Asymptotics สำหรับเปลี่ยนเหรียญ

ได้รับเหรียญนิกายกับและเป็นตัวเลขสุ่มกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วง ]Asymptotically อัลกอริทึมโลภที่สร้างเศษส่วนของเหรียญเปลี่ยนแปลงอย่างเหมาะสมที่สุดโดยใช้ชุดของนิกายนี้ $n$ $c_1=1$ $c_2<c_3<..<c_{n}$ $[2,N]$

คำตอบนั้นเป็นที่รู้จักสำหรับ3 นิกาย ; แต่แล้วเรื่องทั่วไปล่ะ

ds.algorithms

— พระพิฆเนศวร
แหล่งที่มา

การสร้างความน่าจะเป็นสำหรับ 4 นิกายนั้นถูกวางโดย Thane Plambeck ซึ่งได้จัดทำนิพจน์สำหรับความน่าจะเป็นสำหรับ 3 นิกาย (ดูลิงค์ที่ให้บริการโดย OP) OP กำลังถามคำถามทั่วไปเกี่ยวกับพฤติกรรมแบบอะซิมโทติคของความน่าจะเป็นนี้ ซึ่งอาจเหมาะสำหรับ math.SE และ MO ด้วยแท็ก asymptotics @Ganesh: อะไรคือแรงจูงใจ TCS ของคุณหรือเหตุผลของแท็ก ds.algorithms

— András Salamon

@ Andras นี่เป็นปัญหาเชิงทฤษฎีที่ซับซ้อนมาก ตัวอย่างเช่นหากวิธีการโลภได้รับทางออกที่ดีที่สุดบอกว่า 90% ของเวลาฉันอาจลืมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกและชำระเงินสำหรับโซลูชั่นที่ไม่ดีส่วนที่เหลืออีก 10% ของเวลา บางทีนี่อาจเหมาะสมกว่าในวิชาคณิตศาสตร์ * แต่แรงจูงใจอยู่ใน TCS ในที่สุด "แท็กที่ถูกต้อง" ได้หลบหนีฉัน - ดังนั้นฉันจึงคิดว่า ds.algorithms นั้นเป็นการประมาณที่ดีที่สุด

— Ganesh

นี่ไม่ใช่คำตอบ แต่อาจจะนำคุณหรือคนอื่นไปในทิศทางที่ถูกต้อง

ฉันพบกระดาษโดย D. Kozen และ S. Zaks เรียกว่า"ขอบเขตที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหาการเปลี่ยนแปลง"ซึ่งพวกเขาให้เงื่อนไขว่าเมื่อการเปลี่ยนแปลงแบบโลภของการเปลี่ยนเหรียญทำให้อัลกอริทึมเป็นสิ่งที่ดีที่สุด ฉันจะใช้สัญลักษณ์ของพวกเขา

$m$
$(c_{1}, c_{2}, c_{3}, \dots, c_{m - 1}, c_{m})$ $( c_1, c_2, c_3, \cdots, c_{m-1}, c_{m} )$ $c_{1} = 1 < c_{2} < c_{3} < \dots < c_{m - 1} < c_{m}$ $c_1 = 1 < c_2 < c_3 < \cdots < c_{m-1} < c_m$ $M(x)$ $x$ $G(x)$ $x$ $M(x) \ne G(x)$ $c_{3} + 1 < x < c_{m - 1} + c_{m}$ $c_3 + 1 < x < c_{m-1} + c_m$

พวกเขาแสดงให้เห็นว่า

$x$ $c_3 + 1 < x < c_{m-1} + c_m$
$G (x) \leq G (x - c) + 1$ $G(x) \le G(x-c) + 1$ $c \in (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{m})$ $c \in (c_1, c_2, \cdots, c_m )$ $G(x) = M(x)$

สิ่งนี้ทำให้เรามีการทดสอบ "ที่มีประสิทธิภาพ" (จนถึงเวลาพหุนามเทียม) เพื่อตรวจสอบว่าอินสแตนซ์การเปลี่ยนเหรียญนั้นโลภหรือไม่

จากการใช้ข้างต้นฉันได้ทำการจำลองแบบสั้น ๆ เกี่ยวกับผลลัพธ์ที่ได้รับการพล็อตในระดับล็อก - ล็อกด้านล่าง

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

$m$ $[1 \cdots N]$

$m=3$ $\frac{8}{3} N^{-\frac{1}{2}}$

p_{m} (N) \propto N^{- \frac{(m - 2)}{2}}

$p_m(N) \propto N^{-\frac{(m-2)}{2} }$

$p_m(N)$ $m$ $N$

$m$ $N$

$(1, 5, 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000)$ ) ซึ่งไม่ปรากฏว่ามีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ บางทีการดูการแจกแจงอื่น ๆ เพื่อสร้างเหรียญจะทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ไม่น่ารำคาญในขีด จำกัด ของระบบขนาดใหญ่ ตัวอย่างเช่นการกระจายของกฎหมายพลังงานอาจให้ผลตอบแทนแบบเหรียญที่คล้ายคลึงกับของสหรัฐอเมริกา

— user834
แหล่งที่มา