ปัญหา Super Mario Galaxy

สมมติว่ามาริโอกำลังเดินอยู่บนพื้นผิวของดาวเคราะห์ หากเขาเริ่มเดินจากที่ตั้งที่รู้จักไปในทิศทางที่กำหนดสำหรับระยะทางที่กำหนดไว้เราจะทราบได้อย่างรวดเร็วว่าจะหยุดที่ใด

อีกอย่างเป็นทางการเช่นสมมติว่าเราจะได้รับนูน polytopeใน 3 พื้นที่ซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นบนพื้นผิวของทิศทางเวกเตอร์ (ในระนาบของแง่มุมบางอย่างที่มี ) และระยะไกล\เราจะทราบได้อย่างไรว่า Mario ตัวไหนที่จะหยุดอยู่ข้างในได้เร็วแค่ไหน? (ในฐานะที่เป็นจุดทางเทคนิคสมมติว่าหากมาริโอเข้าสู่จุดสุดยอดของเขาจะระเบิดทันทีโชคดีที่สิ่งนี้แทบจะไม่เคยเกิดขึ้นเลย)$P$$s$$P$$v$$p$$\ell$$P$$P$

หรือถ้าคุณต้องการ: สมมติว่าเราจะได้รับ polytopeจุดแหล่งและทิศทางเวกเตอร์ล่วงหน้า หลังจาก preprocessing วิธีการอย่างรวดเร็วเราสามารถตอบคำถามสำหรับระยะทางที่กำหนด ?$P$$s$$v$$\ell$

มันง่ายมากที่จะติดตามรอยเท้าของมาริโอโดยเฉพาะถ้ามีแง่มุมสามเหลี่ยม เมื่อใดก็ตามที่มาริโอเข้าสู่ด้านหนึ่งของขอบเราสามารถกำหนดในเวลาซึ่งอีกสองขอบเขาต้องผ่าน แม้ว่าเวลาทำงานของขั้นตอนวิธีนี้เป็นเส้นตรงเท่านั้นในจำนวนของขอบนํ้ามันมากมายเป็นหน้าที่ของขนาดการป้อนข้อมูลเพราะระยะทางที่อาจจะเป็นพลขนาดใหญ่กว่าเส้นผ่าศูนย์กลางของPเราทำได้ดีกว่านี้ไหม$P$$O(1)$$\ell$$P$

(ในทางปฏิบัติความยาวเส้นทางไม่ได้มากมายจริง; มีขอบเขตบนโลกในแง่ของจำนวนบิตที่จำเป็นเพื่อแสดงการป้อนข้อมูล แต่ยืนยันในปัจจัยการผลิตจำนวนเต็มยกประเด็นตัวเลขบางอย่างค่อนข้างน่ารังเกียจ - วิธีทำเราคำนวณ. ตรงที่ เพื่อหยุด? - งั้นลองทำกับอินพุตจริงและเลขคณิตจริงที่แน่นอน)

มีสิ่งใดที่ไม่เป็นที่รู้จักเกี่ยวกับความซับซ้อนของปัญหานี้หรือไม่?

อัปเดต:จากความเห็นของ julkiewicz ดูเหมือนว่าเวลาทำงานจริงของ RAM จะ จำกัด ขอบเขตอย่างหมดจดในแง่ของ (ความซับซ้อนของ polytope) เป็นไปไม่ได้ พิจารณากรณีพิเศษของสองด้านหน่วยตารางกับมาริโอเริ่มต้นที่และเดินไปในทิศทาง(1,0)มาริโอจะหยุดที่ด้านหน้าหรือด้านหลังของตารางขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกันของจำนวนเต็มที่\ เราไม่สามารถคำนวณฟังก์ชันพื้นในเวลาอย่างต่อเนื่องในแรมจริงเว้นแต่ว่าเรากำลังมีความสุขPSPACE การเทียบและ P แต่เราสามารถคำนวณใน$n$$[0,1]^2$$(0,1/2)$$(1,0)$$\lfloor \ell \rfloor$$\lfloor \ell \rfloor$$O(\log \ell)$เวลาโดยการค้นหาเอ็กซ์โพเนนเชียลซึ่งเป็นการปรับปรุงเอ็กซ์โพเนนเชียลเหนืออัลกอริธึมไร้เดียงสา พหุนามเวลาในและทำได้เสมอหรือไม่$n$$\log \ell$

ปัญหานี้ยากมาก เราสามารถทำให้มันง่ายขึ้นเพื่อให้ง่ายขึ้นดังต่อไปนี้

1. เราสามารถเพิ่มสมมติฐานที่ว่าผลรวมของมุมเกี่ยวกับจุดสุดยอดของทุก polytopeมีหลายเหตุผลของ\สิ่งนี้จะกำจัด "โพลีเอพท์" ส่วนใหญ่ แต่ยังมีความเป็นไปได้ที่น่าสนใจมากมายเช่นของแข็งพลาโทนิก$P$$\pi$

2. เราสามารถสรุปได้ว่ารูปหลายเหลี่ยมไม่ได้เป็นสามมิติอย่างแท้จริง แต่แทนที่จะเป็น "สองเท่า" ของรูปหลายเหลี่ยม มันดูเหมือนปลอกหมอน เราสามารถทำให้ง่ายขึ้นยิ่งขึ้นและสมมติว่ารูปหลายเหลี่ยมนั้นมีด้านเท่ากันและขนานกัน ตัวอย่างเช่นสี่เหลี่ยมเช่นเดียวกับในเกม Astroids

หากเราทำสมมติฐานทั้งสองนี้ก็จะมีทฤษฎีขนาดใหญ่ (การค้นหาอัลกอริธึมสำหรับการออกกำลังกายเป็นเรื่องยากที่เกี่ยวข้องกับการขยายตัวต่อเนื่องของมุมของมาริโอเส้นทางเศษส่วนเพื่อให้บรรลุผลลัพธ์ที่คล้ายกันสำหรับแปดเหลี่ยมปกติเป็นไปได้ แต่ยากโซลูชั่นสำหรับ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปแปดเหลี่ยมเกี่ยวข้องกับการคิดเกี่ยวกับวิธีเข้ารหัสอย่างมีประสิทธิภาพ "ลำดับการตัดสำหรับ geodesic บนพื้นผิวการแปล" รูปหลายเหลี่ยมเชิงเหตุผลอื่น ๆ ส่วนใหญ่จะนำไปสู่ปัญหาเปิดได้อย่างรวดเร็ว) การอ้างอิงเริ่มต้น ตารางพรูเป็นภาพนิ่งพูดคุยของ Diana Davis$O(\log(\ell))$

ถ้าเราไม่คิดว่ามีเหตุผล แต่สมมติว่า polytope นั้นเป็นสองเท่าของรูปหลายเหลี่ยมเราก็จะพูดถึงทฤษฎีของ "การตัดลำดับในบิลเลียดที่ไม่มีเหตุผล" ดูเหมือนว่าไม่มีอะไรเป็นที่รู้จักที่นี่; เช่นดูประโยคสุดท้ายของการพูดคุยนี้โดย Corinna Ulcigrai

ถ้าเราไม่มีข้อสันนิษฐานเอาล่ะฉันก็ไม่สามารถคิดถึงอะไรในวรรณคดี

ในที่สุด - ฉันเดาว่าจะมีวิธีแก้ปัญหาปัญหา Super Mario Galaxy สำหรับของแข็งพลาโทนิก นี่เป็นปัญหาที่ดีสำหรับนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาที่เริ่มต้นเล่นบิลเลียดอย่างมีเหตุผล ตัวอย่างเช่นกรณีของ dodecahedron "ควร" ติดตามจากวิทยานิพนธ์ของ Diana Davis (แต่เริ่มต้นด้วยจัตุรมุข - ที่จะตามมาจากการวิเคราะห์ลำดับการตัดสำหรับทอรัสหกเหลี่ยม)$O(\log(\ell))$

ฉันคิดว่าคุณสามารถทำได้ดีกว่าเชิงเส้น ฉันยังใหม่กับวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีดังนั้นโปรดยกโทษให้ฉันหากนี่เป็นขยะ

แนวคิดทั่วไปบางประการ (ของมูลค่าที่เปลี่ยนแปลง):

• ถ้าเราให้แต่ละด้านเป็นสัญลักษณ์วงโคจรของมาริโอเหนือพวกมันสามารถอธิบายได้ว่าเป็นสตริงโดยที่สัญลักษณ์สุดท้ายในสตริงคือคำตอบ
• เราสามารถสันนิษฐานได้โดยไม่สูญเสียความเอนเอียงที่มาริโอเริ่มบนขอบ (แค่เดินถอยหลังและยืด l ไปที่ขอบ)
• พื้นที่ 2 มิติของตำแหน่งเริ่มต้นและมุมสามารถแบ่งพาร์ติชันได้โดยขอบถัดไป ดังนั้นเริ่มจาก edge a, x หน่วยจากด้านล่างด้วยมุม a, เราสิ้นสุดใน edge V หลังจากข้ามหนึ่ง facet
• ณ จุดนั้นเราอยู่ที่อีกขอบหนึ่งด้วยการวางแนวอื่นดังนั้นเราจึงสามารถเรียกใช้ฟังก์ชันนี้ซ้ำเพื่อแบ่งพื้นที่ออกเป็นพาร์ติชันของสตริง 2 สัญลักษณ์และอื่น ๆ
• เมื่อมาถึงจุดนี้เราก็เสร็จถ้าเราบอกว่าพื้นที่จะต้องถูกแยกออกสำหรับปัญหาที่จะนำมาใช้กับ TM นั่นหมายความว่าทุก ๆ วงโคจรจะต้องเป็นระยะเพราะมีเพียงจุดจำนวนมากบนดาวเคราะห์ที่แยกออก เราสามารถคำนวณฟังก์ชั่นที่อธิบายข้างต้นจนกว่าเราจะมีวงโคจรสำหรับจุดเริ่มต้นทั้งหมดและเก็บข้อมูลนี้ จากนั้นปัญหาจะกลายเป็น O (1)
• อาจจะเป็นตำรวจนิดหน่อย googling บางคนบอกฉันว่าเกือบทุกวงโคจรบิลเลียดภายในรูปหลายเหลี่ยมนูนเหตุผลเป็นระยะ (เช่น. วงโคจรเป็นระยะหนาแน่น) ดังนั้นสำหรับดาวเคราะห์ดวงสี่เหลี่ยมวิธีเดียวกันอาจใช้งานได้
• อีกวิธีหนึ่งคือการพิจารณาว่าระบบเป็นตัวกำเนิด / ตัวจดจำของสตริง (อีกครั้งโดยการกำหนดแต่ละสัญลักษณ์ของมันเอง) หากภาษานั้นมีระดับความซับซ้อนที่รู้จักกันนั่นคือคำตอบของคุณ หากคุณขยายตระกูลของโพลิปท็อปไปเป็นแบบไม่นูนและมิติใด ๆ คุณอาจได้เรียนภาษาที่หลากหลาย

นี่ไม่ใช่คำตอบจริงๆ แต่ฉันต้องกลับไปทำงาน :)