กราฟระนาบผ่านจุดตัดของอ้วน

มีทฤษฎีบทสวยงามของ Koebe (ดูที่นี่ ) ที่ระบุว่ากราฟระนาบใด ๆ สามารถวาดเป็นกราฟจูบของดิสก์ (โรแมนติกมาก ... ) (การวางไว้ค่อนข้างแตกต่างกันกราฟระนาบใด ๆ สามารถวาดเป็นกราฟตัดของดิสก์ได้)

ทฤษฎีบท Koebe นั้นไม่ง่ายที่จะพิสูจน์ คำถามของฉัน: มีทฤษฎีบทนี้ง่ายกว่าไหมถ้ามีดิสก์หนึ่งที่อนุญาตให้ใช้รูปร่างนูนอ้วน (นูนอาจเปิดให้มีการเจรจา แต่ไม่อ้วน) โปรดทราบว่าจุดสุดยอดทุกอันอาจมีรูปร่างที่แตกต่างกัน

ขอบคุณ ...

ชี้แจง: สำหรับรูปร่างให้R ( X )เป็นรัศมีของลูกบอลล้อมเล็กที่สุดของXและปล่อยให้อาร์( X )ให้ฉันรัศมีของลูกปิดล้อมที่ใหญ่ที่สุดในS รูปร่างSคือαไขมันต่ำถ้าR ( x ) / R ( x ) ≤ α (นี่ไม่ได้เป็นคำจำกัดความเฉพาะสำหรับความอ้วน BTW)$X$$R(X)$$X$$r(X)$$S$$S$$\alpha$$R(x) /r(x) \leq \alpha$

คุณไม่ได้บอกว่าวัตถุไขมันต้องเป็นสองมิติใช่มั้ย Felsner และฟรานซิพิสูจน์ว่ามันเป็นไปได้เสมอกับก้อนแกนขนานในแบบ 3 มิติ แต่การพิสูจน์นั้นเกี่ยวข้องกับการวางนัยทั่วไปของ Schramm เกี่ยวกับ Koebe-Thurston-Andreev ดังนั้นมันจึงไม่ใช่ผลลัพธ์ที่ง่ายกว่า พวกเขายังกล่าวถึงวิธีที่สำหรับกราฟระนาบระนาบสูงสุดที่เชื่อมต่อกันสี่มันเป็นไปได้ที่จะใช้รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสามด้านแบบขนาน

หากคุณใช้รูปสามเหลี่ยมก็สามารถทำได้ อาจจะไม่ง่ายกว่า Koebe แม้ว่า ...

de Fraisseix, Ossona de Mendez และ Rosenstiehl บนกราฟการติดต่อสามเหลี่ยม CPC 3 (2): 233-246, 1994

Schramm พิสูจน์ว่ากราฟระนาบทุกอันเป็นกราฟติดต่อของวัตถุนูนบางชุดในระนาบในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขา (พรินซ์ตัน, 1990)โดยใช้ทฤษฎีจุดคงที่ของบรูเออร์

การสำรวจความสุขของเรื่องนี้และผลอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการ Koebe ทฤษฎีบทอยู่ในการสำรวจโดยแซคส์

$K_4$

มีบทความใหม่เกี่ยวกับ arxivโดย Duncan, Gansner, Hu, Kaufman และ Kobourov ในการแสดงกราฟการติดต่อ พวกเขาแสดงให้เห็นว่ารูปหลายเหลี่ยม 6 ด้านจำเป็นและเพียงพอ รูปหกเหลี่ยมสามารถนูนออกมาได้ แต่มันก็ไม่ชัดเจนสำหรับฉันในการอ่านครั้งแรกว่าพวกเขาอ้วนเหมือนกันหรือไม่

Gerd Wegner ในวิทยานิพนธ์ระดับปริญญาเอกของเขา (Georg-August-Universität, Göttingen, 1967) พิสูจน์ว่ากราฟใด ๆ เป็นกราฟการติดต่อของชุด polytopes นูนสามมิติ นี่คือหลักฐานสั้น ๆ