ฟังก์ชัน Lovasz theta และกราฟปกติ (โดยเฉพาะวงจรคี่โดยเฉพาะ) - การเชื่อมต่อกับทฤษฎีสเปกตรัม

โพสต์นั้นเกี่ยวข้องกับ: /mathpro/59631/lovasz-theta-function-and-independence-number-of-product-of-simple-odd-)

Lovasz ผูกพันกับขีดความสามารถที่ไม่มีข้อผิดพลาดของกราฟปกติไกลแค่ไหนแล้ว? มีตัวอย่างใดบ้างที่ทราบว่าการจับ Lovasz นั้นไม่เท่ากับความจุที่เป็นศูนย์ของข้อผิดพลาดของกราฟปกติ? (นี่คือคำตอบด้านล่างโดย Oleksandr Bondarenko)

โดยเฉพาะอย่างยิ่งความไม่เสมอภาคที่เข้มงวดใด ๆ ที่ทราบกันดีสำหรับวงจรแปลก ๆ ของด้านที่มากกว่าหรือเท่ากับ ?$7$

ปรับปรุง สิ่งที่จำเป็นต้องมีการปรับปรุงในทฤษฎีสเปกตรัมเพื่อปรับปรุงฟังก์ชั่น Lovasz theta เพื่อให้ช่องว่างระหว่างความสามารถของแชนนอนและ Lovasz Theta สำหรับกรณีที่มีช่องว่างลดลง? (หมายเหตุฉันกังวลเฉพาะจากมุมมองสเปกตรัมเท่านั้น)

ในความเป็นจริงมีเป็นที่รู้จักกันกราฟปกติที่กำลังการผลิตเป็นศูนย์ข้อผิดพลาด น้อยกว่า Lov SZ ผูกพัน(G) ดับบลิว Haemers ในได้พิสูจน์ว่าสำหรับส่วนประกอบของSchl FLI กราฟต่อไปนี้ถือ: 9$G$$\Theta(G)$$\acute{a}$$\vartheta(G)$$[1]$$\ddot{a}$ $G$$\Theta(G)\leqslant7<\vartheta(G)=9$

ในมีข้อสังเกตว่า "ที่รู้จักกันเป็นอย่างดีในขอบเขตบนและสำหรับแปลก ๆ และมากกว่าได้รับจาก Lovasz theta function ... " จากนี้ฉันสรุปได้ว่าคำตอบสำหรับคำถามสุดท้ายของคุณคือไม่ (ตั้งแต่นั้นมาฉันก็ไม่รู้ว่าผลลัพธ์จะดีขึ้นหรือไม่)Θ ( C m ) Θ ( ¯ C m ) m $[2]$$\Theta(C_m)$$\Theta(\overline{C}_m)$$m$$5$

การค้นหาความสามารถของแชนนอนแม้สำหรับจะเป็นความก้าวหน้าครั้งสำคัญสำหรับปัญหาที่ยากลำบากนี้ นอกจากนี้ก็สามารถสังเกตได้ว่า$C_7$

"ไม่ทราบว่ามีปัญหาในการตัดสินใจว่าแชนนอนความจุของกราฟอินพุตที่กำหนดเกินค่าที่กำหนดหรือไม่"

1. W. Haemers“ ในปัญหาบางอย่างของ Lov sz เกี่ยวกับความสามารถของแชนนอนของกราฟ$\acute{a}$ "IEEE Trans ทฤษฎีข้อมูลข่าวสาร หมายเลข 25 2, pp. 231–232, มี.ค. 1979
2. T. Bohman, " ทฤษฎีบทขีด จำกัด สำหรับความสามารถของแชนนอนในรอบแปลก ๆ II ," การดำเนินการของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน, 2005
3. N. Alon, " การใช้เหตุผลเชิงผสมในทฤษฎีข้อมูล "