ความคืบหน้าของปัญหาความสูงดาวทั่วไปหรือไม่

ความสูงของดาว (ทั่วไป) ของภาษาคือการซ้อนขั้นต่ำสุดของดาว Kleene ที่ต้องการเพื่อแสดงภาษาโดยการแสดงออกปกติที่ขยายออกไป จำได้ว่านิพจน์ปกติที่ขยายไปเหนือตัวอักษร จำกัดตอบสนองต่อไปนี้:$A$

(1) และaเป็นนิพจน์ปกติที่เพิ่มขึ้นสำหรับa ∈ $\emptyset, 1$$a$$a\in A$

(2) สำหรับนิพจน์ทั่วไปที่ขยายทั้งหมด ; E ∪ F , E F , E ∗และE cเป็นการขยายการแสดงออกปกติ$E,F$
$E\cup F$$EF$$E^*$$E^c$

หนึ่งประโยคของปัญหาความสูงของดาวทั่วไปคือว่ามีอัลกอริทึมในการคำนวณความสูงของดาวที่ต่ำที่สุดหรือไม่ เกี่ยวกับปัญหานี้ฉันมีคำถามสองสามข้อ

1. มีความคืบหน้าเมื่อเร็ว ๆ นี้ (หรืองานวิจัยที่สนใจ) เกี่ยวกับปัญหานี้หรือไม่? ฉันรู้มาหลายปีแล้วที่ Pin Straubing และThérienตีพิมพ์บทความในพื้นที่นี้

2. ปัญหาความสูงของดาวที่ถูก จำกัด ได้รับการแก้ไขในปี 1988 โดย Hashiguchi แต่รุ่นทั่วไป (เท่าที่ฉันรู้) ยังคงเปิดอยู่ ไม่มีใครมีสัญชาตญาณว่าทำไมนี่อาจเป็นกรณีหรือไม่

ลิงค์ที่อาจมีประโยชน์มีดังต่อไปนี้: starheight

เกี่ยวกับคำถามที่สองของคุณมีคำอธิบายว่าทำไมปัญหาความสูงดาวทั่วไปสามารถเข้าถึงได้น้อยกว่าปัญหาความสูงดาวเป็นต่อไปนี้: แล้วกระดาษน้ำเชื้อ Eggan ของในปี 1963 มีภาษา (สามัญ) ความสูงดาวสำหรับแต่ละk ≥ 0 เพียงไม่กี่ปีต่อมา McNaughton และอิสระDéjeanและSchützenbergerพบตัวอย่างบนตัวอักษรไบนารี สิ่งนี้ทำให้ชัดเจนว่าปัญหา "เกี่ยวกับ" เป็นอย่างไร ในช่วงหลายปีต่อมามีการเผยแพร่ผลการเผยแพร่อย่างต่อเนื่องในบริเวณที่มีปัญหาของความสูงของดาวฤกษ์ทั่วไป สิ่งนี้ทำให้ร่างกายของตัวอย่างที่ตีพิมพ์เพิ่มขึ้นคู่กรณีและปรากฏการณ์ที่ล้อมรอบปัญหานี้$k$$k\ge 0$

ในทางตรงกันข้ามหลังจากห้าสิบปีนี้เราไม่รู้ว่ามีภาษาปกติของความสูงดาวอย่างน้อยสองหรือไม่ ดังนั้นเราจึงไม่ทราบด้วยซ้ำว่ามีความจำเป็นสำหรับกระบวนการตัดสินใจหรือไม่ "การขาดตัวอย่างที่สมบูรณ์" นี้บ่งชี้ว่ามันยากมากที่จะเข้าใจปัญหานี้

คำตอบนี้อุทิศให้กับความทรงจำของ Janusz (John) Antoni Brzozowski ซึ่งถึงแก่กรรมเมื่อวันที่ 24 ตุลาคม 2019

จอห์นเป็นคนที่สร้างปัญหาระดับความสูงของดาวอย่างแน่นอน ที่จริงในการประชุมที่ซานตาบาร์บาร่าในเดือนธันวาคมปี 1979 เขาได้เสนอปัญหาแบบเปิดหกเรื่องเกี่ยวกับภาษาปกติและกล่าวถึงสองหัวข้ออื่น ๆ ในบทสรุปของบทความของเขา [1] ปัญหาที่เปิดหกประการนี้ตามลำดับความสูงของดาวความสูงของดาวที่ จำกัด ความซับซ้อนของกลุ่มการลบดาวความสม่ำเสมอของคลาสที่ไม่นับและการเพิ่มประสิทธิภาพของรหัสนำหน้า อีกสองหัวข้อคือปัญหาความ จำกัด และลำดับชั้นความลึกจุด

ในเดือนมิถุนายน 2558 ในระหว่างการประชุมหนึ่งวันเพื่อเป็นเกียรติแก่วันเกิดครบรอบ 80 ปีของเขาฉันได้นำเสนอบทความสำรวจสองฉบับที่สรุปสถานะของศิลปะสำหรับคำถามเหล่านี้ [2, 3] คุณจะพบข้อมูลโดยละเอียดเกี่ยวกับปัญหาความสูงของดาว

[1] JA Brzozowski ปัญหาเปิดเกี่ยวกับภาษาปกติในทฤษฎีภาษาที่เป็นทางการ มุมมองและปัญหาเปิดการประชุมวิชาการในซานตาบาร์บาร่าแคลิฟอร์เนีย 10-14 ธันวาคม 2522 [หนังสือ RV (เอ็ด), หน้า 23-47, pp 23-47, นิวยอร์ก ฯลฯ : นักวิชาการสื่อ บริษัท ในเครือของมัดรั้งพอร์ตฮาร์คอร์ต Jovanovich ผู้จัดพิมพ์ สิบสาม, 454 หน้า, 1980

[2] J.-É. ปักหมุดเปิดปัญหาเกี่ยวกับภาษาทั่วไป 35 ปีต่อมา Stavros Konstantinidis; Nelma Moreira; Rogério Reis; Jeffrey Shallit บทบาทของทฤษฎีในวิทยาการคอมพิวเตอร์ - บทความที่อุทิศให้กับ Janusz Brzozowski, World Scientific, 2017,

[3] J.-É. Pin, ลำดับชั้น dot เชิงลึก 45 ปีต่อมา Stavros Konstantinidis; Nelma Moreira; Rogério Reis; Jeffrey Shallit บทบาทของทฤษฎีในวิทยาการคอมพิวเตอร์ - บทความที่อุทิศให้กับ Janusz Brzozowski, World Scientific, 2017

การแก้ปัญหาความสูงของดาวที่ถูก จำกัด เป็นแรงบันดาลใจให้เกิดทฤษฎีที่อุดมไปด้วยฟังก์ชั่นค่าใช้จ่ายปกติ (โดย Colcombet) ซึ่งช่วยแก้ไขปัญหาความสามารถในการตัดสินใจอื่น ๆ และเสนอเครื่องมือใหม่ในการโจมตีปัญหาที่เปิดอยู่ ทฤษฎีนี้ยังคงพัฒนาและขยายไปถึงคำที่ไม่มีที่สิ้นสุดต้นไม้ จำกัด ต้นไม้ที่ไม่มีที่สิ้นสุดด้วยชุดของผลลึกและปัญหาเปิด นี่คือ เอกสารทางทฤษฎีและเอกสารอ้างอิงจากเว็บไซต์ของ Colcombet

ดังนั้นในขณะที่มันไม่ได้เป็นการประยุกต์ใช้ความสูงของดาวทั่วไปโดยตรงมันแสดงให้เห็นว่าการพัฒนาปัญหาที่ไร้ประโยชน์เช่นความสูงของดาวนั้นน่าจะหมายถึงการเข้าใจภาษาปกติดีขึ้นและให้ผลลัพธ์ใหม่กับปัญหาที่แตกต่างกัน

อ้างอิง: Thomas Colcombet “ ทฤษฎีเสถียรภาพและฟังก์ชันต้นทุนคงที่” ใน: ICALP 2009