ระดับความซับซ้อนที่สอดคล้องกับการเรียงลำดับ

TCS สองส่วนคืออัลกอริธึมและความซับซ้อน ฉันจะพูดง่าย ๆ ว่าอัลกอริทึมคือการศึกษาขอบเขตบนแสดงว่าคุณสามารถทำบางสิ่ง (ด้วยทรัพยากรที่ จำกัด ) และความซับซ้อนกำลังแสดงว่าคุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีทรัพยากรขั้นต่ำ

บ่อยครั้งที่ปัญหาอัลกอริทึมถูกระบุในรูปแบบการตัดสินใจเพื่อวางไว้ในระดับความซับซ้อน

แต่สิ่งที่รบกวนฉันอยู่เสมอคืออัลกอริธึมพื้นฐานบางอย่างไม่เคยพูดถึงเลยว่าเป็นของชั้นเรียนใดโดยเฉพาะ ตัวอย่างหนึ่งคือ (การเปรียบเทียบ) การเรียงลำดับ ลองเท่าที่ทำได้คลาสที่เกี่ยวข้องดูเหมือนว่าจะมีปัญหามากเกินไป (จริงๆแล้วมันแค่ตรวจสอบใน logspace ว่าผลลัพธ์ถูกจัดเรียงหรือไม่ดูเหมือนอ่อนแอเกินไปหรือฉันไม่ได้รับเวอร์ชันการตัดสินใจที่ถูกต้อง)

คลาสความซับซ้อนที่ดีที่สุด / เหมาะสมที่สุด / มีประโยชน์มากที่สุดคืออะไรการเรียงลำดับการเปรียบเทียบอยู่ใน?

cc.complexity-theory sorting

— มิทช์
แหล่งที่มา

คำตอบ:

ปัญหาการเรียงลำดับเสร็จสมบูรณ์สำหรับ $\mathsf{TC}^0$ (ภายใต้การลด ) แหล่งที่มาของมาตรฐานนี้คือมาตรา 1.4.3 ของหนังสือ Vollmer ของ $\mathsf{AC}^0$

โปรดทราบว่าเป็นคลาสของปัญหาการตัดสินใจ แต่เรามักจะคิดว่าการเรียงลำดับเป็นปัญหาการทำงานคือเราต้องการส่งออกตัวเลขพูดในลำดับที่ไม่เพิ่มขึ้น อย่างไรก็ตามเรายังสามารถกำหนดการเรียงลำดับเป็นปัญหาการตัดสินใจดังนี้: $\mathsf{TC}^0$

ที่กำหนดลำดับของตัวเลขและตัวเลขสองเราต้องการที่จะตัดสินใจว่าเป็นที่ตำแหน่งในลำดับที่เราได้รับจากการเรียงลำดับใน nondecreasing ใบสั่ง. โปรดทราบว่าเพื่อหลีกเลี่ยงความคลุมเครือเมื่อ $a_1,\ldots,a_n$ $k,p\in [n]$ $a_k$ $p$ $a_1,\ldots,a_n$ เราต้องการนำหน้าถ้า J $a_i=a_j$ $a_i$ $a_j$ $i<j$

— ไดเลอ
แหล่งที่มา

ยอดเยี่ยม ... ระบุว่าเป็นปัญหาการตัดสินใจแบบทางการอะไร

— Mitch

มันจะยอดเยี่ยมเป็นสองเท่าในการรวมการอ้างอิงในคำตอบของคุณ

— Oleksandr Bondarenko

@Mitch และ @Okeksandr: ขอบคุณสำหรับความคิดเห็นของคุณ! ฉันเพิ่งขยายคำตอบของฉันเพื่อชี้แจงประเด็นเหล่านั้น

— Dai Le

ดูเหมือนว่าปัญหาการตัดสินใจสำหรับสถิติการสั่งซื้อ มีปัญหาที่เกี่ยวข้องหรือไม่ที่ทุกอย่างอยู่ในที่ที่ถูกต้อง? สิ่งที่ต้องการให้ลำดับ

และการเปลี่ยนแปลง

บน

ตัดสินใจถ้า

เจ

มันยากเหมือนของคุณ มันยากขึ้นหรือเสร็จสมบูรณ์สำหรับชั้นเรียนที่รวมหรือไม่

a_{1} . . . a_{n}

$a_1...a_n$

σ

$\sigma$

[1.. n]

$[1..n]$

\forall_{1 \leq k < j \leq n}, a_{σ_{k}} < a_{σ_{j}}

$\forall_{1\le k\lt j\le n}, a_{\sigma_k} < a_{\sigma_j}$

— มิทช์

@ Mitch: ฉันเชื่อว่าการตรวจสอบว่าทุกอย่างอยู่ในสถานที่ที่เหมาะสมเช่นนั้นจะง่ายกว่าการจัดเรียง สัญชาตญาณคือที่คุณสามารถตรวจสอบว่า

สำหรับทุกคู่ที่เป็นไปได้

กับ

ในแบบคู่ขนานซึ่งผมเชื่อว่าสามารถทำได้ใน

สำหรับปัญหาการเรียงลำดับข้างต้นคุณต้องสามารถ "นับ" เพื่อหาตำแหน่งที่ถูกต้องของตัวเลขในการเรียงลำดับเชิงเส้น

a_{σ_{k}} < a_{σ_{j}}

$a_{\sigma_k}<a_{\sigma_j}$

(a_{σ_{k}}, a_{σ_{j}})

$(a_{\sigma_k},a_{\sigma_j})$

k < j

$k<j$

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— Dai Le

ฉันเชื่อว่าFPคือสิ่งที่คุณกำลังมองหา

— Nicholas Mancuso
แหล่งที่มา

ฉันค่อนข้างมองหาระดับความซับซ้อนของการตัดสินใจที่เกี่ยวข้องมากกว่าการใช้งาน แต่ถึงอย่างนั้นฉันก็ค่อนข้างแน่ใจว่าการเรียงลำดับการเปรียบเทียบนั้นไม่มีที่ไหนใกล้กับ P-complete (หรือ FP-complete) ดังนั้นฉันจึงคาดหวัง คลาสที่เล็กกว่าซึ่งคาดว่าจะอยู่ใน / เสร็จสมบูรณ์

— มิทช์

ฉันไม่ทราบว่าความครบถ้วนสมบูรณ์เป็นหนึ่งในข้อกำหนดของคำถามของคุณ เป็นปัญหาการตัดสินใจ (ถ้าคุณไม่สนใจข้อ จำกัด ที่สมบูรณ์) ทำไม P ถึงไม่ยอมรับคำตอบ? รับ DTM คุณสามารถผลิตและตรวจสอบใบรับรองในเวลาพหุนาม

— Nicholas Mancuso

ปัญหาทั่วไปสิ่งที่ฉันอยากรู้ไม่ใช่แค่ว่ามันเป็นเวลาพหุนาม แต่ชั้นที่เล็กที่สุดที่มันควรจะเป็นฉันอยากจะรู้ว่ามันอยู่ใน LOGCFL, NL, L, AC_0 ฯลฯ เป็นวิธีหนึ่งที่คุณ "ไม่สามารถ" ทำได้ดีกว่านี้ ดังนั้น Nit ไม่ใช่ข้อกำหนดของคำถามของฉัน แต่เป็นไปได้ที่จะตอบคำถาม

— มิทช์