีขอบเขตล่างที่ดีกว่า) หรือไม่ หรืออีกวิธีหนึ่งจะมีวงจรครอบครัวที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น? $O(n^2)$ $\lceil \log_2(n!) \rceil$ $O(n\log n)$ $O(n^2)$

UPDATE:

หลายคำตอบและแสดงความคิดเห็นได้เสนอวงจรซึ่งจะประกอบด้วยทั้งหมดของสัญญาแลกเปลี่ยนความน่าจะเป็นที่น่าจะเป็นแบบคงที่{2} วงจรดังกล่าวไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้ (ยกขึ้นจากความคิดเห็น): $\frac{1}{2}$

ลองนึกภาพวงจรที่ใช้ประตูเช่นจากนั้นจะมีเส้นทางการคำนวณที่จัดให้และดังนั้นการเปลี่ยนรูปแบบใด ๆ จะต้องเกิดขึ้นกับความน่าจะเป็นสำหรับจำนวนเต็ม k บางส่วน อย่างไรก็ตามสำหรับการแจกแจงแบบเดียวกันเราต้องการให้ซึ่งสามารถเขียนใหม่เป็นเมตร เห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้ไม่สามารถทำได้สำหรับค่าจำนวนเต็มสำหรับตั้งแต่(สำหรับแต่เมตร $m$ $2^m$ $k 2^{−m}$ $k 2^{−m}=\frac{1}{n!}$ $k n! = 2^m$ $k$ $n\geq3$ $3|n!$ $n\geq 3$ $3\nmid 2^m$

UPDATE (จาก mjqxxxx ผู้เสนอความโปรดปราน):

เงินรางวัลที่เสนอคือ (1) หลักฐานที่ต้องการประตูหรือ (2) วงจรการทำงานสำหรับใด ๆที่ใช้น้อยกว่าประตู $\omega(n \log n)$ $n$ $n(n-1)/2$

co.combinatorics randomness probabilistic-circuits

— Joe Fitzsimons
แหล่งที่มา

8

@ แอนโธนี่: บางทีมันอาจจะไม่ชัดเจน แต่คุณสามารถ: ลองจินตนาการว่าวงจรสร้างการกระจายของพีชคณิตขององค์ประกอบอย่างสม่ำเสมอ จากนั้นตามด้วยการแลกเปลี่ยนความน่าจะเป็น (ที่มีความน่าจะเป็น 0.5) ระหว่างตำแหน่งและตำแหน่งจะผลิตเป็นทางเลือกที่สุ่มสม่ำเสมอสำหรับตำแหน่งnหากคุณทำตามนี้โดยใช้อีกครั้งกับองค์ประกอบแรกคุณควรได้รับการแจกแจงแบบสุ่มสม่ำเสมอ

C

$C$

n - 1

$n-1$

C

$C$

n - 1

$n-1$

n

$n$

n

$n$

C

$C$

n - 1

$n-1$

— Joe Fitzsimons

4

ตกลงขอบคุณสำหรับคำอธิบาย! โปรดทราบว่าการแลกเปลี่ยนความน่าจะเป็นควรจะมีแล้ระหว่างตำแหน่งและตำแหน่งn

(n - 1) / n

$(n-1)/n$

n - 1

$n-1$

n

$n$

— Anthony Leverrier

5

ในแง่ของเอนโทรปีที่ต้องการอัลกอรึทึมต้องการบิตสุ่มโดยที่เป็นฟังก์ชันไบนารีเอนโทรปี ฉันไม่สามารถคำนวณผลบวกที่ว่า แต่มันเป็นตาม Mathematica ... ในขณะที่ที่เหมาะสมเป็นอย่างน้อย(n))

(n - 1) h (1 / 2) + (n - 2) h (1 / 3) + \dots + (n - k) h (1 / (k + 1)) + \dots + h (1 / n)

$(n-1) h(1/2) + (n-2) h(1/3) + \cdots + (n-k) h(1/(k+1)) + \cdots + h(1/n)$

h (.)

$h(.)$

O (n \log_{2} (n)^{2})

$O(n \log_2(n)^2)$

O (n \log_{2} (n))

$O(n \log_2(n))$

— Anthony Leverrier

8

สิ่งนี้แตกต่างจากสิ่งที่คุณต้องการ แต่มีวงจรขนาด O (n log n) ที่สร้างการเรียงสับเปลี่ยนทุกครั้งด้วยความน่าจะเป็นอย่างน้อย 1 / p (n!) สำหรับพหุนาม p: พิจารณาเครือข่ายคัดแยกที่มีขนาด O (n log n) และแทนที่ตัวเปรียบเทียบแต่ละตัวด้วย gate gate ความน่าจะเป็น 1/2 เนื่องจากความถูกต้องของเครือข่ายการเรียงลำดับการเปลี่ยนรูปทุกครั้งจะต้องเกิดขึ้นกับความน่าจะเป็นที่ไม่ใช่ศูนย์ซึ่งจำเป็นอย่างน้อย 1/2 ^ {O (n log n)} = 1 / poly (n!)

— Tsuyoshi Ito

3

กลับไปที่ปัญหาเดิม โปรดทราบว่าวิธีการแก้ปัญหา O (n ^ 2) ซึ่งแอนโทนีอธิบายไว้สามารถดูได้ว่าเป็นการแทนที่แต่ละตัวเปรียบเทียบในเครือข่ายการเรียงลำดับซึ่งเป็นตัวแทนของการเลือกด้วยประตูแลกเปลี่ยนความน่าจะเป็นที่มีความน่าจะเป็นที่เหมาะสม (เพิ่มเติม)

— Tsuyoshi Ito

17

อัลกอริทึมการทำงานที่ฉันอธิบายในความคิดเห็นด้านบนมีดังต่อไปนี้

เริ่มต้นครั้งแรกด้วยการนำองค์ประกอบแบบสุ่มที่มีความน่าจะเป็นในตำแหน่ง : ตำแหน่งแลกเปลี่ยน 1 และ 2 กับ probaจากนั้น 2 และ 3 กับ proba , ... จากนั้นและด้วย proba n $1/n$ $n$ $1/2$ $2/3$ $n-1$ $n$ $(n-1)/n$
ใช้ขั้นตอนเดียวกันเพื่อนำองค์ประกอบแบบสุ่มในตำแหน่ง : ตำแหน่ง swap 1 และ 2 พร้อม prob ... จากนั้นให้ตำแหน่งและด้วย proba . $n-1$ $1/2$ $n-2$ $n-1$ $(n-2)/(n-1)$
ฯลฯ

จำนวนประตูต้องตามขั้นตอนวิธีการนี้คือ2) $(n-1)+(n-2)+ \cdots + 2+1 = n(n-1)/2 = O(n^2)$

— Anthony Leverrier
แหล่งที่มา

3

อัลกอริทึมนี้มีการเชื่อมต่อกับการเรียงลำดับฟอง โดยเฉพาะอย่างยิ่งการพิจารณาพื้นที่ของรัฐของพีชคณิตขนาด n ทั้งหมด ความน่าจะเป็นที่องค์ประกอบที่ 1 มากกว่า 2 คือ 1/2, สลับกับความน่าจะเป็นนั้น สมมติว่ามีการเรียงลำดับสององค์ประกอบแรกสิ่งที่เป็นองค์ประกอบ proba 2nd> องค์ประกอบที่ 3 2/3 เป็นต้นดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะแปลงอัลกอริทึมการเรียงลำดับเป็นวงจรแลกเปลี่ยนประตูซึ่งแต่ละขั้นตอนต่อไปนี้ควรคำนึงถึงความน่าจะเป็นตามเงื่อนไข ขั้นตอน ซึ่งในความรู้สึกแนะนำวิธีการที่ไม่มีประสิทธิภาพชัดเจนในการสร้างวงจรดังกล่าว

— mkatkov

16

นี่ไม่ใช่คำตอบหรือข้อมูลใหม่ นี่ฉันจะพยายามที่จะสรุปการอภิปรายที่เกิดขึ้นในการแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างปัญหานี้และเครือข่ายการจัดเรียง ในโพสต์นี้เวลาทั้งหมดอยู่ใน UTC และ "ความคิดเห็น" หมายถึงความคิดเห็นในคำถามเว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น

วงจรที่ประกอบด้วยประตูแลกเปลี่ยนความน่าจะเป็น (ซึ่งสลับค่าสองค่าแบบสุ่ม) ทำให้เรานึกถึงเครือข่ายการเรียงลำดับซึ่งไม่มีอะไรนอกจากวงจรที่ประกอบด้วยตัวเปรียบเทียบ (ซึ่งสลับสองค่าขึ้นอยู่กับลำดับระหว่างพวกเขา) อันที่จริงวงจรสำหรับปัญหาในปัจจุบันและเครือข่ายการเรียงลำดับมีความสัมพันธ์ซึ่งกันและกันด้วยวิธีดังต่อไปนี้:

วิธีการแก้ปัญหาโดยแอนโธนี Leverrierกับn ( n -1) / 2 ประตูแลกเปลี่ยนความน่าจะสามารถเข้าใจได้เป็นเครือข่ายการเรียงลำดับการเรียงลำดับฟองกับ comparators แทนที่ด้วยประตูแลกเปลี่ยนความน่าจะเป็นที่มีความน่าจะเป็นที่เหมาะสม ดูความคิดเห็นของ mkatkov เมื่อวันที่ 10 มีนาคม 4:53 ในคำตอบสำหรับรายละเอียด เครือข่ายการเรียงลำดับสำหรับการเรียงลำดับการเลือกสามารถใช้วิธีเดียวกันได้ (ในความคิดเห็นที่ 7 มีนาคม 23:04 ฉันอธิบายวงจรของแอนโทนี่เป็นการเรียงลำดับการเลือก แต่ไม่ถูกต้อง)
ถ้าเราต้องการการเรียงสับเปลี่ยนทุกครั้งด้วยความน่าจะเป็นแบบไม่เป็นศูนย์และไม่สนใจว่าการกระจายจะเหมือนกันทุกเครือข่ายการเรียงลำดับจะทำหน้าที่เมื่อตัวเปรียบเทียบทั้งหมดถูกแทนที่ด้วยประตูแลกเปลี่ยนความน่าจะเป็น -1 / 2 ถ้าเราใช้เครือข่ายเรียงลำดับที่มีตัวเปรียบเทียบ O ( n log n ) วงจรผลลัพธ์จะสร้างการเรียงสับเปลี่ยนทุกครั้งด้วยความน่าจะเป็นอย่างน้อย 1/2 ^{O ( n log n )} = 1 / poly ( n !) ดังที่สังเกตในความคิดเห็นของฉันที่มีนาคม 7 22:59
ในปัญหานี้จำเป็นต้องมีการแลกเปลี่ยนความน่าจะเป็นประตูไฟอย่างอิสระ หากเราลบข้อ จำกัด นี้ทุกเครือข่ายการเรียงลำดับสามารถถูกแปลงเป็นวงจรที่สร้างการกระจายแบบสม่ำเสมอดังที่ฉันได้กล่าวถึงในความคิดเห็นที่ 7 มีนาคม 23:08 และผู้ใช้ 1749 ที่อธิบายในรายละเอียดมากขึ้นในวันที่ 8 มีนาคม 14:07

ข้อเท็จจริงเหล่านี้ชี้ให้เห็นอย่างชัดเจนว่าปัญหานี้เกี่ยวข้องกับการจัดเรียงเครือข่ายอย่างใกล้ชิด อย่างไรก็ตาม Peter Taylor พบหลักฐานว่าความสัมพันธ์อาจไม่ใกล้เคียงกันมากนัก กล่าวคือไม่ใช่ทุกเครือข่ายการเรียงลำดับที่สามารถแปลงเป็นวงจรที่ต้องการโดยแทนที่ตัวเปรียบเทียบด้วยประตูแลกเปลี่ยนความน่าจะเป็นด้วยความน่าจะเป็นที่เหมาะสม เครือข่ายการเรียงลำดับห้าเปรียบเทียบสำหรับn = 4 เป็นตัวอย่าง ดูความคิดเห็นของเขาที่ 10 มีนาคม 11:08 และ 10 มีนาคม 14:01

— Tsuyoshi Ito
แหล่งที่มา

3

@mkatkov: ฉันได้เห็นสามหรือสี่คำตอบที่ถูกลบและฉันจำไม่ได้ว่าใครเป็นใครขอโทษ หากคุณพบวิธีแก้ปัญหาด้วยประตูน้อยกว่า n (n − 1) / 2 ประตูฉันอยากจะรู้การก่อสร้างทั้งหมด (และมันก็ไม่ใช่การขโมยรางวัลจาก mjqxxxx จากคุณ :))

— Tsuyoshi Ito

2

@mkatkov: ฉันยังคงสงสัย ดังที่ฉันได้เขียนไว้ในย่อหน้าสุดท้ายของโพสต์นี้ Peter Taylor พบว่าเครือข่ายการเรียงลำดับห้าตัวเปรียบเทียบสำหรับ n = 4 ไม่สามารถแปลงเป็นโซลูชันสำหรับปัญหาปัจจุบันได้โดยการแทนที่ประตูเปรียบเทียบด้วยประตูแลกเปลี่ยนความน่าจะเป็น นี่หมายความว่าตรรกะของคุณไม่สามารถใช้ได้กับทุกเครือข่ายการเรียงลำดับถึงแม้ว่ามันจะไม่แยกแยะความเป็นไปได้ที่มันจะใช้งานได้สำหรับการพูดถึงการผสานที่แปลกแม้กระทั่ง

— Tsuyoshi Ito

1

@mkatkov: สาเหตุที่วิธีการแก้ปัญหาแบบนี้ดูเหมือนจะไม่ทำงาน (หรืออย่างน้อยก็ไม่มีตัวอย่างที่แสดงให้เห็นการทำงาน) นั่นคือ swap ประตูในเครือข่ายการเรียงลำดับแบบคู่ในลักษณะที่มีความสัมพันธ์สูง ในปัญหานี้ประตูทุกบานเป็นอิสระซึ่งนำไปสู่พื้นที่ที่แตกต่างกันมากของวงจรที่เป็นไปได้

— mjqxxxx

1

@mkatbov แต่ละขั้นตอนในเครือข่ายของ Anthony เลือกหนึ่งในอินพุต m (โดยที่ m มีช่วงจาก n ลงเหลือ 2) คุณไม่สามารถเลือกอินพุตหนึ่งใน m ที่น้อยกว่า m-1 ประตูดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณไม่สามารถทำได้ด้วยล็อก m ประตู การเอาชนะอาจต้องใช้วิธีการแบ่งและพิชิตบางอย่าง

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Peter Taylor

3

@Tsuyoshi, Yuval และฉันได้วิเคราะห์โซลูชัน 5 ประตูที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับและกำจัดพวกเขาทั้งหมดซึ่งเสริมความแข็งแกร่งให้กับผลลัพธ์ที่ไม่สามารถเปลี่ยนเครือข่ายการเรียงลำดับทั้งหมดเป็นเครือข่ายการเรียงลำดับที่สม่ำเสมอซึ่งมีขนาดของปัญหา เครือข่ายการเรียงลำดับที่เหมาะสมที่สุดต้องการประตูมากกว่าเครือข่ายการเรียงลำดับที่ดีที่สุด

n = 4

$n=4$

— Peter Taylor

15

นี่ไม่ใช่คำตอบที่สมบูรณ์ แต่หมายรวมถึงผลลัพธ์ที่อาจเป็นประโยชน์และนำไปใช้เพื่อรับข้อ จำกัด ในกรณีซึ่ง จำกัด โซลูชัน 5 ประตูที่เป็นไปได้ถึง 2,500 กรณีที่นับได้ง่าย $n=4$

แรกผลโดยทั่วไป: ในการแก้ปัญหาใด ๆ ที่ permutesวัตถุต้องมีอย่างน้อยแลกเปลี่ยนที่มีความน่าจะเป็น{2} $n$ $n-1$ $\frac{1}{2}$

พิสูจน์: พิจารณาการเป็นตัวแทนการเปลี่ยนแปลงของพีชคณิตของคำสั่งที่nเหล่านี้เป็นเมทริกซ์ที่น่าพอใจ(ญ)] พิจารณาการสลับระหว่างและมีความน่าจะเป็น : สิ่งนี้มีการแทน (ใช้เครื่องหมายวงรอบเพื่อแทนการเปลี่ยนแปลง) คุณสามารถคิดของการคูณโดยเมทริกซ์นี้ในแง่ของทฤษฎีการแสดงหรือในแง่มาร์คอฟเป็นใช้การเปลี่ยนแปลงด้วยความน่าจะและออกจากสิ่งที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงที่มีความน่าจะเป็น1-P $n$ $n\times n$ $A_\pi$ $(A_\pi)_{i,j} = [i = \pi(j)]$ $i$ $j$ $p$ $(1-p)I + pA_{(i j)}$ $(i j)$ $p$ $1-p$

เครือข่ายการเปลี่ยนแปลงจึงเป็นสายโซ่ของการคูณเมทริกซ์ดังกล่าว เราเริ่มต้นด้วยเมทริกซ์เอกลักษณ์และผลลัพธ์สุดท้ายจะเป็นเมทริกซ์โดยที่ดังนั้นเราจะเปลี่ยนจากเมทริกซ์ของอันดับไปเป็นเมทริกซ์อันดับโดยการคูณ - คือยศจะลดลงโดยn-1 $U$ $U_{i,j} = \frac{1}{n}$ $n$ $1$ $n-1$

พิจารณาอันดับของเมทริกซ์จากนั้นเราจะเห็นว่าพวกเขากำลังฝึกอบรมตัวตนที่เป็นเอกลักษณ์นอกเหนือจากผู้เยาว์เพื่อให้พวกเขามีตำแหน่งเต็มเว้นแต่ซึ่งในกรณีที่พวกเขามียศn-1 $(1-p)I + pA_{(i j)}$ $\begin{pmatrix}1-p & p \\ p & 1-p\end{pmatrix}$ $p=\frac{1}{2}$ $n-1$

การใช้เมทริกซ์ความไม่เท่าเทียมกันของซิลเวสเตอร์เราจึงพบว่าแต่ละการแลกเปลี่ยนจะลดอันดับหากและเมื่อเงื่อนไขนี้ตรงตามเงื่อนไขจะลดลงได้ไม่เกิน 1 ดังนั้นเราต้องการอย่างน้อย swaps ความน่าจะเป็น{2} $p=\frac{1}{2}$ $n-1$ $\frac{1}{2}$

โปรดทราบว่าขอบเขตนี้ไม่สามารถทำให้รัดกุมเนื่องจากเครือข่ายของ Anthony Leverrier ประสบความสำเร็จ

เพื่อประยุกต์ใช้ในกรณี 4 เรามีโซลูชันที่มี 6 ประตูอยู่แล้วดังนั้นคำถามคือว่าจะสามารถแก้ปัญหาด้วย 5 ประตูได้หรือไม่ ตอนนี้เรารู้ว่าอย่างน้อย 3 ประตูจะต้อง 50/50 แลกเปลี่ยนเพื่อให้เรามีสอง "ฟรี" ความน่าจะเป็นและQมีเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ 32 เหตุการณ์ (5 เหตุการณ์อิสระแต่ละเหตุการณ์มีผลลัพธ์สองรายการ) และเหตุการณ์ถังแต่ละอันจะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ เหตุการณ์แบ่งออกเป็น 8 ด้วยความน่าจะเป็น , 8 กับความน่าจะเป็น , 8 ที่มีความน่าจะเป็น , 8 และด้วยความน่าจะ{8} $n=4$ $p$ $q$ $4! = 24$ $\frac{pq}{8}$ $\frac{\overline{p}q}{8}$ $\frac{p\overline{q}}{8}$ $\frac{\overline{p}\overline{q}}{8}$

32 เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเป็น 24 บุ้งกี๋บุ้งกี๋ไม่มีที่ว่างเปล่าหมายความว่าอย่างน้อย 16 บุ้งกี๋ประกอบด้วยแม่นยำเหตุการณ์หนึ่งดังนั้นอย่างน้อยสองในสี่น่าจะเป็นดังกล่าวข้างต้นจะเท่ากับ{24} การสมมาตรเข้าบัญชีเรามีสองกรณีหรือ{3} $\frac{1}{24}$ $pq = \overline{p}q = \frac{1}{3}$ $pq = \overline{p}\overline{q} = \frac{1}{3}$

กรณีแรกให้ , ( การแก้ไขหรือ , คลี่คลายความสมมาตร) เคสที่สองให้ดังนั้นซึ่งไม่มีวิธีแก้ปัญหาจริง $p=\overline{p}=\frac{1}{2}$ $q=\frac{2}{3}$ $q=\frac{1}{3}$ $pq=1-p-q+pq$ $pq = p(1-p) = \frac{1}{3}$

ดังนั้นหากมีทางออกที่ 5 ประตูเรามีสี่ประตูที่มีความน่าจะเป็นและเป็นหนึ่งในประตูที่มีความน่าจะเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งหรือ{3} ข้อผิดพลาดที่สลับแรกคือและอันที่สองคือหรือ ; อีกสามคนมีความเป็นไปได้ห้า (ไม่เกิน) เพราะไม่มีจุดที่ทำสลับเดียวกันสองครั้งในแถว ดังนั้นเราจึงมีลำดับการสลับเพื่อพิจารณาและ 10 วิธีในการกำหนดความน่าจะเป็นซึ่งนำไปสู่กรณี 2500 กรณีที่สามารถระบุและทดสอบกลไกได้ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $0\leftrightarrow 1$ $0\leftrightarrow 2$ $2\leftrightarrow 3$ $2\times 5^3$

อัปเดต: Yuval Filmus และฉันมีทั้งระบุและทดสอบเคสและไม่พบวิธีแก้ปัญหาดังนั้นทางออกที่ดีที่สุดสำหรับเกี่ยวข้องกับ 6 ประตูและตัวอย่างของโซลูชั่น 6 ประตูมีคำตอบอื่น ๆ $n=4$

— ปีเตอร์เทย์เลอร์
แหล่งที่มา

2

การแจงนับกรณีของฉันล้มเหลวในการสร้างตัวอย่างที่สั้นกว่าใด ๆ

— Yuval Filmus

... แม้หลังจากการแก้ไข

— Yuval Filmus

1

เยี่ยมมากนั่นเป็นข้อสังเกตที่ดีมาก

— Joe Fitzsimons

1

@mjqxxxx ฉันคำนวณว่าในการค้นหาโซลูชัน 9-gate เป็นคุณจะต้องพิจารณาประมาณ 104 ล้านราย (แม้ว่าจะลดลงได้เล็กน้อยด้วยความฉลาด) แต่สำหรับแต่ละกรณีคุณจะคำนวณ 120 สมการใน ตัวแปร 5 ตัวที่มีคำศัพท์ไขว้จากนั้นตรวจสอบหาวิธีแก้ไข อาจเป็นไปได้กับคอมพิวเตอร์เดสก์ท็อปมาตรฐาน แต่ต้องใช้ความพยายามเพิ่มขึ้นเล็กน้อยเพราะคุณไม่สามารถ จำกัด ค่าความน่าจะเป็นได้อย่างง่ายดาย

n = 5

$n=5$

— Peter Taylor

4

ฉันได้รับรางวัลเงินรางวัลที่นี่ถึงแม้ว่าคำตอบจะไม่ได้รับการปรับปรุงแบบไม่มีซีโมติกเหนือขอบเขตหรือการปรับปรุงบนขอบเขตบนเพราะอย่างน้อยก็พิสูจน์ได้ว่าเหมาะสมที่สุดในกรณีที่ไม่สำคัญ

Ω (n \log n)

$\Omega(n \log n)$

n (n - 1) / 2

$n(n-1)/2$

n (n - 1) / 2

$n(n-1)/2$

— mjqxxxx

14

ข้อมูลต่อไปนี้เป็นข้อมูลใหม่และเกี่ยวข้อง:

กระดาษ [CKKL99] แสดงวิธีรับ 1 / n ใกล้กับการเปลี่ยนแปลงที่สม่ำเสมอขององค์ประกอบ n โดยใช้เครือข่ายการสลับของความลึก O (log n) และด้วยเหตุนี้การเปรียบเทียบ O (n log n) ทั้งหมด

สิ่งก่อสร้างนี้ไม่ชัดเจน แต่สามารถทำให้ชัดเจนได้ถ้าคุณเพิ่มความลึกเป็น polylog (n) ดูตัวชี้ในกระดาษ [CKKL01] ซึ่งมีข้อมูลเพิ่มเติมด้วย

ความคิดเห็นก่อนหน้านี้ชี้ให้เห็นผลลัพธ์ที่บอกว่า O (n log n) สลับพอเพียง แต่ความแตกต่างคือในการสลับเครือข่ายองค์ประกอบที่ถูกเปรียบเทียบจะได้รับการแก้ไข

[CKKL99] Artur Czumaj, Przemyslawa Kanarek, Miroslaw Kutylowski และ Krzysztof Lo-rys การมีเพศสัมพันธ์กับเส้นทางที่ล่าช้าและสร้างการเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่มผ่านกระบวนการสโทแคสติกแบบกระจาย ในการประชุมสัมมนาเรื่อง Discrete Algorithms (SODA) หน้า 271 {280, 1999

[CKKL01] Artur Czumaj, Przemyslawa Kanarek, Miroslaw Kutylowski และ Krzysztof Lo-rys การสลับเครือข่ายเพื่อสร้างการเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่ม 2001

— มนุ
แหล่งที่มา

ขอบคุณที่มีประโยชน์อย่างแน่นอนที่จะรู้ ฉันยังสนใจที่จะรู้เกี่ยวกับหมายเลขเกทสำหรับสร้างการกระจายที่แน่นอนอย่างไรก็ตาม

— Joe Fitzsimons

12

นี่เป็นทางออกที่น่าสนใจบ้างสำหรับ 4 แนวคิดเดียวกันนี้ยังใช้งานได้กับด้วย $n=4$ $n=6$

เริ่มต้นด้วยสวิทช์มีความน่าจะเป็น1/2ลดเพื่อและเพื่อเราอยู่ในสถานการณ์ที่XXYYใช้สวิทช์มีโอกาสหน้าผลลัพธ์คือ ย้ายต่อไปของเราเป็นไปได้มีความน่าจะเป็น1/2ดังนั้นเราจึงสนใจจริง ๆ ว่าผลลัพธ์ของระยะก่อนหน้านั้นเป็นของรูปแบบ (กรณี A) หรือของฟอร์ม $(0,1),(2,3)$ $1/2$ $0,1$ $X$ $2,3$ $Y$ $XXYY$ $(0,3),(1,2)$ $p$

\begin{aligned} X X Y Y & w.p. (1 - p)^{2}, \\ Y Y X X & w.p. p^{2}, \\ X Y X Y & w.p. p (1 - p), \\ Y X Y X & w.p. p (1 - p) \end{aligned}

$\begin{align*} XXYY &\text{ w.p. } (1-p)^2, \\ YYXX &\text{ w.p. } p^2, \\ XYXY &\text{ w.p. } p(1-p), \\ YXYX &\text{ w.p. } p(1-p) \end{align*}$

(0, 2), (1, 3)

$(0,2),(1,3)$

1 / 2

$1/2$

X X Y Y / Y Y X X

$XXYY/YYXX$

X Y X Y / Y X Y X

$XYXY/YXYX$ (กรณี B) ในกรณีที่สวิทช์เหล่านี้จะส่งผลให้ความน่าจะเป็นเครื่องแบบกว่าXXYYในกรณี B พวกเขาจะไม่ได้ผล ดังนั้นต้องเป็นไปตาม ระบุว่าผลลัพธ์จะเหมือนกัน

X X Y Y / X Y Y X / Y X X Y / Y Y X X

$XXYY/XYYX/YXXY/YYXX$

p

$p$

p (1 - p) = 1 / 6 ⟹ p = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{6} .

$p(1-p) = 1/6 \Longrightarrow p = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{6}.$

แนวคิดที่คล้ายกันใช้ได้กับ - คุณสุ่มเรียงลำดับแต่ละครึ่งก่อนแล้วจึง "รวม" พวกเขา อย่างไรก็ตามแม้สำหรับฉันไม่สามารถดูวิธีการรวมครึ่งหนึ่งได้อย่างถูกต้อง $n=6$ $n=8$

จุดที่น่าสนใจเกี่ยวกับการแก้ปัญหานี้คือความน่าจะเป็นที่แปลกหน้า $p$

ตามบันทึกด้านข้างชุดของความน่าจะเป็นซึ่งสามารถช่วยเราได้โดยโดยที่ผ่านค่าลักษณะเฉพาะของการเป็นตัวแทนทั้งหมดของในทุกการถ่ายโอน $p$ $1/(1-\lambda)$ $\lambda \leq 0$ $S_n$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

1

ค่าแปลกเป็นกำลังใจแน่นอนที่ผมคิดว่ามีหลักฐานเหตุผลง่ายๆว่าถ้าเรา จำกัด น่าจะเป็นที่จะสำหรับจำนวนเต็มแล้วที่ดีที่สุดที่คุณสามารถทำได้คือ2)

p

$p$

1 / k

$1/k$

k

$k$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Joe Fitzsimons

5

วิธีที่แตกต่างกันเล็กน้อยสำหรับองค์ประกอบ 2n ซึ่งยังแปลกในแง่ที่คล้ายกันคือการสับเปลี่ยนองค์ประกอบ n แรกสลับองค์ประกอบสุดท้าย n สลับ (i, i + n) ด้วยความน่าจะเป็น p_i สำหรับ i = 1, …, n สลับองค์ประกอบ n แรกและสลับองค์ประกอบ n สุดท้าย ความน่าจะเป็น p_i ต้องถูกเลือกเพื่อให้ความน่าจะเป็นที่ k จากการแลกเปลี่ยนประตู n นั้นเท่ากับและความน่าจะเป็นดังกล่าวคือ p_i โดย ( 1 + x_i) / 2 โดยที่ x_1, …, x_n เป็นรากฐานของพหุนาม Legendre P_n (เพิ่มเติม)

{(\binom{n}{k})}^{2} / (\binom{2 n}{n})

$\binom{n}{k}^2/\binom{2n}{n}$

— Tsuyoshi Ito

6

(ต่อ) สิ่งที่น่าผิดหวังเกี่ยวกับรูปแบบที่ฉันอธิบายคือมันต้องใช้ n (n − 1) / 2 ความน่าจะเป็นในการแลกเปลี่ยนเมื่อ n เป็นพลังของสองนั่นคือจำนวนประตูเท่ากันกับการเรียงฟอง ทางออกโดย Anthony Leverrier

— Tsuyoshi Ito

@ ซึโยชิการก่อสร้างของคุณถูกต้องชัดเจน แต่ฉันสงสัยว่ามันกำลังทำมากกว่าที่จำเป็น ฉันไม่มีเวลาที่จะทำการวิเคราะห์ในขณะนี้ แต่ถ้าคุณทำคุณอาจพบว่ามันมีค่าพอที่จะพิจารณาว่ามีเช่นนั้น ; ; ; ; จากนั้นใช้การเปลี่ยนแปลงที่เหมาะสมของรูต Legendre (และเติมในไตรมาสอื่น ๆ ) สามารถทำงานได้

p_{0}, p_{1}

$p_0, p_1$

0 \leftrightarrow 1, p = \frac{1}{2}

$0\leftrightarrow 1, p=\frac{1}{2}$

2 \leftrightarrow 3, p = \frac{1}{2}

$2\leftrightarrow 3, p=\frac{1}{2}$

0 \leftrightarrow 2, p = p_{0}

$0\leftrightarrow 2, p=p_0$

1 \leftrightarrow 3, p = p_{1}

$1\leftrightarrow 3, p=p_1$

— Peter Taylor

7

ลองพิจารณาปัญหาของการสับสตริงแบบสุ่มโดยที่แต่ละบล็อกมีความยาวโดยมีวงจรที่ประกอบไปด้วยการแลกเปลี่ยนค่าความน่าจะเป็นแบบคู่ นั่นคือสตริงทั้งหมดมี s และ s จะต้องเป็นเอาต์พุตที่เป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกันของวงจรให้อินพุตที่ระบุ ให้เป็นวงจรที่ดีที่สุดสำหรับปัญหานี้และให้เป็นวงจรที่ดีที่สุดสำหรับปัญหาดั้งเดิม ( องค์ประกอบแบบสุ่มสับแบบสุ่ม) การใช้การเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่มนั้นเพียงพอที่จะแทรกสอดและ s แบบสุ่มดังนั้น $XX..XY..YY$ $n$ $(2n)!/(n!)^2$ $n$ $X$ $n$ $Y$ $B_{2n}$ $C_{2n}$ $2n$ $X$ $Y$ $\lvert{B_{2n}}\rvert \le \lvert{C_{2n}}\rvert$ \ บนมืออื่น ๆ ที่เราสามารถสับเปลี่ยนองค์ประกอบโดยสับแรกองค์ประกอบสับสุดท้ายองค์ประกอบและในที่สุดก็ใช้วงจร{2n} นี่ก็หมายความว่า\ เมื่อรวมสองขอบเขตนี้เข้าด้วยกันเราจะได้ผลลัพธ์ต่อไปนี้: $2n$ $n$ $n$ $B_{2n}$ $\lvert{C_{2n}}\rvert \le 2\lvert{C_{n}}\rvert + \lvert{B_{2n}}\rvert$

$\lvert{B_{2n}}\rvert$ และเป็นทั้งหรือไม่ใช่ $\lvert{C_{2n}}\rvert$ $o(n^2)$

เราเห็นว่าทั้งสองปัญหานั้นยากพอ ๆ กันอย่างน้อยก็ในแง่นี้ ผลลัพธ์นี้ค่อนข้างน่าแปลกใจเนื่องจากอาจคาดว่าปัญหาการสลับแบบจะง่ายขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งอาร์กิวเมนต์ entropic แสดงให้เห็นว่าคือแต่ให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่าที่คือ . $XY$ $\lvert{B_{2n}}\rvert$ $\Omega(n)$ $\lvert{C_{2n}}\rvert$ $\Omega(n \log n)$

— mjqxxxx
แหล่งที่มา

7

Diaconis และ Shahshahani 1981, "การสร้างการเปลี่ยนแปลงแบบสุ่มด้วย Transpositions แบบสุ่ม" แสดงให้เห็นว่า 1/2 n log n transpositions แบบสุ่ม (หมายเหตุ: ไม่มี "O" ที่นี่) ส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลงอย่างใกล้ชิด ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งที่ได้รับอนุญาตในแอปพลิเคชันของคุณช่วยให้คุณใช้ผลลัพธ์นี้ได้อย่างรวดเร็ว แต่ค่อนข้างเร็วและแน่นหนาว่าเป็นตัวอย่างของปรากฏการณ์ที่ถูกตัดออกไป ดู Random Walks ในกลุ่ม จำกัด โดย Saloff-Coste สำหรับการสำรวจผลลัพธ์ที่คล้ายกัน

— เจสันมอร์ตัน
แหล่งที่มา

1

และสันนิษฐานได้ว่ามีการเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่มเกือบสองแบบเพื่อสร้างการเรียงสับเปลี่ยนที่ยิ่งสุ่มมากขึ้น

— mjqxxxx

7

... อย่างไรก็ตามมันควรจะสังเกตว่านี่ไม่ใช่ปัญหาเดียวกันจริง ๆ (แม้จะอนุญาตให้มีการแก้ปัญหามากกว่าที่แน่นอน) เพราะผู้เขียนพิจารณา transpositions สุ่มเลือกคู่ธาตุไม่ใช่ความน่าจะเป็นของธาตุที่ระบุ transpositions transpositions

— mjqxxxx

5

นี่เป็นความคิดเห็นจริงๆ แต่นานเกินไปที่จะโพสต์เป็นความคิดเห็น ฉันสงสัยว่าทฤษฎีการเป็นตัวแทนของกลุ่มสมมาตรอาจมีประโยชน์ในการพิสูจน์ขอบเขตล่างที่ดีกว่า แม้ว่าฉันจะไม่รู้อะไรเลยเกี่ยวกับทฤษฎีการเป็นตัวแทนและฉันอาจไม่เป็นที่สนใจให้ฉันอธิบายว่าทำไมมันอาจเกี่ยวข้องกับปัญหาปัจจุบัน

โปรดทราบว่าพฤติกรรมของวงจรประกอบด้วยประตูแลกเปลี่ยนความน่าจะเป็นสามารถระบุได้อย่างเต็มที่เป็นการกระจายความน่าจะเป็นpมากกว่า S _nกลุ่มของการเรียงสับเปลี่ยนในองค์ประกอบn การเปลี่ยนรูปแบบg ∈S _nสามารถถูกมองว่าเป็นเหตุการณ์ที่ฉันส่งออกเป็นg ( i ) th อินพุตสำหรับiทั้งหมด{1, …, n } ตอนนี้เป็นตัวแทนของการกระจายความน่าจะพีเป็นทางการรวมΣ _{กรัม ∈S _n} P ( กรัม ) กรัม ตัวอย่างเช่นการแลกเปลี่ยนความน่าจะเป็นระหว่างสายiและเจมีโอกาสหน้าจะแสดงเป็น (1 P ) E + P τ _IJที่อี ∈S _nเป็นองค์ประกอบตัวตนและτ _IJ ∈S _nคือการขนย้ายระหว่างฉันและเจ

ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับผลรวมที่เป็นทางการนี้คือพฤติกรรมของการต่อสองวงจรอิสระสามารถอธิบายอย่างเป็นทางการว่าเป็นผลิตภัณฑ์ของผลรวมที่เป็นทางการเหล่านี้ กล่าวคือถ้าพฤติกรรมของวงจรC ₁และC ₂แสดงเป็นผลรวมเป็นทางการa ₁ = ∑ _{g ∈S _n} p ₁ ( g ) gและa ₂ = ∑ _{g ∈S _n} p ₂ ( g ) gตามลำดับจากนั้น พฤติกรรมของวงจรC ₁ตามด้วยC ₂จะแสดงเป็นΣ _{กรัม₁ , กรัม₂ ∈S _n} P ₁ ( กรัม₁ ) พี₂ ( กรัม₂ ) กรัม₁กรัม₂ = ₁ 2

ดังนั้นวงจรที่ต้องการซึ่งมีm probabilistic swaps ตรงกับวิธีการเขียนผลรวม (1 / n !) ∑ _{g ∈S _n} gเป็นผลคูณของmจำนวนแต่ละรูปแบบ (1− p ) e + พีτ IJเราอยากจะทราบจำนวนขั้นต่ำม.ของปัจจัย

ผลรวมทางการ ∑ _{g ∈S _n} f ( g ) gโดยที่fคือฟังก์ชั่นจาก S _nถึงℂพร้อมกับการเพิ่มและการคูณที่กำหนดโดยธรรมชาติสร้างวงแหวนที่เรียกว่ากลุ่มพีชคณิต ℂ [S _n ] พีชคณิตกลุ่มมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีการเป็นตัวแทนของกลุ่มซึ่งเป็นทฤษฎีลึกที่เราทุกคนรู้และกลัว :) สิ่งนี้ทำให้ฉันสงสัยว่าบางสิ่งในทฤษฎีการแสดงอาจใช้กับปัญหาปัจจุบันได้

หรือบางทีนี่อาจเป็นเรื่องที่ไกลโพ้น

— Tsuyoshi Ito
แหล่งที่มา

2

นี่คือสิ่งที่จะช่วยลด มีกลุ่มของกลุ่มสมมาตรซึ่งสามารถคำนวณได้อย่างชัดเจนสำหรับ transpositions โดยมีงานบางอย่าง (โดยปกติแล้วพวกเขาจะคำนวณเฉพาะอย่างชัดเจนสำหรับ transpositions ) ค่าเริ่มต้นของการเป็นตัวแทนแต่ละตัวคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่เหมาะสม ใช้แลกเปลี่ยนความน่าจะเป็นคูณแต่ละตัวแทนกับที่คือค่าของการเป็นตัวแทนในการดำเนินการแลกเปลี่ยน(IJ)(ต่อ)

(k, k + 1)

$(k,k+1)$

(1 - p) I + p A_{i j}

$(1-p)I + pA_{ij}$

A_{i j}

$A_{ij}$

(i j)

$(ij)$

— Yuval Filmus

2

เพื่อให้เอาต์พุตมีความเหมือนกันเราต้องการการแทนค่าทั้งหมดนอกเหนือจากการแสดงตัวตนให้เป็นศูนย์ ดังนั้นความน่าจะเป็นควรถูกเลือกเพื่อให้อย่างน้อยเมทริกซ์เป็นเอกพจน์ เมทริกซ์สำหรับการเป็นตัวแทนแต่ละคนมีผู้มีอำนาจเฉพาะทางที่แตกต่างกันดังนั้นจึงไม่ชัดเจนว่าเงื่อนไขใดที่จะบังคับให้การเป็นตัวแทนเฉพาะเป็นศูนย์ (ต่อ)

p

$p$

(1 - p) I + p A_{i j}

$(1-p)I + pA_{ij}$

A_{i j}

$A_{ij}$

— Yuval Filmus

3

อย่างไรก็ตามหากเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าการขนย้ายทุกครั้งลดอันดับตัวแทนโดยเฉลี่ยสูงสุดที่เราจะได้ขอบเขตที่ต่ำกว่าขอบเขตดังกล่าวสามารถพิสูจน์ได้ถ้าเรารู้ว่าไอเก็นผู้ประกอบการที่สอดคล้องกับการเป็นตัวแทนและการขนย้ายแต่ละ ข้อมูลนี้สามารถใช้งานได้ในหลักการ แต่ไม่มีความมั่นใจว่าวิธีการนี้จะผลิตสิ่งที่ไม่สำคัญ

1 / n^{2}

$1/n^2$

n^{2}

$n^2$

— Yuval Filmus

1

(ต่อ) และการแปลงเชิงเส้นตรงนี้เป็นเมทริกซ์ที่เกิดขึ้นในการเป็นตัวแทนของ S_n โดยเมทริกซ์การเปลี่ยนรูปแบบ n × n แม้ว่า n − 1 นั้นเป็นเรื่องเล็กน้อยเหมือนขอบเขตล่างของจำนวนประตู (อาร์กิวเมนต์ของเอนโทรปีได้ให้ขอบเขตที่ต่ำกว่าอยู่แล้ว) ความหวังของฉันคือว่ามันอาจเป็นไปได้ที่จะสรุปข้อโต้แย้งของคุณกับตัวแทนอื่น ๆ จำนวนประตูทั้งหมด

— Tsuyoshi Ito

4

@Yuval, @Peter: ฉันสังเกตเห็นว่าสำหรับทุก ๆ การเป็นตัวแทน (1 − p) I + pA_ {ij} ไม่มีความหมายยกเว้น p = 1/2 (เพราะ A_ {ij} ^ 2 = ฉันบอกเป็นนัยว่าค่าลักษณะเฉพาะของ A_ {ij } คือ± 1) ดังนั้นการนับอันดับจึงมีประโยชน์สำหรับการ จำกัด จำนวนความน่าจะเป็น -1 / 2 ประตูที่ต่ำกว่าซึ่งทำโดย Peter อย่างเหมาะสมที่สุด กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าทฤษฎีการเป็นตัวแทนมีประโยชน์ในวิธีที่ฉันแนะนำในบทความนี้เราต้องการสิ่งอื่นนอกเหนือจากการนับอันดับเมทริกซ์! ฉันไม่แน่ใจว่ามันเป็นจริงหรือเปล่า

— Tsuyoshi Ito

1

ขั้นตอนวิธีของ Anthony สามารถทำงานแบบขนานได้โดยเริ่มการทำซ้ำขั้นตอนต่อไปของโพรซีเดอร์หลังจากสอง probabilistic swaps แรกส่งผลให้รันไทม์ $O(n^2)$ $O(n)$

— เดฟ
แหล่งที่มา

4

ฉันคิดว่าการวัดความซับซ้อนที่เกี่ยวข้องสำหรับคำถามนี้คือจำนวนประตูไม่ใช่เวลาทำงาน

— Anthony Leverrier

3

@ แอนโธนีถูกต้องว่าสิ่งที่ฉันสนใจคือจำนวนประตูขั้นต่ำที่จำเป็น

— Joe Fitzsimons

0

ถ้าฉันเข้าใจถูกต้องถ้าคุณต้องการให้วงจรของคุณสามารถสร้างการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดคุณต้องมีอย่างน้อยประตูที่มีความน่าจะเป็นถึงแม้ว่าฉันไม่แน่ใจว่าจะสร้างวงจรที่น้อยที่สุดได้อย่างไร $\lceil \log_2(n!) \rceil$

UPDATE:

ฉันคิดว่าถ้าคุณใช้อัลกอริทึมการควบรวมกิจการและแทนที่การเปรียบเทียบทั้งหมดด้วยตัวเลือกแบบสุ่มด้วยความน่าจะเป็นที่เหมาะสมคุณจะได้รับวงจรที่คุณกำลังมองหา

— Antonio Valerio Miceli-Barone
แหล่งที่มา

2

ฉันไม่แน่ใจทั้งหมดว่าคุณจะแปลสิ่งนี้เป็นรูปแบบของประตูแลกเปลี่ยนความน่าจะเป็นที่ฉันให้ไว้ข้างต้นได้อย่างไร ฉันไม่เห็นว่าการแลกเปลี่ยนความน่าจะเป็นมาแทนที่การเปรียบเทียบและยังคงได้รับการแจกแจงแบบสุ่ม ดังนั้นฉันยังไม่แน่ใจว่าทำไมสิ่งนี้ถึงดีที่สุด

— Joe Fitzsimons

1

และใช่คือขั้นต่ำ แต่นี้เป็นเพียง(n))

⌈ \log_{2} (n!) ⌉

$\lceil \log_2(n!) \rceil$

O (n \log (n))

$O(n\log(n))$

— Joe Fitzsimons

1

สมมติและดำเนินการต่อโดยอุปนัยบนkคุณมีสองพีชคณิตแบบสุ่มของความยาว{k-1} หากคุณรวมการสุ่มเหล่านี้ (เช่นการเอาองค์ประกอบถัดไปจากการ subpermutation ที่เลือกแบบสุ่ม) ดังนั้นผลลัพธ์ที่ผสานควรเป็นแบบสุ่ม ความน่าจะเป็นของตำแหน่งที่มีองค์ประกอบจาก subpermutation "ซ้าย" อย่างชัดเจน 1/2 โดยสมมาตร และมีเงื่อนไขว่ามันมีองค์ประกอบจาก subpermutation ด้านซ้ายมันจะต้องมีการสุ่มอย่างสม่ำเสมอจากมัน ด้วยวิธีนี้คุณจะเห็นได้ว่าการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นนั้นเป็นแบบสุ่มแน่นอน

n = 2^{k}

$n=2^k$

k

$k$

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

i

$i$

— Andrew D. King

1

นั่นก็เป็นแนวความคิดของฉันเมื่อฉันเสนอการรวมกลุ่มอย่างไรก็ตามในความคิดที่สองฉันคิดว่ามันอาจเป็นไปไม่ได้ที่จะใช้การดำเนินการผสานโดยใช้ประตูประเภทที่ต้องการเท่านั้นเนื่องจากพวกเขาไม่ได้สร้างผลลัพธ์ เพื่อบอกว่าพวกเขาทำการเปลี่ยนแปลงหรือไม่และพวกมันไม่มีอินพุตควบคุมที่จะควบคุมพวกเขา

— Antonio Valerio Miceli-Barone

3

@ แอนดรูว์: ฉันไม่เห็นวิธี "รวมการสุ่มเหล่านี้" โดยใช้ประตูที่ระบุไว้ในคำถาม

— Joe Fitzsimons

0

คำตอบต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง (ดูความคิดเห็นของ @joe fitzsimon) แต่อาจมีประโยชน์ในฐานะจุดเริ่มต้น

ผมมีข้อเสนอร่างในn) ผมได้มือการตรวจสอบการทำงานสำหรับ (!) แต่ผมมีหลักฐานที่ยังไม่มีผลที่ได้คือเครื่องแบบเกิน 4 $O(n\log n)$ $n=4$ $n=4$

สมมติว่าคุณมีวงจรซึ่งสร้างการเรียงสับเปลี่ยนแบบสุ่มบนบิตLesประตูแลกเปลี่ยนความน่าจะเป็นที่แลกเปลี่ยนบิตและมีน่าจะเป็น 1/2 และไม่ทำอะไรเลยกับความน่า1/2สร้างวงจรต่อไปนี้ทำงานบนบิต : $C_n$ $n$ $S_{i,j}^{\frac 12}$ $i$ $j$ $1/2$ $C_{2n}$ $2n$

$\forall 1\le k\le n$ , ใช้เกต ; $S_{k,k+n}^{1/2}$
สมัครในวันแรกบิต; $C_n$ $n$
สมัครในวันสุดท้ายบิต; $C_n$ $n$
$\forall 1\le k\le n$ ใช้ประตู{1/2} $S_{k,k+n}^{1/2}$

ขั้นตอนที่ 1 เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้บิตและสามารถลงจอดในครึ่งเดียวของการเปลี่ยนแปลงและขั้นตอนที่ 4 เป็นสิ่งจำเป็นโดยสมมาตร: ถ้าเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ได้จากการใช้เกตในลำดับกลับกันก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเช่นกัน $1$ $n+1$ $C_{2n}$ $C_{2n}^-1$

ขนาดของวงจรครอบครัวนี้ปฏิบัติตามความสัมพันธ์แบบเรียกซ้ำดังนี้: กับชัด 0 หนึ่งได้อย่างง่ายดายแล้วเห็นว่าn

| C_{2 n} | = 2 | C_{n} | + 2 n

$|C_{2n}| = 2|C_n|+2n$

| C_{1} | = 0

$|C_1|=0$

| C_{n} | = n \log n

$|C_n|=n\log n$

จากนั้นยังเป็นคำถามที่ชัดเจนว่า: วงจรเหล่านี้มีการเรียงสับเปลี่ยนแบบสม่ำเสมอ ไม่เห็นความคิดเห็นแรกด้านล่าง

— Frédéric Grosshans
แหล่งที่มา

6

ฉันไม่เชื่อว่าสิ่งเหล่านี้มีการเรียงสับเปลี่ยนแบบสม่ำเสมอ ในความเป็นจริงฉันคิดว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะทำอย่างนั้นกับประตูดังกล่าวหากคุณกำหนดความน่าจะเป็นที่ 1/2 เหตุผลนี้ง่ายมากลองนึกดูวงจรที่ใช้ประตูจากนั้นก็มี equiprobable เส้นทางการคำนวณและเพื่อให้การเปลี่ยนแปลงใด ๆ จะต้องเกิดขึ้นกับความน่าจะเป็นสำหรับบางจำนวนเต็มkแต่สำหรับการกระจายชุดเราจำเป็นต้องให้{n!} เห็นได้ชัดว่าไม่สามารถมีความพึงพอใจสำหรับค่าจำนวนเต็มของสำหรับ3

m

$m$

2^{m}

$2^{m}$

k 2^{- m}

$k 2^{-m}$

k

$k$

k 2^{- m} = \frac{1}{n!}

$k 2^{-m} = \frac{1}{n!}$

k

$k$

n \geq 3

$n\geq 3$

— Joe Fitzsimons

จริง ฉันลืมตรวจสอบความเหมือนกันสำหรับ ...

n = 4

$n=4$

— Frédéric Grosshans