พื้นที่ที่มีประสิทธิภาพ "อุตสาหกรรม" ส่วนขยายที่ไม่สมดุล

ฉันกำลังมองหาส่วนขยายที่ไม่สมดุลซึ่ง "ดี" และ "ประหยัดพื้นที่" โดยเฉพาะกราฟสองฝ่ายซ้ายปกติ , , , ด้วยองศาซ้าย$G=(A,B,E)$| B | = m $|A|=n$$|B|=m$$d$เป็น -expander ถ้าใด ๆS ⊂ของ ขนาดสูงสุดkจำนวนเพื่อนบ้านที่แตกต่างของSในBอย่างน้อย( 1 - ϵ ) d | S | . เป็นที่ทราบกันดีว่าวิธีความน่าจะเป็นนั้นให้กราฟกับd = $(k,\epsilon)$$S \subset A$$k$$S$$B$$(1-\epsilon)d|S|$และม. = O ( k ล็อก( n / k ) / ε 2 ) อย่างไรก็ตามหนึ่งต้องการพื้นที่ O ( n d )เพื่อจัดเก็บกราฟดังกล่าว นอกจากนี้ยังต้องเข้าถึงที่เก็บข้อมูลนี้เมื่อทำอะไรกับกราฟซึ่งอาจมีค่าใช้จ่ายเช่นกัน เป็นการดีที่คนหนึ่งต้องการการก่อสร้างที่ชัดเจน อย่างไรก็ตามเท่าที่ฉันรู้สิ่งก่อสร้างที่รู้จักบรรลุพารามิเตอร์ที่ยังค่อนข้างไกลจากด้านบน (อย่างน้อยก็พิสูจน์ได้)$d=O(\log (n/k)/\epsilon)$$m=O(k \log(n/k)/\epsilon^2)$$O(n d)$

คำถามของฉัน: มีสิ่งปลูกสร้างอื่น ๆ ที่อาจไม่ชัดเจนซึ่งบรรลุขอบเขต "ใกล้" กับสิ่งที่กล่าวมาข้างต้น แต่ใช้ "น้อยกว่า" อย่างมีนัยสำคัญกว่าพื้นที่ ?$O(nd)$

ฉันกำลังมองหาคำตอบในสามหมวดหมู่นี้: (a) ทฤษฎีบท (b) การคาดการณ์ (c) การสังเกตและ "สงคราม - เรื่องราว" เช่น "เราทำสิ่งนี้และมันดูเหมือนว่าจะทำงาน (เรียงลำดับ)" นั่นคือตัวขยาย "อุตสาหกรรม" นั้นใช้ได้ ฉันชอบ (a) มากกว่า (b) และ (b) มากกว่า (c) แต่คนขอทานไม่สามารถเป็นผู้เลือกได้ :)

นี่คือตัวอย่างของการก่อสร้างประเภท (c) ใช้สุ่มเชิงเส้นฟังก์ชันแฮชเอชฉัน : [ n ] → [ M ] (สมัยม. ) และเชื่อมต่อจุดสุดยอดในแต่ละฉันไปชั่วโมง1 ( ฉัน) ... เอชd ( ฉัน ) ฉันและนักเรียนของฉันทำการทดลองบางอย่างกับมันและดูเหมือนว่าจะทำงานได้ดี มีทฤษฏีหรือการคาดเดาเกี่ยวกับสิ่งนี้หรือสิ่งปลูกสร้างที่เกี่ยวข้องหรือไม่?$d$$h_i: [n] \to [m]$$m$$i$$h_1(i) \ldots h_d(i)$

ขอบคุณ!

Eickmeyer และ Grohe (2010)พิสูจน์ว่าการก่อสร้างผู้สมัครของคุณสามารถทำอย่างชัดเจน: ใช้ค่อนข้าง linearly อิสระฟังก์ชันแฮชเชิงเส้นเอช1 , ... , ซงและจุดซ้ายเชื่อมต่อvมีจุดขวาเอช1 ( วี) , ... , ซง ( โวลต์ ) Eickmeyer และ Grohe แสดงให้เห็นว่าการก่อสร้างนี้ให้( k , ϵ ) - ผู้ที่มีองศาซ้ายd = k ( t - 1 $d$$h_1,\dots,h_d$$v$$h_1(v),\dots,h_d(v)$$(k,\epsilon)$เมื่อใดก็ตามที่ tเป็นจำนวนเต็มชุดจุดสุดยอดด้านซ้ายมีขนาด n = q tชุดจุดสุดยอดด้านขวามีขนาด m = d qและ q > dเป็นพลังสำคัญ ฟังก์ชันแฮช h 1 , … , h dได้รับการคัดเลือกในลักษณะที่ว่า tใด ๆของพวกเขานั้นมีความเป็นอิสระในเชิงเส้นตรง$d=k(t-1)/(2\epsilon)$$t$$n=q^t$$m=dq$$q>d$$h_1,\dots,h_d$$t$

ฉันคิดว่าการสำรวจ / พูดคุยโดย Avi Wigderson อาจช่วยคำถามของคุณได้ นี่คือสไลด์จากการพูดคุยล่าสุด: Expander สอนมิถุนายน 2010 สิ่งปลูกสร้างเริ่มต้นในหน้า 40

เกี่ยวกับความซับซ้อนของพื้นที่ฉันคิดว่ามันจะมีประโยชน์ถ้าคุณระบุการดำเนินการที่คุณต้องทำบนกราฟ ถ้าฉันไม่เข้าใจผิดบางสิ่งปลูกสร้างอนุญาตการดำเนินการเช่นการคำนวณพื้นที่ใกล้เคียงใน logspace