คำจำกัดความ "ถูกต้อง" ของขอบเขตบนและล่างคืออะไร?

19

ให้เป็นกรณีที่เลวร้ายที่สุดที่ใช้เวลาที่มีปัญหากับการป้อนข้อมูลของขนาดnขอให้เราทำให้ปัญหาแปลกสักหน่อยโดยการแก้ไขสำหรับแต่สำหรับ 1 $f(n)$ $n$ $f(n) = n^2$ $n=2k$ $f(n) = n$ $n=2k+1$

ดังนั้นขอบล่างของปัญหาคืออะไร? วิธีที่ผมเข้าใจมันเป็นเพียงที่ต่ำกว่าผูกพันของ(n) แต่เรารู้ว่าแสดงว่ามีค่าคงที่ ,เช่นนั้นสำหรับ ,ซึ่งไม่เป็นความจริง ดังนั้นมันจึงดูเหมือนว่าเราจะสามารถพูดได้(n) แต่โดยปกติแล้วเราจะเรียกว่าปัญหามีขอบเขตน้อยกว่าใช่ไหม? $f(n)$ $f(n) = \Omega(n^2)$ $k$ $n_0$ $n > n_0$ $f(n) > kn^2$ $f(n) = \Omega(n)$ $\Omega(n^2)$
สมมติว่าซึ่งหมายความว่ามีอยู่อย่างต่อเนื่อง ,เช่นว่าทุก , 2 และสมมติว่าปัญหาได้เวลาทำงาน(n) ถ้าเราสามารถลดปัญหานี้สำหรับช่วงเวลาทั้งหมดที่ในการแก้ไขปัญหาอื่น (การป้อนข้อมูลที่มีขนาดเดียวกัน) เราสามารถพูดได้เวลาทำงานของปัญหาอื่น ๆ ที่มีความผูกพันของต่ำ ? $g(n) = \Omega(n^2)$ $k$ $n_0$ $n > n_0$ $g(n) > kn^2$ $g(n)$ $n$ $\Omega(n^2)$

cc.complexity-theory time-complexity

— เหว่ยหยู
แหล่งที่มา

12

นี่คือเหตุผลที่นักคณิตศาสตร์ใช้ lim sup และ lim inf

— Peter Shor

1

ดังนั้นฉันคิดว่าฉันเข้าใจความแตกต่าง ฉันคิดว่าคนโพสต์จะเข้าใจโอเมก้าบ่อยครั้งอย่างไม่สิ้นสุด แต่ในกรณีที่ฉันต้องการแยกความแตกต่างอย่างชัดเจนมีสัญลักษณ์อะไรบ้างที่ฉันสามารถใช้นอกเหนือจากการขยายได้

— Wei Yu

3

@Wei Yu: ลิม sup และลิม inf คุณพูดว่าสำหรับค่าคงที่

หากคุณต้องการพูดว่า

ไม่สิ้นสุดบ่อยครั้งและ

ถ้าคุณต้องการที่จะพูด

สำหรับทุกขนาดใหญ่พอn

โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณกำลังพูดคุยกับนักคณิตศาสตร์

Lim sup \frac{ก. (n)}{n^{2}} \geq k

$\limsup \frac{g(n)}{n^2} \geq k$

k

$k$

g (n) \geq k n^{2}

$g(n) \geq k n^2$

ลิม inf \frac{ก. (n)}{n^{2}} \geq k

$\liminf \frac{g(n)}{n^2} \geq k$

g (n) \geq k n^{2}

$g(n) \geq k n^2$

n

$n$

$\$

— Peter Shor

12

@Wei: สำหรับนักทฤษฎีที่ซับซ้อนที่สุด (ดูแลนซ์ด้านล่าง) ฟังก์ชั่นของคุณคือθ (n ^ 2); สำหรับอัลกอริทึมส่วนใหญ่ (ดู Knuth หรือ CLRS) ฟังก์ชันของคุณคือΟ (n ^ 2) และΩ (n) ทั้งสองสัญกรณ์เกือบจะเป็นมาตรฐานในชุมชนย่อย แต่ไม่สมบูรณ์ เพื่อทำให้สิ่งเลวร้ายยิ่งขึ้นชุมชนย่อยทั้งสองนี้ซ้อนทับกันอย่างหนัก! ดังนั้นถ้ามันเป็นเรื่องสำคัญที่คุณต้องใช้สัญกรณ์คุณต้องพูดอย่างชัดเจนว่าคุณกำลังใช้สัญกรณ์ (โชคดีที่มันไม่ค่อยสำคัญ)

— Jeffε

2

@Jeffe ฉันเชื่อว่าคุณควรโพสต์ความคิดเห็นของคุณเป็นคำตอบ

— chazisop

13

ความหมายทางขวาของคือว่ามีอยู่บางเช่นว่าหลายอย่างมากมาย , 2 คำจำกัดความที่ไม่สิ้นสุดสำหรับขอบเขตที่ต่ำมักจะจัดการกับปัญหาของคุณและเป็นวิธีที่เราใช้ในการปฏิบัติ $f(n)=\Omega(n^2)$ $k>0$ $n$ $f(n)\geq kn^2$

ฉันได้โพสต์ข้อความนี้ในปี 2005

หนังสือบางเล่มทำให้คำจำกัดความนี้ถูกต้อง

— Lance Fortnow
แหล่งที่มา

14

Knuth ไม่เห็นด้วยกับคุณ: portal.acm.org/citation.cfm?id=1008329

— Jeffε

4

CLRS และ Wikipedia ไม่เห็นด้วยกับคุณ คำจำกัดความที่ไม่มีที่สิ้นสุดมักจะเป็นทางเลือกที่สำคัญ แต่ดูเหมือนว่าจะใช้กันอย่างแพร่หลายน้อยกว่า

— ไม่ระบุชื่อ

ฉันคิดว่าคำจำกัดความเหล่านี้ทั้งหมดเห็นด้วยเมื่อชุดของข้อยกเว้นคือการวัด 0

— Carter Tazio Schonwald

2

ปัญหาเกี่ยวกับคำจำกัดความ "มักจะไม่สิ้นสุด" ก็คือพวกเขามักจะไม่ยกเว้นว่า "มักจะไม่สิ้นสุด" ดังนั้นเราจึงมีผลลัพธ์ที่น่ากลัวด้วยคำจำกัดความนี้แต่ยังโดยที่และหมายถึงคำสั่งที่เข้มงวดในบางอย่าง ความรู้สึก ฉันไม่ชอบสิ่งนี้จริงๆ อย่างน้อยข้อเสนอแนะของ @ Carter ในการวัดข้อยกเว้น 0 นั้นน่ากลัวน้อยกว่าเล็กน้อยในขณะที่ยังคงอนุญาตให้สั่งซื้อได้ดีกว่าแบบปกติ

f (n) = Ω (n^{2})

$f(n)=\Omega(n^2)$

f (n) = o (n + 1)

$f(n)=o(n+1)$

Ω

$\Omega$

o

$o$

— András Salamon

2

@Jukka: ไม่ฉัน misusingที่นี่ ในขณะที่คุณแบะท่าฉันมีเพื่อแก้ไขข้อโต้แย้งของฉันที่จะใช้แทนoดังนั้นผมขอย้ำคัดค้านที่เกิดขึ้นจริงโดยไม่ต้องใช้หรือOด้วย "อนันต์มักจะ" หนึ่งมีความผิดปกติที่ ,ยัง2) ดังนั้นไม่ได้สั่งจองล่วงหน้า

o

$o$

O

$O$

o

$o$

o

$o$

O

$O$

n = Ω (f (n))

$n = \Omega(f(n))$

f (n) = Ω (n^{2})

$f(n) = \Omega(n^2)$

n \neq Ω (n^{2})

$n \ne \Omega(n^2)$

Ω

$\Omega$

— András Salamon

4

ด้วยKnuthนิยามของคุณสามารถยืนยันเท่านั้น )ในขณะที่คุณสังเกตเห็นสิ่งนี้ไม่ง่ายและเกิดขึ้นกับฟังก์ชันVitányiและ Meertensเรียกว่า "wild" พวกเขาเสนอให้นิยาม $f(n)\in\Omega(n)$

Ω (ฉ (n)) = {ก. | \exists δ > 0 : \forall n_{0} > 0 : \exists n > n_{0} : ก. (n) \geq δ ฉ (n)} .

$\Omega(f(n))=\{ g \mid \exists \delta>0:\forall n_0>0:\exists n>n_0: g(n)\geq \delta f(n)\}\textrm{.}$

(ซึ่งเป็นเช่นเดียวกับความหมายของแลนซ์.) ด้วยเหตุนี้ความหมาย ) $f(n)\in\Omega(n^2)$

— มาร์คัสริตต์
แหล่งที่มา

2

ฉันไม่รู้เกี่ยวกับการใช้กันอย่างแพร่หลาย แต่ฉันเชื่อว่าฉันรู้จักการใช้งานที่เก่าแก่ที่สุด (สำหรับวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์แล้ว)

ในปี 1965 รายงานโดย Hartmanis & Stearns "ในความซับซ้อนของการคำนวณของอัลกอริทึม" Corollary 2.1 คือ:

ถ้าและเป็นฟังก์ชันเวลาเช่น $U$ $T$ จากนั้น $\inf_{n \rightarrow \infty} \frac{T(n)}{U(n)} \geq 0$ $S_{U} \subseteq S_{T}$

ที่เป็นชั้นความซับซ้อนของปัญหาทั้งหมดคำนวณใน )T (n) ต้องเชื่อฟังสำหรับจำนวนเต็มและและแต่มันไม่จำเป็นต้องใช้เวลา $S_{K}$ $O( K(n) )$ $T(n) \geq n/k$ $k$ $n$ $T(n) \leq T(n+1)$

ฟังก์ชั่นของคุณเป็นไปตามกฎข้อแรกสำหรับแต่ไม่ปฏิบัติตามกฎข้อที่สอง $k = 1$

Corollary 2.2 เป็นผู้รับผลตอบแทนข้างต้นและใช้วงเงินสูงสุด แต่ก็ยังมีข้อกำหนดเหล่านี้ ฉันเดาว่าอัลกอริทึมมีความซับซ้อนมากขึ้นในช่วงหลายปีที่ผ่านมาจึงเป็นไปได้ว่าข้อกำหนดได้ผ่อนคลาย

— chazisop
แหล่งที่มา

2

ฉันคิดว่าเราควรแยกแยะระหว่างสองสิ่ง:

ขอบเขตล่างสำหรับฟังก์ชัน
ขอบเขตล่างของปัญหา (อัลกอริทึม)

สำหรับฟังก์ชั่นเมื่อเราแก้ไขคำสั่งนิยามของคำว่าLowerbound / Upperbound จะเป็นดังนี้ ถ้าความสัมพันธ์เพื่อเป็น asymptotic majorization (ไม่สนใจปัจจัยคงที่)

ฉ ⪯ ก. : \exists ค, n \forall ม. > n . ฉ (x) \leq ค ก. (x)

$f \preceq g : \exists c,n \forall m>n. \ f(x) \leq c g(x)$

แล้วความหมายเป็นคำนิยามตามปกติของและΩทั้งสองมีการใช้อย่างกว้างขวางในพื้นที่อื่น ๆ เช่น combinatorics $O$ $\Omega$

แต่เมื่อเราพูดถึงสิ่งที่ต่ำกว่าสำหรับปัญหา (อัลกอริทึม) สิ่งที่เราต้องการพูดจริงๆก็คือปัญหานั้นต้องการทรัพยากรจำนวนหนึ่ง บ่อยครั้งที่ความซับซ้อนของคลาสนั้นถูก parametrized โดยฟังก์ชันเช่นและเราพูดง่าย ๆ ว่าปัญหานั้นถูก จำกัด ขอบเขตด้วยฟังก์ชัน เสียงเดียว ฯลฯ ) สิ่งที่เราต้องการจะพูดในกรณีนี้คือเราต้องการเวลาในการรันเพื่อแก้ปัญหานั่นคือน้อยกว่า $\mathbf{Time}(t(n))$ $n^2$ $n^2$ เวลาทำงานไม่เพียงพออย่างเป็นทางการซึ่งจะกลายเป็นความหมายของแลนซ์ที่เวลาทำงานของอัลกอริทึมไม่ได้อยู่ใน ) $o(t(n))$

— Kaveh
แหล่งที่มา