Trace Equivalence เทียบกับ LTL Equivalence

ฉันกำลังมองหาตัวอย่างง่ายๆของระบบการเปลี่ยนแปลงสองระบบที่เทียบเท่ากับ LTL แต่ไม่สามารถติดตามได้เทียบเท่ากัน

ฉันได้อ่านหลักฐานการติดตามความเท่าเทียมกันที่ดีกว่า LTL Equivalence ในหนังสือ "หลักการตรวจสอบแบบจำลอง" (Baier / Katoen) แต่ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจจริงๆ ฉันไม่สามารถถ่ายภาพได้อาจมีตัวอย่างง่ายๆที่เห็นภาพความแตกต่างหรือไม่

lo.logic model-checking linear-temporal-logic

— magnattic
แหล่งที่มา

ฉันขอแนะนำให้ขยายคำย่อในชื่อเรื่อง สิ่งนี้จะช่วยให้ผู้อื่นค้นหาคำถามและคำตอบและอาจช่วยนำคำถามของคุณไปยังผู้ที่สามารถให้คำตอบที่ดีได้

— Marc Hamann

ไม่ต้องพูดถึงการค้นหาของ Google :)

— Suresh Venkat

@Marc: การใช้คำย่อ LTL เป็นมาตรฐานอย่างยิ่ง - นักบันทึกคำกริยาชอบชื่อสั้น ๆ (คิดว่า B, D4.3, KL, & c.) ฉันคิดว่าชื่อไม่ควรขยายเนื่องจากเรามีแท็ก

— Charles Stewart

คำถามยังไม่ชัดเจนมาก: คุณอนุญาตให้โครงสร้าง Kripke ไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่ คุณพิจารณาการติดตามแบบ จำกัด (สูงสุด) และการติดตามแบบไม่ จำกัด หรืออนุญาตให้มีเพียงจำนวนที่ไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่ ฉันถามเพราะ AFAICR Baier & Katoen พิจารณาเฉพาะกรณีของโครงสร้าง Kripke ที่ จำกัด และร่องรอยที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งตัดคำตอบของเดฟด้านล่าง

— Sylvain

@atticae: ด้วยโครงสร้าง Kripke ทั้งหมดที่ จำกัด (และมีร่องรอยไม่สิ้นสุด) ฉันคาดหวังความเท่าเทียมกันของ LTL และความเท่าเทียมกันในการติดตามเป็นสิ่งเดียวกัน ... ฉันจะคิดถึงมัน

— Sylvain

คำตอบ:

การอ่าน Baier และ Katoen อย่างใกล้ชิดพวกเขากำลังพิจารณาทั้งระบบการเปลี่ยนแปลงที่แน่นอนและไม่สิ้นสุด ดูคำจำกัดความที่หน้า 20 ของหนังสือเล่มนั้น

ขั้นแรกให้ใช้ระบบการเปลี่ยนอย่างง่าย : $EVEN$

แม้

แทรก: สูตรไม่มี LTL ตระหนักภาษาร่องรอย )สตริง $L_{even} =$ $(EVEN)$ iffสำหรับคู่ ดูWolper '81 คุณสามารถพิสูจน์ได้โดยแสดงให้เห็นเป็นครั้งแรกว่าไม่มีสูตร LTL ที่มีตัวดำเนินการ "ครั้งต่อไป" สามารถแยกแยะสตริงของแบบฟอร์มสำหรับ $c \in L_{even}$ $c_i = a$ $i$ $n$ $p^i\neg p p^\omega$ $i> n$ โดยอุปนัยง่ายๆ

พิจารณาระบบการเปลี่ยนแปลงต่อไปนี้ (ไม่ จำกัด ไม่ จำกัด ) Nโปรดทราบว่ามีสถานะเริ่มต้นที่แตกต่างกันสองสถานะ: $NOTEVEN$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

มันมีร่องรอยอย่างแม่นยำn $\{a,\neg a\}^\omega - L_{even}$

ผลที่ตามมาของเล็มม่า: ถ้าดังนั้น $NOTEVEN \vDash \phi$ $EVEN \not\vDash \neg\phi$

ตอนนี้ให้พิจารณาระบบการเปลี่ยนแปลงอย่างง่ายนี้ว่า : $TOTAL$

รวม TS

ร่องรอยของมันชัดเจน ω $\{a,\neg a\}^\omega$

ดังนั้นและไม่เท่ากัน สมมติว่าพวกเขาเป็น LTL ไม่เท่ากัน จากนั้นเราจะมีสูตร LTL $NOTEVEN$ $TOTAL$ $\phi$ ดังกล่าวว่าและ φแต่แล้ว φนี่คือความขัดแย้ง $NOTEVEN \vDash \phi$ $TOTAL \not\vDash \phi$ $EVEN\vDash \neg\phi$

ขอบคุณ Sylvain ที่จับบั๊กโง่ในคำตอบแรกนี้

— Mark Reitblatt
แหล่งที่มา

อืมมันไม่ชัดเจนอย่างสมบูรณ์ ฉันควรทำให้ขั้นตอนต่างๆเกี่ยวกับความขัดแย้งชัดเจนขึ้นหรือไม่? ระบบการเปลี่ยนแปลงยังไม่เป็นที่รักที่พวกเขาอาจจะ ...

— มาร์ค Reitblatt

You are ผิดพลาดตีความ

ภาษา: ระบบที่คุณจะนำเสนอเทียบเท่ากับสูตร

)

ระบบที่ถูกต้องควรมีทางเลือก nondeterministic ในเบื้องต้นรัฐ -labeled

ระหว่างจะไปรัฐ

ป้ายและเป็นหนึ่งใน

ไม่ได้ระบุว่าโดย ทั้ง

และ

L_{even}

$L_\text{even}$

a \land G ((a \to X \neg a) \land (\neg a \to X a))

$a\wedge\mathsf{G}((a\to\mathsf{X}\neg a)\wedge(\neg a\to\mathsf{X}a))$

a

$a$

q_{0}

$q_0$

q_{1}

$q_1$

a

$a$

q_{2}

$q_2$

a

$a$

q_{1}

$q_1$

มีการเปลี่ยนกลับไป

q_{2}

$q_2$

q_{0}

$q_0$

— Sylvain

@ Sylvain คุณถูกต้อง ฉันพยายามทำให้มันง่ายขึ้นและลงเอยด้วยการทำลายมัน! ขอผมแก้ไขให้ดี

— Mark Reitblatt

คุณไม่สามารถ "ย้อนกลับ" โต้แย้งเพื่อให้ทั้งสองระบบคุณเปรียบเทียบในท้ายที่สุดมี

และ

แทน

และ

E V E N

$\mathit{EVEN}$

T O T A L

$\mathit{TOTAL}$

N O T E V E N

$\mathit{NOTEVEN}$

T O T A L

$\mathit{TOTAL}$

— Sylvain

@ Mark Reitblatt: จากสิ่งที่คุณเหตุผลประโยคในตอนท้ายว่า "แต่แล้ว

."? ฉันไม่เห็นการโต้แย้งที่นำไปสู่จุดนั้นซึ่งเป็นสิ่งจำเป็นในการแสดงความขัดแย้ง

E V E N ⊨ \neg ϕ

$EVEN\vDash \neg\phi$

— magnattic

หากคำจำกัดความ LTL ของคุณมีตัวดำเนินการ "ถัดไป" จะใช้สิ่งต่อไปนี้ คุณมีสองชุดของร่องรอยและBขอใด ๆ คำนำหน้า จำกัด ของการตรวจสอบในBจะต้องเป็นคำนำหน้าอัน จำกัด ของการติดตามในเพราะมิฉะนั้นคุณสามารถแปลงเป็นสูตรที่เป็นเพียงชุดของโอเปอเรเตอร์ถัดไปที่ตรวจจับความแตกต่าง ดังนั้นคำนำหน้า จำกัด ของ -word ทุกคำจะต้องมีคำนำหน้าอัน จำกัด ของ -word และในทางกลับกัน ซึ่งหมายความว่าหากจะต้องมีคำในเพื่อให้คำนำหน้า จำกัด ทั้งหมดของมันปรากฏในแต่ $A$ $B$ $b$ $B$ $b$ $A$ $B$ $A$ $A \not= B$ $b$ $A$ ระบบการเปลี่ยนแปลงอันจำกัดฉันคิดว่ามันเป็นไปไม่ได้ สมมติว่าระบบการเปลี่ยนแปลงที่ไม่มีที่สิ้นสุดคุณสามารถกำหนด $b$ ในตัวเองไม่ปรากฏใน ถ้าและถูกสร้างขึ้นโดย $A$ $A$ $B$

และโดยที่คือเช่นคำไม่สิ้นสุด $A = \{a,b\}^\omega$ $B = A \setminus \{w\}$ $w$ ⋯ $aba^2b^2a^3b^3a^4b^4\cdots$

สูตร LTL ใด ๆ ที่ถือในระดับสากลสำหรับจะถือในระดับสากลสำหรับเพราะเป็นส่วนหนึ่งของ สูตร LTL ใด ๆ ที่มีไว้สำหรับก็มีไว้สำหรับ ; เพื่อประโยชน์ของความขัดแย้งที่ถือว่าไม่ได้ แต่ที่ถือสำหรับองค์ประกอบของทุก $A$ $B$ $B$ $A$ $B$ $A$ $\varphi$ $B$ (เช่นองค์ประกอบของจักรวาลทุกคาดหวังสำหรับคำว่า ) แต่ไม่ได้สำหรับWจากนั้นประเมินให้เป็นจริงในแต่ไม่ได้อยู่ในคำอื่น ๆ ของจักรวาล (และ LTL ปิดให้บริการภายใต้การปฏิเสธ) และไม่มีสูตร LTL ที่สามารถเป็นจริงเพียง แต่สำหรับ $w$ $w$ $\neg\varphi$ $w$ $w$ เนื่องจากหุ่นยนต์ทุกตัวของ Buchi ที่ยอมรับคำเดียวที่ไม่มีที่สิ้นสุดจะต้องเป็นวัฏจักรอย่างเคร่งครัดโดยที่ไม่เป็นเช่นนั้น $w$

— antti.huima
แหล่งที่มา

นั่นคือร่องรอยที่ จำกัด สมมติว่าคุณขยายให้พวกเขาร่องรอยอนันต์กับ

ที่ปลายสูตร

รับชุดที่สอง แต่ปฏิเสธแรก

a^{ω}

$a^\omega$

\neg (b \land X (b \land X G a))

$\neg (b\wedge X (b \wedge X G a))$

— Mark Reitblatt

คุณถูกต้องฉันเขียนคำตอบใหม่ :) LOL ฉันจำได้จากสมัยของฉันในทางทฤษฎี cs ที่ LTL ไม่มีโอเปอเรเตอร์ต่อไป :)

— antti.huima

ฉันคิดว่านี่เป็นกลอุบาย

— Dave Clarke

ฉันคิดว่ามันใช้ได้เหมือนกัน

— Mark Reitblatt

คำตอบนี้ไม่น่าพอใจ สหกรณ์ได้รับการขอเปลี่ยนแปลงระบบ แต่คำตอบเป็นเรื่องเกี่ยวกับภาษาและเป็นธรรมในแง่ของ Buchi ออโตและ

ภาษา -regular ซึ่งไม่ได้อยู่ในข้อความที่อ้างถึง

ω

$\omega$

— Mark Reitblatt