การจำแนกประเภทของแลมบ์ดาประเภทที่พิมพ์ / ไม่พิมพ์

ทุกคนสามารถอธิบายสั้น ๆ (ถ้าเป็นไปได้!) หรือแนะนำให้ฉันอ้างอิง, สรุปความแตกต่างระหว่างแคลคูลัสแลมบ์ดาที่ไม่ได้พิมพ์และแลมบ์ดาที่พิมพ์ร่วมกันมากขึ้น?

ฉันกำลังมองหางบของพลังการแสดงออกของพวกเขาโดยเฉพาะอย่างยิ่งเทียบเท่ากับระบบตรรกะ / คณิตศาสตร์หรือวิธีการคำนวณและคล้ายคลึงกับภาษาการเขียนโปรแกรมถ้ามี

ในขณะที่ฉันตั้งใจจะอ่านบางอย่างเช่นตารางอ้างอิงที่สรุปค่าแคลคูลัสและการเทียบ / ความแตกต่าง / สถานที่ในลำดับชั้นจะเป็นการอ้างอิงขนาดใหญ่เพื่อช่วยฉันเรียงลำดับออก

ไม่ได้บอกว่าด้านล่างถูกต้องเพียงแค่พยายามวาดภาพความประทับใจบางอย่างที่ฉันต้องดูด้วยว่าอย่างน้อยพวกเขาก็เป็นจุดเริ่มต้น (หรือบางอย่างที่ถูกต้อง!)

แคลคูลัสแลมบ์ดาที่ไม่ได้พิมพ์ - eq เป็นลอจิกลำดับแรก - ทำ X ไม่ได้

เพียงพิมพ์แลมบ์ดาแคลคูลัส - eq ถึง ... ตรรกะเกี่ยวข้องกับ Lisp หรือไม่

'Polymorphic' แลมบ์ดาแล็บ - ฯลฯ

แคลคูลัสของการก่อสร้าง - ตรรกะ intutionist?

Combinatory Logic - เปรียบได้กับ ??? พิมพ์แลมบ์ดาแคลคูลัสเกี่ยวข้องกับภาษา APL / J

หากสิ่งนี้เชื่อมโยงกับแลมบ์ดาคิวบ์และสามแกนนั้นดีกว่าทั้งหมด

ในขณะที่ฉันคุ้นเคยกับพื้นฐานของแคลคูลัสแลมบ์ดาและการเขียนโปรแกรมด้วยภาษาที่ใช้งานได้ฉันไม่เคยคาดไม่ถึงหรอกหรือเชื่อมต่อกับระบบประเภทที่เกี่ยวข้องและรสชาติของแลมบ์ดา

เมื่อฉันพยายามค้นคว้าสิ่งนี้ฉันไม่สามารถช่วยได้ แต่พบว่าตัวเองอยู่ข้างนอกเปิดแท็บเบราว์เซอร์จำนวนมากและแตกแขนงในหลายทิศทางฉันไม่เคยเข้าไปในส่วนใดของพวกเขาด้วยความลึกใด ๆ !

ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งที่ฉันขอเหมาะสมหรือไม่ แต่หวังว่าอย่างน้อยที่สุดฉันก็วาดรูปให้เพียงพอเพื่อแนะนำการอ่านบางอย่างที่สามารถอธิบายสิ่งที่ฉันกำลังมองหา?

โต๊ะของคุณสับสนเล็กน้อย นี่คือสิ่งที่ดีกว่า

• แคลคูลัสแลมบ์ดาที่ไม่ได้พิมพ์ - ไม่มีการตีความตรรกะเช่น Andrej บันทึก
• แคลคูลัสแลมบ์ดาเพียงพิมพ์ - ปรีชาเชิงตรรกะแบบมีปรีชาญาณ
• Polymorphic lambda แคลคูลัส - ลอจิกลำดับที่สองที่บริสุทธิ์
• ชนิดที่อ้างถึง - การวางนัยทั่วไปของลอจิกลำดับที่หนึ่ง
• แคลคูลัสของสิ่งปลูกสร้าง - การวางนัยทั่วไปของตรรกะลำดับสูงกว่า

การพึ่งพาประเภทนั้นเป็นเรื่องทั่วไปมากกว่าปริมาณการสั่งซื้อครั้งแรกเนื่องจากจะเปลี่ยนการพิสูจน์เป็นวัตถุที่คุณสามารถหาจำนวนได้ แลมบ์ดานิ่วที่สอดคล้องกับสัญชาตญาณ FOL ทั่วไปนั้นมีอยู่ แต่ไม่ได้ใช้กันอย่างแพร่หลายพอที่จะมีชื่อพิเศษ - ผู้คนมักจะตรงไปที่ประเภทที่พึ่งพา

คุณสามารถเชื่อมโยงรูปแบบวากยสัมพันธ์ของแคลคูลัสกับระบบโลจิคัลได้เช่นกัน

• Combiator calculi (เช่น SKI combinators) - ระบบสไตล์ของฮิลแบร์ต
• รูปแบบปกติ - แคลคูลัสตามลำดับ
• แคลคูลัสแลมบ์ดาสามัญพิมพ์ - การหักธรรมชาติ

บริสุทธิ์ untypedแคลคูลัสทัวริงคือกล่าวคือจำนวน - ทฤษฎีแผนที่คำนวณถ้าถ้าและถ้ามันชัดเจนใน untypedแคลคูลัส พลังการคำนวณของ -calculus นั้นมีขนาดเล็กกว่ามาก ตัวอย่างเช่นถ้าเราเพิ่มประเภทของตัวเลขที่เป็นธรรมชาติที่จะพิมพ์แคลคูลัสร่วมกับสืบและ recursion ดั้งเดิมที่เราได้รับสิ่งที่เป็นที่รู้จักกันทั่วไปว่าเป็นของGödel Tมันคำนวณฟังก์ชั่นการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมเท่านั้น (และพวกเขาจะรวมทั้งหมด)λ λ λ 0 $\lambda$$\lambda$$\lambda$nat$\lambda$$0$$T$

untypedแคลคูลัสไม่มีการตีความที่สมเหตุสมผลภายใต้การติดต่อกันของแกง - ฮาวเวิร์ดในขณะที่การพิมพ์ -calculus สอดคล้องกับแคลคูลัสเชิงประพจน์ intuitionistic$\lambda$$\lambda$

รูปแบบของการพิมพ์ -calculus เป็นประเภทคาร์ทีเซียนที่ปิดอย่างแม่นยำ แบบจำลองของ untypedแคลคูลัสมีพฤติกรรมไม่ดี ในขณะที่เป็นไปได้ที่จะพูดคุยเกี่ยวกับพวกเขาพวกเขาไม่ได้เรียนอย่างกว้างขวางเป็นหมวดหมู่ปิดคาร์ทีเซียน$\lambda$$\lambda$

นอกจากนี้เรายังสามารถสร้างความบันเทิงให้ตัวเองด้วยการถามว่า ที่มูลค่าตามหน้า untyped -calculus ดูเหมือนจะเป็นเรื่องทั่วไปมากกว่าเพราะมันง่ายที่จะฝังประเภทที่พิมพ์ลงไปใน untyped อันหนึ่ง (โดยลืมประเภท) แต่เราสามารถฝัง untypedแคลคูลัสลงในพิมพ์แคลคูลัสโดย positing ชนิดดั้งเดิมพร้อมกับถอดและ ในด้านความหมายนี้สอดคล้องกับการสังเกตของ Dana Scott ว่าทุกรูปแบบของ calculus เกิดขึ้นเป็นวัตถุสะท้อนในหมวดหมู่ที่ปิดคาร์ทีเซียนกล่าวคือได้รับแบบจำลองของ untyped calculus ค้นหาหมวดหมู่λ λ λ U λ C U U [ C o P , S e T ] U ≅ U $\lambda$$\lambda$$\lambda$Ulambda : U -> (U -> U)gamma : (U -> U) -> U$\lambda$$\mathbb{U}$$\lambda$$\mathcal{C}$(ถ้าความทรงจำของฉันทำหน้าที่ฉันถูกมันเป็นการแยก idempotent ของ ) เช่นนั้นสามารถมองเห็นได้เป็นวัตถุประเภท presheaf (ผ่านการฝังโยเนดะ) ความพึงพอใจของสมการ{U}}$\mathbb{U}$$\mathbb{U}$$[\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathsf{Set}]$$\mathbb{U} \cong \mathbb{U}^{\mathbb{U}}$

อ้างอิง:

• Dana S. Scott: " แลมบ์ดาแคลคูลัส: บางรุ่น, ปรัชญาบางอย่าง ", การศึกษาด้านตรรกะและรากฐานคณิตศาสตร์, เล่ม 101, 1980, หน้า 223-265, The Kleene Symposium

• Hendrik Pieter Barendregt: " แคลคูลัสแลมบ์ดา: ไวยากรณ์และความหมายของมัน ", Elsevier, 1984

การอภิปรายที่ครอบคลุมเป็นธรรมของสิ่งนี้สามารถพบได้ในหนังสือเล่มนี้: บรรยายในแกง-โฮเวิร์ดมอร์ฟ นี้ขึ้นอยู่กับรุ่นเก่าใช้ได้อย่างอิสระ: บรรยายในแกง-โฮเวิร์ดมอร์ฟ