ความไม่สมดุลสูงสุดในกราฟ?

ให้เป็นกราฟที่เชื่อมต่อกับโหนดและขอบEให้แสดงน้ำหนัก (จำนวนเต็ม) ของกราฟด้วยน้ำหนักรวมในกราฟ น้ำหนักเฉลี่ยต่อโหนดแล้ว n ให้แสดงการเบี่ยงเบนของโหนดจากค่าเฉลี่ย เราเรียกความไม่สมดุลของโหนดฉัน $G$ $G = (V,E)$ $V = 1 \dots n$ $E$ $w_i$ $G$ $\sum_i w_i = m$ $\bar w = m/n$ $e_i = w_i - \bar w$ $i$ $|e_i|$ $i$

สมมติว่าน้ำหนักระหว่างสองโหนดที่อยู่ติดกันสามารถแตกต่างกันได้มากที่สุดคือ $1$

w_{i} - w_{j} \leq 1 \forall (i, j) \in E .

$w_i - w_j \le 1\; \forall (i,j) \in E.$

คำถาม : อะไรคือความไม่สมดุลที่ใหญ่ที่สุดที่เครือข่ายสามารถมีได้ในแง่ของและ ? จะแม่นยำมากขึ้น, ภาพเวกเตอร์e_n) ฉันเป็นเนื้อหาที่เท่าเทียมกันกับผลเกี่ยวกับหรือ|| $n$ $m$ $\vec{e} = (e_1, \dots, e_n)$ $||\vec{e}||_1$ $||\vec{e}||_2$

สำหรับขอบเขตที่ง่ายในแง่ของเส้นผ่าศูนย์กลางกราฟสามารถพบได้: เนื่องจากทั้งหมดจะต้องรวมกันเป็นศูนย์ถ้ามีเป็นบวกขนาดใหญ่จะต้องมีเป็นค่าลบ. ดังนั้นความแตกต่างของพวกเขาอย่างน้อยแต่ความแตกต่างนี้อาจเป็นระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างโหนดและซึ่งจะเป็นเส้นผ่านศูนย์กลางกราฟได้มากที่สุด $||\vec{e}||_\infty$ $e_i$ $e_i$ $e_j$ $|e_i - e_j|$ $|e_i|$ $i$ $j$

ฉันสนใจในขอบเขตที่แข็งแกร่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ - หรือ - ปกติ ฉันคิดว่ามันควรจะเกี่ยวข้องกับทฤษฎีกราฟสเปกตรัมเพื่อสะท้อนการเชื่อมต่อของกราฟ ฉันพยายามแสดงว่ามันเป็นปัญหาการไหลเวียนสูงสุดเพื่อประโยชน์ $1$ $2$

แก้ไข: คำอธิบายเพิ่มเติม ฉันสนใจใน - หรือ - ไม่ใช่เพราะพวกเขาสะท้อนความไม่สมดุลทั้งหมดได้อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น ความสัมพันธ์เล็กน้อยจะได้มาจากและn} ฉันคาดหวังว่าเนื่องจากความเชื่อมโยงของกราฟและข้อ จำกัด ของฉันในความแตกต่างของการโหลดระหว่างโหนดที่อยู่ติดกันทำให้ - และ -norms ควรมีขนาดเล็กกว่ามาก $1$ $2$ $||\vec{e}||_1 \leq n|||\vec{e}||_\infty$ $||\vec{e}||_2 \leq \sqrt{n}||\vec{e}||_\infty$ $1$ $2$

ตัวอย่าง: Hypercube มิติ d กับ d มันมีขนาดเส้นผ่าศูนย์กลาง(n) ความไม่สมดุลสูงสุดแล้วที่มากที่สุดdนี้แสดงให้เห็นเป็นขอบเขตบนสำหรับ -norm(n) จนถึงตอนนี้ฉันยังไม่สามารถสร้างสถานการณ์ที่ได้รับสิ่งนี้จริง ๆ สิ่งที่ดีที่สุดที่ฉันสามารถทำได้คือบางสิ่งตามแนวที่ฉันฝังวงจรลงใน ไฮเปอร์คิวบ์และโหนดมีความไม่สมดุลของ , , ,เป็นต้นดังนั้นที่นี่ขอบเขตถูกปิดโดยปัจจัยของ $n = 2^d$ $d = \log_2(n)$ $d$ $1$ $nd = n\log_2(n)$ $||\vec{e}||_1 = n/2$ $0$ $1$ $0$ $-1$ $\log(n)$ ซึ่งฉันคิดมากเกินไปแล้วขณะที่ฉันกำลังมองหา (ตึง) แบบ จำกัด

graph-theory co.combinatorics spectral-graph-theory

— Lagerbaer
แหล่งที่มา

คำถามที่น่าสนใจ มีแอปพลิเคชั่นใดเป็นพิเศษหรือไม่

— Suresh Venkat

@ András Salamon: ขอบคุณสำหรับการแก้ไข @Suresh Venkat: สมมติว่าน้ำหนักเป็นตัวแทนของตัวแทนขนาดเท่ากันซึ่งต้องการลดภาระประสบการณ์ของพวกเขา พวกเขาจะต้องการที่จะย้ายจาก

ไป

ถ้า

ฉัน

หากไม่มีใครต้องการย้ายเราเรียกมันว่าสมดุลของแนช คำถาม: อะไรคือความไม่สมดุลรวมที่ใหญ่ที่สุดที่เราอาจมีในสมดุลของแนช?

i

$i$

j

$j$

w_{i} > w_{i}

$w_i > w_i$

— Lagerbaer

คุณเคยมีตัวอย่างของกราฟที่เส้นผ่านศูนย์กลางธรรมดาของคุณหลวมเกินไปหรือไม่?

— mhum

ฉันสามารถผูกสองบรรทัดฐานโดยใช้เล็กน้อย

∞

ฉันสนใจใน

- หรือ

- ปกติเพราะพวกเขาจับภาพความไม่สมดุล "รวม" ได้แม่นยำยิ่งขึ้น ฉันได้เพิ่มตัวอย่างคำถามของฉัน

| | \vec{e} | |_{1} \leq n | | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_1 \leq n||\vec{e}||_\infty$

1

$1$

2

$2$

— Lagerbaer

สำหรับ hypercube จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราชั่งน้ำหนักจุดยอดด้วยน้ำหนัก Hamming ของพวกมัน ฉันจะได้รับสิ่งที่ต้องการ

สำหรับ

และผมคิดว่า

จะได้รับการสั่งซื้อ

\sqrt{d (n - 2)} / 2

$\sqrt{d(n - 2)}/2$

l_{2}

$l_2$

l_{1}

$l_1$

n d

$nd$

— Artem Kaznatcheev

คำตอบ:

ตั้งแต่มีขอบเขตโดยเส้นผ่าศูนย์กลางที่บรรทัดฐานจะถูกล้อมรอบนิด ๆ โดยเช่นเดียวกันสำหรับบรรทัดฐานยกเว้น $|e_i|$ $d$ $\ell_1$ $nd$ $\ell_2$ (ในความเป็นจริงบรรทัดฐานเป็นที่สิ้นสุดโดย) $\sqrt{n}d$ $\ell_p$ $n^{1/p}d$

คดีกลายเป็นเรื่องง่ายที่จะวิเคราะห์อย่างน่าประหลาดใจ $\ell_1$

สำหรับเส้นทางที่มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าคือดังนั้นคุณจึงไม่สามารถดำเนินการใด ๆ ที่ดีกว่า ) $\|\vec e\|_1$ $O(n^2)$ $O(nd)$

สำหรับต้นไม้ -ary ที่สมบูรณ์คุณสามารถแบ่งครึ่งที่รากได้โดยตั้งค่าจากนั้นขึ้นไปด้านหนึ่งและลงมาอีกด้านหนึ่งจนกว่าจะมี , สร้างอีกครั้ง $k$ $w_{\text{root}} = 0$ $|e_i| = |w_i| = \log_k n$ $O(n\log_k n) = O(nd)$

สำหรับก๊กมันไม่สำคัญว่าคุณจะกระจายน้ำหนักอย่างไรเพราะมันจะอยู่ภายในของกันและกันและนั่นจะทำให้อีกครั้ง $1$ $O(n) = O(nd)$

เมื่อคุณรู้ว่าสิ่งที่เรากำลังพูดถึงนี่คือฟังก์ชั่นจากนั้นเราจะใช้บรรทัดฐานตราบเท่าที่คุณสามารถกระจายน้ำหนักได้ตามอำเภอใจอย่างสม่ำเสมอในช่วงที่ถูกผูกไว้จะเป็น ) $e : \mathbb{Z} \to [-d/2,d/2] \subset \mathbb{R}$ $\ell_1$ $e_i \in [-d/2,d/2]$ $O(nd)$

วิธีเดียวที่จะเปลี่ยนแปลงสิ่งนี้คือการเล่นเกมกับมวลชน ตัวอย่างเช่นถ้าคุณมีชมรมยักษ์หลายจุดที่มีความสมดุลจำเป็นต้องเหมือนก๊กยักษ์ที่มีสองเส้นทางความยาวเท่ากันที่ยื่นออกมาจากมันแล้วคุณสามารถนับบนผูกพันเพียง (ตัวอย่าง) ) $O(d^2)$

นี่อาจเป็นจริงสำหรับผู้ขยายในระดับหนึ่งเช่นกัน แต่ฉันไม่แน่ใจ ฉันสามารถจินตนาการถึงกรณีที่คุณตั้งค่าในกราฟปกติแล้วปล่อยให้ค่าเพิ่มขึ้นในภายหลังจากทุกการฟ้อนรำ ดูเหมือนว่าค่าเฉลี่ยอาจมีมวลมากที่สุด แต่ฉันไม่รู้ว่ามันจะเพียงพอที่จะกระทบขอบเขต $w_1 = 0$

ผมคิดว่าคุณอาจจะด้วยเหตุผลทำนองเดียวกันเกี่ยวกับ 2 $\ell_2$

แก้ไข:

ในความคิดเห็นที่เราคิดออก (หลวม) ผูกพันของโดยใช้ข้อ จำกัด ของปัญหาและพื้นฐานบางทฤษฎีกราฟสเปกตรัม $\ell_2$ $O(|E|/\lambda_2(L))$

— Josephine Moeller
แหล่งที่มา

ฉันชอบคำตอบของคุณ อย่างไรก็ตามฉันมีปัญหากับ " ตราบใดที่คุณสามารถแจกจ่ายน้ำหนักได้อย่างเท่าเทียมกันทั่วทั้งช่วง " ฉันไม่สามารถจินตนาการสถานการณ์ที่เส้นผ่านศูนย์กลางถูกผูกไว้จะอนุญาตให้ฉันวางน้ำหนัก

ที่ไหนสักแห่ง แต่โครงสร้างของกราฟเป็นเช่นนั้นที่ฉันไม่สามารถชดเชยน้ำหนักบวกขนาดใหญ่นี้ได้ ดังนั้นในขณะที่

แน่นอนว่าเป็นขอบเขตสูงสุด แต่เป็นไปได้ไหมที่จะได้รับขอบเขตที่แน่นขึ้น? ในที่สุดคุณใช้ Laplacian eigenvalue ที่เล็กที่สุดเป็นอันดับสองหรือ eigenvalue adjacency ที่ใหญ่ที่สุดเป็นอันดับสอง (ขณะที่เข้ารหัสข้อมูลการเชื่อมต่อ)

e_{i} = d / 2

$e_i = d/2$

O (n d)

$\mathcal{O}(nd)$

— Lagerbaer

ดีที่คุณจะไม่ได้รับการวาง

คุณวางกำลัง

ฉัน

ดังนั้นหากคุณมี

เอียง

ต้องมีตุ้มน้ำหนักขนาดเล็กจำนวนมากที่ชดเชยมันที่ด้านตรงข้ามของค่าเฉลี่ยหรือน้ำหนักขนาดใหญ่อื่น ๆ ที่ขัดกับ diametrically วิธีเดียวที่คุณจะได้รับขอบเขตที่เล็กกว่า

คือการพึ่งพาโครงสร้างอย่างใด และอย่างที่ฉันพูดฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้หมายความว่าอย่างไรสำหรับผู้ขยาย ฉันไม่คิดว่าคุณสามารถทำได้โดยขึ้นอยู่กับการดำเนินการอย่างหมดจดเพราะกรณีที่ฉันวางไว้ในคำตอบของฉัน

e_{i}

$e_i$

w_{i}

$w_i$

e_{i}

$e_i$

O (n d)

$O(nd)$

— Josephine Moeller

ผมขอเสนออีกตัวอย่างหนึ่ง กราฟดัมเบลที่มีสองกลุ่มมีค่านำไฟฟ้าต่ำมาก แต่ความไม่สมดุลของมันถูกล้อมรอบด้วย 2

— โจเซฟินโมเอลเลอร์

ขอบเขตที่เกี่ยวข้องกับโครงสร้างจะเป็นสิ่งที่ฉันมีความสุขอย่างสมบูรณ์ นั่นเป็นเหตุผลที่ฉันพูดถึงค่าลักษณะเฉพาะเนื่องจากเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติการเชื่อมต่อ มี, เช่น, ขอบเขตบนเส้นผ่านศูนย์กลาง, เส้นทางเฉลี่ย, หมายเลขไอโซโทปรังสี ฯลฯ ในรูปของ eigenvector ที่เล็กที่สุดเป็นอันดับสองของ Laplacian matrix ของกราฟ

— Lagerbaer

อ่านตัวอย่างอื่นของคุณตอนนี้ ผมคาดหวังว่าเช่นกราฟจะมีขนาดเล็กมาก eigenvalue สองที่เล็กที่สุด Laplacian เช่นกันเป็นจำนวน isoperimetric จะประมาณ

2 / n

$2/n$

— Lagerbaer

สำหรับกราฟที่เชื่อมต่อความไม่สมดุลจะถูกล้อมรอบด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของกราฟ เพื่อที่จะผูกความไม่สมดุล เราสามารถเขียนแต่ละเป็น ที่ $|w_i - 1/n\sum_k w_k|$ $w_k$ $w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i + w_i$ เป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดจากจะ kกำหนดฉันเราสามารถเขียน $w_k, v_1,...,v_k, w_i$ $w_i$ $w_k$ $w_{ki} = w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | = | w_{i} - 1 / n \sum_{k} (w_{k i} + w_{i}) | = | \sum_{k \neq i} \frac{w_{k i}}{n} |

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| = |w_i - 1/n\sum_k (w_{ki} + w_i)| = |\sum_{k\neq i} \frac{w_{ki}}{n}|$

แต่ละมีขอบเขตบนโดยความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดจากไปโดยสมมติฐานของคุณที่สำหรับแต่ละ Eดังนั้นเราจึงได้รับขอบเขตเล็กน้อย: $w_{ki}$ $i$ $k$ $w_i - w_j \leq 1$ $i,j\in E$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | \leq \frac{(n - 1)}{n} D

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| \leq \frac{(n-1)}{n} D$

สิ่งนี้อาจไม่ไกลเกินไปจากความเหมาะสม ฉันคิดว่าต้นไม้ -ary ที่สมบูรณ์ซึ่งโหนดในแต่ละระดับมีน้ำหนักหนึ่งสูงกว่าน้ำหนักของระดับก่อนหน้านี้ เศษขนาดใหญ่ของกราฟมีน้ำหนักสูงสุด 1ดังนั้นค่าเฉลี่ยควรเอียงไปด้านบน เมื่อและมีขนาดใหญ่ขึ้นฉันคาดว่าจะเข้าใกล้ซึ่งหมายถึงความไม่สมดุลควรเข้าใกล้มากขึ้น $k$ $D+1$ $k$ $n$ $m$ $D+1$ $D$

— Nicholas Ruozzi
แหล่งที่มา

เท่าที่ฉันสามารถบอกได้ว่าการก่อสร้างภาพร่างที่นี่สามารถทำได้อย่างเข้มงวดเพื่อให้เกิดความไม่สมดุลใกล้เคียงกับ

ตามที่ต้องการ อย่างไรก็ตามเนื่องจากคำถามไม่ได้ระบุสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อไม่ได้เป็นจุดที่อยู่ติดกันก่อสร้างได้ง่ายขึ้นคือกราฟตัดการเชื่อมต่อสมบูรณ์ด้วยยอด

มีน้ำหนัก

และจุดอื่น ๆ ที่มีน้ำหนักk

นี่มีน้ำหนักเฉลี่ย

ซึ่งเป็นความไม่สมดุลสูงสุดด้วย สิ่งนี้สามารถทำให้ใกล้เคียงกับ

อย่างชัดเจนโดยเลือก

และ

มีขนาดใหญ่พอ

D < \infty

$D<\infty$

0

$0$

0

$0$

k

$k$

k (n - 1) / n

$k(n-1)/n$

k

$k$

n

$n$

k

$k$ สามารถทำให้มีขนาดใหญ่เท่าที่ต้องการ

— András Salamon

@ András Salamon: จุดดี คำตอบข้างต้นอนุมานว่ากราฟที่ให้

เชื่อมต่ออยู่ ฉันจะแก้ไขเพื่อให้ชัดเจน

G

$G$

— นิโคลัส Ruozzi

ฉันได้เพิ่มข้อ จำกัด "เชื่อมต่อ" ในคำถามของฉันเนื่องจากนี่คือสิ่งที่ฉันมีอยู่ในใจ คำตอบที่นี่นำเสนอขอบเขตบน

∞

นอกจากนี้เมื่อฉันถามถึงกรณี "แย่ที่สุด" ฉันทราบว่ากราฟจะได้รับการแก้ไขและฉันพยายามค้นหากรณีที่เลวร้ายที่สุดสำหรับกราฟนั้น

| | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_\infty$

— Lagerbaer