ข้อเสนอประเภทคืออะไร? (ประเภทใดกันแน่)

ฉันอ่านมากเกี่ยวกับระบบการพิมพ์และฉันเข้าใจว่าทำไมพวกเขาถึงได้รับการแนะนำ (เพื่อแก้ไขความขัดแย้งของรัสเซล) ฉันยังเข้าใจความเกี่ยวข้องในทางปฏิบัติในภาษาโปรแกรมและระบบพิสูจน์อย่างคร่าวๆ อย่างไรก็ตามฉันไม่มั่นใจอย่างเต็มที่ว่าแนวคิดของฉันคือสิ่งที่ถูกต้อง

คำถามของฉันคือมันถูกต้องที่จะอ้างว่าประเภทเป็นข้อเสนอ

กล่าวอีกนัยหนึ่งคำว่า "n คือจำนวนธรรมชาติ" สอดคล้องกับคำสั่ง "n มีประเภท 'จำนวนธรรมชาติ'" หมายถึงกฎพีชคณิตทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับจำนวนธรรมชาติถือสำหรับ n (กล่าวคืออีกวิธีหนึ่งกฎเกี่ยวกับพีชคณิตคือข้อความงบเหล่านั้นที่ถือเป็นจริงสำหรับตัวเลขธรรมชาติยังถือจริงสำหรับ n)

นี่หมายความว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์สามารถมีมากกว่าหนึ่งประเภทได้หรือไม่?

นอกจากนี้ฉันรู้ว่าชุดนั้นไม่เทียบเท่ากับประเภทเพราะคุณไม่สามารถมีชุดทั้งหมดได้ ฉันจะเรียกร้องว่าถ้าชุดเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์คล้ายกับจำนวนหรือฟังก์ชั่นเป็นประเภทคือการจัดเรียงของวัตถุ meta-ทางคณิตศาสตร์และตรรกะเดียวกันเป็นชนิดเป็น meta-meta-คณิตศาสตร์วัตถุ? (ในแง่ที่ว่า "meta" ทุกตัวบ่งบอกถึงระดับที่สูงขึ้นของนามธรรม ... )

สิ่งนี้มีการเชื่อมโยงกับทฤษฎีหมวดหมู่หรือไม่?

บทบาทที่สำคัญของประเภทคือการแบ่งวัตถุที่น่าสนใจในจักรวาลที่แตกต่างกันมากกว่าที่จะพิจารณาทุกสิ่งที่มีอยู่ในจักรวาลเดียว ในขั้นต้นประเภทต่าง ๆ ได้รับการคิดค้นเพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้ง แต่อย่างที่คุณทราบพวกเขามีแอปพลิเคชั่นอื่น ๆ อีกมากมาย ประเภทให้วิธีการจัดประเภทหรือแบ่งประเภทวัตถุ (ดูรายการบล็อก )

งานบางอย่างกับสโลแกนที่ข้อเสนอเป็นประเภทดังนั้นสัญชาตญาณของคุณจะให้บริการคุณได้ดีแม้ว่าจะมีงานเช่นข้อเสนอเป็น [ประเภท]โดย Steve Awodey และ Andrej Bauer ที่ระบุเป็นอย่างอื่นนั่นคือแต่ละประเภทมีข้อเสนอที่เกี่ยวข้อง ความแตกต่างเกิดขึ้นเนื่องจากประเภทมีเนื้อหาในการคำนวณในขณะที่ข้อเสนอไม่มี

วัตถุที่สามารถมีได้มากกว่าหนึ่งประเภทเนื่องจากSubtypingและผ่านประเภท coercions

โดยทั่วไปประเภทต่างๆจะถูกจัดเรียงเป็นลำดับชั้นโดยที่ประเภทต่าง ๆ มีบทบาทเป็นประเภทของประเภทนั้น แต่ฉันจะไม่พูดเท่าที่บอกว่าประเภทนั้นเป็นเมตาคณิตศาสตร์ ทุกอย่างที่เกิดขึ้นในระดับเดียวกัน - นี้เป็นโดยเฉพาะอย่างยิ่งกรณีที่เมื่อต้องรับมือกับประเภทขึ้นอยู่กับ

มีการเชื่อมโยงที่แข็งแกร่งมากระหว่างประเภทและทฤษฎีหมวดหมู่ แท้จริงบ๊อบฮาร์เปอร์ (quoting Lambek) กล่าวว่า Logics ภาษา (ที่อาศัยประเภท) และรูปแบบหมวดหมู่ศักดิ์สิทธิ์ พิเศษ:

ทั้งสามด้านนี้ก่อให้เกิดการนมัสการถึงสามนิกาย: ตรรกะซึ่งให้ความเป็นอันดับหนึ่งในการพิสูจน์และข้อเสนอ; ภาษาซึ่งให้ความสำคัญกับโปรแกรมและประเภท หมวดหมู่ซึ่งให้ความสำคัญกับการจับคู่และโครงสร้าง

คุณควรดูที่Curry-Howard Correspondenceเพื่อดูการเชื่อมโยงระหว่างลอจิกและภาษาการเขียนโปรแกรม (ประเภทคือข้อเสนอ) และหมวดหมู่ปิดคาร์ทีเซียนเพื่อดูความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีหมวดหมู่