การฝัง Isometric ของ L2 เป็น L1

เป็นที่ทราบกันว่าได้รับเซตย่อย point ของ (นั่นคือได้รับคะแนนในด้วยระยะทางแบบยุคลิด) มันเป็นไปได้ที่จะฝังไว้ในสามมิติ\ ell ^ {n \ select 2 }$n$$\ell_2^d$$n$${\mathbb R}^d$$\ell^{n\choose 2}_1$

isometry คำนวณได้หรือไม่ในเวลาที่เป็นพหุนาม

เนื่องจากมีปัญหาความแม่นยำ จำกัด คำถามที่แม่นยำคือ

รับชุด$X$ของ$n$คะแนนใน${\mathbb R}^d$และ$\epsilon >0$มีการแม็พ$f: X \to {\mathbb R}^{n\choose 2}$คำนวณได้ (อาจใช้การสุ่ม) พหุนามเวลาใน$n$และลอการิทึมใน$1/\epsilon$เช่นนั้นสำหรับทุกๆ$x,y\in X$เรามี

$|| f(x)-f(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \leq (1+ \epsilon) \cdot || f(x)-f(y) ||_1$

(หมายเหตุ: ฉันทราบว่าการแมปที่มีการบิดเบือน$(1+\epsilon)$สามารถพบได้ด้วยความน่าจะเป็นสูงในเวลาพหุนามใน$n$และ$1/\epsilon$โดยฉายบน$O(\epsilon^{-2} \cdot \log n)$สุ่มเส้น แต่ฉันไม่แน่ใจว่าสามารถลดขนาดมิติได้อย่างสร้างสรรค์เป็น$n\choose 2$หรือแม้กระทั่ง$O(n^2)$เมื่อ$1/\epsilon$มีขนาดใหญ่กว่า$n$และฉันไม่รู้ว่ามี เป็นวิธีเวลาพหุนามในการจัดการกรณีที่$1/\epsilon$เป็นเลขชี้กำลังเป็นnใน$n$)

Suresh ขอให้ฉันรวบรวมความคิดเห็นของฉันข้างต้นเป็นคำตอบดังนั้นนี่คือ ฉันไม่แน่ใจจริงๆว่ามันเป็นคำตอบของคำถามเดิม แต่เนื่องจากมันไม่ชัดเจนว่าจะทำให้มันเป็นเวลาแบบพหุนามเมื่อมิติของพื้นที่ว่างแบบยุคลิดอินพุทนั้นไม่คงที่ได้อย่างไร มันไม่อย่างน้อยมีความได้เปรียบในการหลีกเลี่ยงปัญหาใด ๆ กับขนาดใหญ่เป็นคำถามเดิมถามเพราะมันไม่ได้เกี่ยวข้องกับการประมาณใด ๆ และมันก็ดูพหุนามสำหรับคงd$1/\epsilon$$d$

อย่างไรก็ตาม: จากรูปทรงเรขาคณิตหนึ่งมีเป็นตัวชี้วัดมาตรฐานในชุด hyperplanes ในพื้นที่ Euclidean มิติที่มีความคงที่อยู่ใต้ congruences ยุคลิด มันมีคุณสมบัติที่มีความยาวใด ๆ ล้อมรอบความยาวโค้งเป็นสัดส่วนกับตัวชี้วัดของ hyperplanes ที่ข้าม (มีหลายหลากซึ่งหมายความว่าถ้าไฮเปอร์เพลข้ามสองครั้งแล้วมันจะก่อให้เกิดสองครั้งเพื่อวัดรวมของ hyperplanes ข้าม ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเป็นส่วนของเส้นแล้วความซับซ้อนหลายหลากไม่เกิดขึ้นและเราสามารถทำให้มาตรฐานบนไฮเปอร์เพลนข้ามเป็นความยาวของ$d$$C$$C$$C$$C$$C$$C$$C$. (ไฮเปอร์เพลนที่มีมีค่าเป็นศูนย์ดังนั้นไม่ต้องกังวลกับความซ้ำซ้อนแบบไม่มีที่สิ้นสุด)$C$

ตอนนี้เมื่อได้รับชุดของจุด n ในพื้นที่ d-มิติให้ประสานสำหรับแต่ละพาร์ติชันของจุดเป็นสองชุดย่อยที่เกิดจากไฮเปอร์เพลนที่ไม่ผ่านจุดใด ๆ ให้คะแนนด้านใดด้านหนึ่งของค่าพิกัดพาร์ติชันเป็นศูนย์และคะแนนที่อีกด้านหนึ่งของค่าพิกัดพาร์ติชันเท่ากับค่าที่วัดจากชุดของไฮเปอร์เพลนที่ทำให้เกิดพาร์ติชันนั้น$\ell_1$

ถ้าและเป็นที่สองของจุดให้เป็นชุดของ hyperplanes ข้ามส่วนของเส้นและให้เป็นส่วนย่อยของที่เกิดขึ้นจากแต่ละพาร์ทิชันไฮเปอร์เพลนไปได้ว่ามีในด้านหนึ่งและในที่อื่น ๆ จากนั้นคือเนื่องกันของและประสานความแตกต่างระหว่างและเป็นเพียงมาตรการย่อยที่K_iดังนั้นระยะทางระหว่างการประสานงานของและ$p$$q$$n$$K$$pq$$K_i$$K$$p$$q$$K$$K_i$$p$$q$$K_i$$\ell_1$$p$$q$ (ผลรวมของมาตรการที่ ) เป็นตัวชี้วัดของซึ่งเป็นเพียงเดิมระยะห่างระหว่างและQ$K_i$$K$$\ell_2$$p$$q$

สำหรับ geometers คำนวณคำอธิบายทางเลือกของการก่อสร้างเดียวกันอาจจะมีประโยชน์: ใช้คู่ projective จะเปลี่ยนจุดใส่ลงใน hyperplanes และแยก hyperplanes เข้าไปในจุดที่ การวัดทางเรขาคณิตที่สมบูรณ์ในชุดของไฮเปอร์เพลนนั้นจะถูกเปลี่ยนเป็นมาตรฐานเพิ่มเติมสำหรับชุดของจุดระยะห่างระหว่างและทำให้การวัดของ double wedge เป็นสองเท่าระหว่างไฮเปอร์เพลนสองอันและการจัดเรียงไฮเพอร์เพลท . ค่าพิกัดสำหรับจุดเป็นการวัดของเซลล์ใดเซลล์หนึ่งในการจัดเรียง (หากไฮเปอร์เพลนคู่อยู่ด้านล่างเซลล์ของพิกัดของพิกัด) หรือศูนย์ (หากไฮเปอร์เพลนคู่อยู่เหนือเซลล์) ดังนั้นการ$n$$n$$p$$q$$\ell_1$ระยะห่างระหว่างและเป็นเพียงผลรวมของการวัดของเซลล์ในลิ่มสองครั้งซึ่งเท่ากับการวัดของลิ่มสองเท่าทั้งหมด มุมมองสองมุมมองนี้ยังทำให้ง่ายต่อการคำนวณมิติของการฝังที่พบในวิธีนี้: มันเป็นเพียงจำนวนเซลล์ในการจัดเรียงไฮเปอร์เพลนซึ่งก็คือหรือแม่นยำที่สุดi}$p$$q$$O(n^d)$$\sum_{i=0}^d{n\choose i}$

เพื่อให้ห่างไกลนี้จะช่วยให้สมบูรณ์และกำหนดที่แน่นอนในการฝังd)} แต่เราอยากมิติขนาดเล็ก2} นี่คือที่ที่ความคิดเห็นของ Luca เกี่ยวกับทฤษฎีบทของCarathéodoryเข้ามาชุดของ -representable metrics ก่อให้เกิดกรวยรูปหลายเหลี่ยมใน selectมิติมิติของทุกฟังก์ชั่น การวัดแบบยุคลิดเป็นของกรวยนี้ คะแนนของรังสีเอกซ์ของกรวยนั้นเป็นหนึ่งมิติ$\ell_1^{O(n^d)}$$\ell_1^{n\choose 2}$$\ell_1$$n\choose 2$$\ell_1$pseudometrics (ซึ่งคะแนนถูกแบ่งออกเป็นสองชุดระยะทางทั้งหมดภายในชุดเดียวเป็นศูนย์และระยะทางทั้งหมดข้ามการแบ่งเท่ากัน) และCarathéodoryบอกว่าจุดใด ๆ ในกรวย (รวมถึงที่เราสนใจ) แสดงเป็นการรวมกันนูนของจุดบนรังสีมากที่มีจำนวนที่มากที่สุดในมิติของพื้นที่โดยรอบ,2 แต่ชุดค่าผสมนูนที่มากที่สุดเมตริกแบบหนึ่งมิติคือเมตริก$n\choose 2$$n\choose 2$$\ell_1$$\ell_1^{n\choose 2}$

ในที่สุดเราจะคำนวณการฝังมิติแบบมิติได้อย่างไร ณ จุดนี้เราไม่ได้เป็นเพียงจุดในกรวยมิติกรวยนูนของเมตริก (ระยะทางวัดที่เราเริ่มต้นด้วย) แต่เรายังมีจุดสุดขีดของ (ตรงกับพาร์ติชันของอินพุตเป็นชุดย่อยสองอันที่เกิดจากไฮเปอร์เพลนส์) ซึ่งเมตริกของเราเป็นการรวมกันของจุดสุดยอดเหล่านี้ - สำหรับขนาดเล็กนี่เป็นการปรับปรุงครั้งใหญ่รังสีเอกซ์ที่กรวยมี ทั้งหมด ตอนนี้สิ่งที่เราต้องทำก็คือใช้อัลกอริธึมโลภที่กำจัดจุดสุดขีดจากชุดของเราทีละคนจนกระทั่งเหลือเพียง$n\choose 2$$n\choose 2$$\ell_1$$O(n^d)$$d$$2^n-2$$n\choose 2$ของพวกเขาถูกทิ้งไว้ ในแต่ละขั้นตอนเราจำเป็นต้องรักษาไว้เป็นค่าคงที่ตัวชี้วัดของเรายังคงอยู่ในตัวเรือนูนของจุดสุดยอดที่เหลือซึ่งเป็นเพียงปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นและถ้าเราทำCarathéodoryนี้จะทำให้มั่นใจว่าจุดสุดขีดที่ตัวเรือนูนมีเมตริกอินพุต$n\choose 2$